Лекции Линал (не подробно)

v1; v2; : : : ; vr, отвечающих разным собственным значениям. Это противоречит теореме 25.

Èòàê, v1 = v2 = : : : = vm = 0. В частности,

v1 = 1e1 + 2e2 + : : : + k1 ek1 = 0:

Из линейной независимости векторов базиса fejgkj=11 пространства L 1 следует, что числа j равны нулю при 1 j k1. Аналогично доказыва-

ем, что все остальные числа j равны нулю. Вывод: система E линейно независима.

Поскольку система E содержит n векторов, она является базисом.

Этот базис собственный по определению.

) Рассмотрим собственный базис E. После надлежащей перестановки векторов базиса получим:

AE = diag( 1; 1; : : : ; 1; 2; 2; : : : ; 2; : : : ; m; m; : : : ; m):

k1; k2; : : : ; km являются одновременно алгебраическими и геометрическими кратностями. Теорема доказана.

Пример.

Проиллюстрируем утверждение теоремы на уже рассмотренном примере. Пусть оператор A : L ! L задан в базисе E матрицей:

Характеристическое уравнение имеет вид A( ) = 3. Оператор имеет единственное собственное значение = 0.

Найдем собственное пространство L0. Вектор v = (x1; x2; x3)E лежит â L0 тогда и только тогда, когда

Таким образом, v 2 L0 тогда и только тогда, когда v = (x1; 0; 0)E. Ñëå- довательно, размерность пространства L0 она же геометрическая крат- ность равна единице. В то же время алгебраическая кратность, как следует из вида характеристического уравнения равна трем. В соответствии с теоремой 28 матрица A недиагонализируема.

41

25. Сопряженный линейный оператор.

Определение 38. Оператор A : L ! L называется сопряженным к A, если

Замечание 20. Заметим, что корректность этого определения неочевидна. Необходимо установить, что для всякого A сушествовует и определен единственным образом оператор A . Этот факт вытекает из следующей теоремы.

Теорема 29. Пусть оператор A является сопряженным к A. Тогда в любом ортонормированном базисе E матрицы операторов связаны со-

отношением: (A )E = (AE)T. Обратно, если данное соотношение выполнено в некотором ортонормированном базисе E, то оператор A ÿâëÿ-

ется сопряженным к A.

Записав равенство (18) в координатах, получим: aj i = ai j. Следователь- íî, (A )E = (AE)T.

( Рассмотрим два произвольных вектора x; y 2 L. Пусть x = (x1; x2; : : : ; xn)E; y = (y1; y2; : : : ; yn)E:

42

Введем обозначения:

u := Ax = (u1; u2; : : : ; un)E; v := A y = (v1; v2; : : : ; vn)E:

Тогда

Далее, введя обозначения AE = (ai j)ni;j=1 è (A )E = (ai j)ni;j=1, получим:

n n

X X

ui = ai jxj; vi = ai jyj:

j=1 j=1

Воспользуемся формулой записи скалярного произведения в ортононормированном базисе:

Поскольку aj i = ai j, получаем, что (Ax; y) = (x; A y). Теорема доказана.

Пример.

Рассмотрим оператор A : V2 ! V2 поворота плоскости на угол . Пусть E = fi; jg обычный ортонормированный базис. Как нам уже

43

Таким образом, (A ) = A , т.е. сопряженным оператором является оператор поворота на угол . Из геомтерии легко видеть, что если A è A повороты на равные углы в противоположные стороны, то

(A x; y) = (x; Ay).

Свойства сопряженных операторов.

3)(A ) = A:

4)(AB) = B A :

Доказательство.

1) Рассмотрим ортонормированный базис E. Докажем, что

((A + B) )E = (A + B )E:

Действительно,

((A + B) )E = ((A + B)E)T = (AE + BE)T =

= (AE)T + (BE)T = (A )E + (B )E = (A + B )E:

Остальные свойства доказываются аналогично с использованием следующих матричных тождеств:

2) ( A)T = AT; 2 R:

3)(AT)T = A:

4)(AB)T = BTAT:

5) IT = I; 0T = 0:

6) (A 1)T = (AT) 1:

26. Самосопряженный линейный оператор.

44

Определение 39. Оператор A : L ! L называется самосопряженным, åñëè A = A , ò.å. åñëè

(Ax; y) = (x; Ay) 8x; y 2 L:

Теорема 30. Пусть A самосопряженный оператор. Тогда в любом ортонормированном базисе E матрица оператора удовлетворяет соот- ношению: AE = (AE)T. Обратно, если в данное соотношение выполнено в некотором ортонормированном базисе E, то оператор A является самосопряженным.

Доказательство. Следует из теоремы 29.

Теорема 31. Пусть A = A . Тогда

1)Все собственные значения A вещественны.

2)Собственные векторы, отвечающие различным собственным значе- ниям, ортогональны.

3)У оператора A существует собственный ортонормированный базис.

Доказательство.

1)á/ä.

2)Пусть v1; v2 собственные векторы с различными собственными значе- ниями 1; 2 соответственно. Пользуясь определениями собственного вектора и самосопряженного оператора, запишем:

1(e1; e2) = (Ae1; e2) = (e1; Ae2) = 2(e1; e2):

Поскольку 1 6= 2, из этого следует, что (e1; e2) = 0, что и требовалось.

3) á/ä

Замечание 21. Из свойства 3) теоремы 31 следует, что любой самосопряженный оператор диагонализируем. Однако в теореме утверждается большее, а именно, что собственный базис можно выбрать так, чтобы он был ортонормированным. Конечно, из этого не следует, что любой собственный базис для A является ортонормированным.

45

27. Собственный ортонормированный базис самосопряжен-

ного оператора.

Построим собственный базис данного оператора A = A .

1.Пусть все собственные значения k различны. Тогда соответству- ющие собственные векторы vk попарно ортогональны по теореме

31. Для построения ортонормированного базиса остается положить:

ek = kvkk. vk

2.Пусть корень характеристического уравнения с алгебраической кратностью k1. По теореме 31 оператор A диагонализируем. Следовательно, по теореме 28 геометрическая кратность 1 равна k1.

3.Итак, в подпространстве L 1 базис состоит из k1 элементов. После ортогонализации Грама-Шмидта мы получим ортонормированный базис в L 1 èç k1 элементов.

4.По теореме 31 любой вектор подпространства L i ортогонален лю- бому вектору подпространства L j ïðè i 6= j. Поэтому объединение построенных ортонормированных базисов собственных подпространств дает ортонормированный базис всего пространства.

28. Ортогональные операторы

Определение 40. Линейный оператор A в евклидовом пространстве L называется ортогональным, если:

Теорема 32. Пусть A : L ! L ортогональный оператор. Тогда

Доказательство. Рассмотрим два произвольных вектора x; y 2 L. Тогда

1) kAxk2 = (Ax; Ax) = (x; x) = kxk2;

46

Следствие 5. Образы векторов ортонормированного базиса под действием ортогонального оператора A составляют ортонормированный

базис.

Доказательство. Следует из того, что ортогональный оператор сохраняет длины векторов и углы между векторами.

Следствие 6. Ортогональный оператор A невырожден.

Доказательство. Рассмотрим произвольный ортонормированный базис E. Под действием оператора A базис E переходит в ортонормированный

базис F. Тогда AE совпадает с матрицей перехода от E к F (см. пункт 3) замечания 10). Поэтому матрица AE невырождена. Следовательно, по

В частности, если в этом равенстве положить x := (A A I)y, то в силу положительной определенности скалярного произведения:

(A A I)y = 0 8y 2 L:

По определению нулевого оператора, это означает, что A A I = 0. Итак,

A A = I èëè A = A 1:

Обратно, пусть A = A 1. Тогда 8x; y 2 L выполнено (21). Используя

(21), а также определение сопряженного оператора (20), получим (19). Следовательно, A ортогональный оператор.

29. Ортогональные матрицы.

47

Определение 41. Невырожденная квадратная матрица A называется ортогональной, если A 1 = AT (или, что эквивалентно, AAT = ATA = E).

Замечание 22. Всюду на протяжении этого параграфа под скалярным

произведением векторов-строк или столбцов мы понимаем стандартное скалярное произведение в Rn (см. пример 2 6). Соответвующим образом

опредляются норма и понятие ортогональности.

Теорема 34. 1) Если матрица A ортогональна, то матрицы AT è A 1 тоже ортогональны.

2)Строки ортогональной матрицы попарно ортогональны. То же верно для столбцов.

3)Нормы всех строк ортогональной матрицы равны единице. То же верно для столбцов.

4)Если A ортогональна, то det A = 1.

Доказательство.

1) Поскольку A 1 = AT, òî

(A 1)T = (AT)T = A = (A 1) 1 (AT)T = A = (A 1) 1 = (AT) 1:

2) В матричном равенстве AAT = E приравняем элементы, расположенные на пересечении первой строки и второго столбца. Получим

женные на пересечении первой строки и первого столбца. Получим

Pn

j=1 a1 ja1 j = 1. Это означает, что норма первой строки равна единице. Аналогично проверяется утверждение и для других строк. Доказательство для столбцов следует из 1).

4)Пусть = det A. Из равенства AAT = E и свойств определителя следует, что 2 = 1 èëè = 1.

48

Теорема 35. Пусть оператор A ортогонален. Тогда в любом ортонор-

мированном базисе его матрица ортогональна. Обратно, пусть в некотором ортонормированном базисе E матрица AE оператора A ортого-

нальна. Тогда A ортогональный оператор.

Доказательство. Пусть A ортогональный оператор. По теореме 33 A = A 1. Зафиксируем произвольный ортонормированный базис E. По теореме 29 (AE)T = (AE) 1. Следовательно, AE ортогональна. В обратную сторону доказательство аналогично.

Примеры.

1.Рассмотрим оператор A : V2 ! V2 действующий на векторах i; j стандартного базиса E следующим образом:

Таким образом, матрица оператора A ортогональна и симметрична. Следовательно, оператор A является ортогональным и самосопряженным.

2.Рассмотрим оператор A : V2 ! V2 поворота плоскости на угол . Тогда в стандартном ортонормированном базисе E:

Таким образом, A является ортогональным оператором.

30. Ортогональное преобразование координат.

Мы доказали в 28, что ортогональный оператор переводит произвольный ортонормированный базис в ортонормирванный. Докажем обратное утверждение:

Теорема 36. Пусть E = fekgnk=1 è F = ffkgnk=1 два ортонормирован- ных базиса в евклидовом пространстве L. Пусть оператор A переводит

базис E в базис F, т.е. Aek = fk. Тогда A ортогонален.

49

Доказательство. Рассмотрим произвольные x; y 2 L. Пусть

x = (x1; x2: : : : ; xn)E; y = (y1; y2: : : : ; yn)E:

Тогда

С другой стороны,

= xiyj(Aei; Aej) = xiyj(fi; fj) = xiyi:

Итак, (x; y) = (Ax; Ay), что и требовалось.

В 4,5 мы изучали матрицы перехода и формулы преобразования координат при замене базиса. Рассмотрим те же самые вопросы в частном случае, когда исходный и новый базисы являются ортонормированными.

Определение 42. Замена исходного ортонормированного базиса E на новый ортонормированный базис F называется ортогональной заме-

ной базиса. Соответствующая формула преобразования координат (6) называется ортогональным преобразованием координат.

Пусть E = fekgnk=1 исходный ортонормированный базис, а F = ffkgnk=1 новый (необязательно ортонормированный) базис.

Теорема 37. Если матрица перехода P от базиса E к базису F ортогональна, то базис F является ортонормированным. Наоборот, если оба базиса E и F ортонормированные, то матрица перехода P от E к F ортогональна.

Замечание 23. Коротко, эту теорему можно сформулировать так. Матрица P ортогональна тогда и только тогда, когда она является матрицей

перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису.

50