ТФКП лекции 1-6

Топология в C

В C вводится метрика d(z1; z2) = jz1 z2j такая же, как в R2 (так что как метрические пространства они тождественны). Предполагаются известными определения открытых, замкнутых, ограниченных, компактных, связных множеств в метрическом пространстве, определения предела последовательности и функции (в точке по множеству), непрерывности функции (в точке множества и на множестве). Тем не менее мы напоминаем

Определение. Окрестностью точки a в C называется всякое открытое множество, содержащее a.

Определение. Подмножество E в C называется связным, если нельзя найти открытые множества U1 и U2 со следующими свойствами: U1 \ E 6= ?, U2 \ E 6= ?,

U1 \ U2 = ?, E U1 [ U2.

Определение. Областью (в C) называется всякое (не пустое) открытое связное множество в C.

Простейшим примером области является открытый круг B(a; r) = fz 2 C : jz aj < rg с центром a 2 C и радиусом r > 0.

1.1.Утверждение. Пусть G – область в C. Если E G – не пусто, открыто

изамкнуто в G, то E = G.

Доказательство этого утверждения оставляется в качестве несложной задачи.

Определение. Произвольное непрерывное отображение какого-либо отрезка [ ; ] R в C называется путем (в C), а множество [ ] = ([ ; ]) – его носителем.

Определение. Множество E C называется линейно-связным, если для любых z1 2 E и z2 2 E существует путь : [ ; ] ! E с условием ( ) = z1, ( ) = z2.

Нетрудно доказать, что всякая область в C линейно-связна.

Определение. Два пути 1;2 : [ 1;2; 1;2] ! C называются эквивалентными если существует непрерывная строго возрастающая функция из [ 1; 1] на [ 2; 2] с условием 1(t) = 2( (t)) для любого t 2 [ 1; 1]. (Для краткости пишем 1 2).

Определение. Класс эквивалентных путей называют (непрерывной) кривой.

При этом корректно определен носитель кривой. Обозначения: = f g – кривая с представителем , [ ] = [ ] – ее носитель.

Определение. Путь : [ ; ] ! C называется жордановым, если он взаимно однозначен на [ ; ] (т.е. (t1) 6= (t2) при t1 < t2 ).

Определение. Путь : [ ; ] ! C называется замкнутым жордановым, если(t1) 6= (t2) при всех t1 < t2 из [ ; ), но ( ) = ( ).

Носитель всякого жорданова пути гомеоморфен отрезку [0; 1], а замкнутого жорданова пути – единичной окружности fjzj = 1g.

Определение. Жорданова кривая – класс эквивалентности жордановых путей. Замкнутая жорданова кривая – класс эквивалентности замкнутых жордановых путей.

Следующая весьма сложная топологическая теорема имеет принципиальное значение в анализе.

1.2. Теорема.

(1)Пусть – жорданова кривая. Тогда = C n [ ] связно и @ = [ ].

(2)Пусть – замкнутая жорданова кривая. Тогда множество Cn[ ] не связно

– оно состоит из двух непересекающихся компонент (областей): ограниченной – D и неограниченной – , причем @D = @ = [ ].

Напомним, что через @E обозначается граница, через E – замыкание, а через

E – внутренность множества E в C. Компонентой связности множества E в C

называется всякое связное подмножество из E, которое не содержится ни в каком большем связном подмножестве в E. Всякое открытое множество распадается на конечное или счетное число своих компонент связности, являющихся (попарно непересекающимися) областями.

Считаем также, что читатель знаком с конструкцией сферы Римана C = C[f1g

– стандартной одноточечной компактификацией C (ее метризуемая топология согласована с топологией C). В случае, если E неограниченно, или 1 2 E C, мы каждый раз конкретизируем: какие из упомянутых выше топологических понятий определяются относительно топологии в C.

Ветви многозначных функций. Приращение (полярного) аргумента вдоль пути. Индекс пути относительно точки.

Пусть E C не пусто. Будем говорить, что F – многозначная функция на E, если для любого z 2 E объект F (z) представляет собой некоторое непустое подмножество в C (для однозначной функции множество F (z) – одноточечно). Иногда вместо C берется множество C.

Определение.

(1)Пусть ? 6= E1 E. Функция f : E1 ! C называется однозначной ветвью многозначной функции F на E1, если для любого z 2 E1 имеем f(z) 2 F (z).

(2)Скажем, что F распадается на однозначные ветви ffjgj2J над E1 (где J – некоторое конечное или счетное множество индексов), если F (z) = [j2J ffj(z)g при каждом z 2 E1.

1.3. Теорема. Пусть : [ ; ] ! C n f0g – путь. Тогда многозначная функция Arg( (t)) распадается над всем [ ; ] на счетное множество непрерывных ветвей f'j(t)gj2Z. Любые две из этих ветвей отличаются друг от друга на аддитивную постоянную, кратную 2 .

Доказательство. Нетрудно вывести формулу Arg(z) через x и y и убедиться, что над каждым кругом B(a; jaj), a 6= 0, многозначная функция Arg(z) распадается на счетное число непрерывных ветвей, отличающихся друг от друга на аддитивные постоянные, кратные 2 . Пользуясь последним замечанием и равномерной непрерывностью на [ ; ], мы можем разбить отрезок [ ; ] на равные достаточно малые отрезки, на каждом из которых требуемая непрерывная ветвь заведомо имеется (надо взять композицию и подходящей непрерывной ветви Arg(z)). Остается надлежащим образом “склеить” эти ветви. Аккуратное доказательство предлагаем провести читателю.

Определение. В условиях последней теоремы, величина 'j( ) 'j( ) (не зависящая от j) называется приращением (полярного) аргумента вдоль пути и

обозначается Arg(z).

1.4. Утверждение-задача. Функция ( w) Arg(z) непрерывна по w вне [ ].

Здесь и далее ( w)(t) = (t) w, t 2 [ ; ].

Определение. Пусть : [ ; ] ! C – замкнутый путь, т.е. ( ) = ( ). При a 62[ ] величина

1

inda( ) = 2 ( a) Arg(z)

называется индексом пути относительно точки a.

Пусть E1 и E2 – непустые множества, а 1 и 2 – пути в C, определенные на [ ; ]. В дальнейшем мы будем пользоваться обозначениями:

dist(E1; E2) = inffjz1 z2j : z1 2 E1; z2 2 E2g; d( 1; 2) = maxfj 1(t) 2(t) : t 2 [ ; ]g:

1.5. Лемма. Пусть 1 и 2 – замкнутые пути в C, определенные на [ ; ]. Пусть a 2= [ 1], причем d( 1; 2) < dist(a; [ 1]). Тогда inda( 1) = inda( 2).

Доказательство. Пусть '(t) и (t) – некоторые непрерывные на [ ; ] ветви многозначных функций Arg( 1(t) a) и Arg( 2(t) a) соответственно. Из условия леммы вытекает, что функция '(t) (t) не принимает на [ ; ] значений f +2k : k 2 Zg. Нужное утверждение вытекает из теоремы о промежуточных значениях непрерывной функции (' на [ ; ]).

1.6.Следствие. Функция indw( ) постоянна (по w) в каждой компоненте связности множества C n [ ] и принимает только целочисленные значения.

1.7.Утверждение-задача. Величины Arg(z) и inda( ) не меняются при замене на любой эквивалентный ему путь, так что f g Arg(z) и inda(f g) определены корректно для кривой f g.

Действия с кривыми.

Пусть – кривая, 2 , определен на [ ; ]. Положим (t) = ( + t) при t 2 [ ; ]. Кривая = f g называется противоположной к (имеющей противоположную ориентацию).

Определение. Пусть 1 и 2 – кривые, причем конец 1 совпадает с началом2. Возьмем какие-либо 1 2 1 и 2 2 2, определенные на [0; 1]. Кривая = 1 [ 2 (объединение 1 и 2, порядок важен!) определяется путем

Замечание. По индукции определяется объединение нескольких кривых, =1 [ [ n. Нетрудно доказывается корректность введенных определений.

1.8.Определение-задача. Пусть 1 – замкнутая жорданова кривая, а 2 – жорданова кривая с условием [ 2] [ 1] и “сонаправленная” с 1. Дать корректное определение кривой 1n 2 (это будет одна из двух возможных жордановых кривых

сносителем, равным замыканию множества [ 1] n [ 2]).

1.9.Утверждение-задача. Если кривые , 1 и 2 не проходят через 0 и кривая 1 [ 2 определена, то

Arg(z) = Arg(z);

1[ 2 Arg(z) = 1 Arg(z) + 2 Arg(z):

Задачи.

(1)Доказать эквивалентность понятий связности и линейной связности для открытых множеств в C.

(2)Привести пример линейно связного компакта в C, не являющегося носителем никакого пути.

(3)Пусть K – компакт в C и функция f : K ! C – непрерывна и взаимнооднозначна на K. Тогда f(K) – компакт, а f – гомеоморфизм K и f(K).

Это утверждение имеет несколько важных следствий. Так, носитель всякого жорданова пути в C гомеоморфен отрезку, а носитель всякого замкнутого жорданова пути в C гомеоморфен окружности.

(4)Построить жорданов путь в C, носитель которого имеет положительную плоскую меру Лебега.

Утверждение-задача. Пусть dfjz0 (dz) = adz + bdz, где a; b 2 C. Тогда a = (@f=@z)jz0 и b = (@f=@z)jz0 находятся однозначно.

Замечание. Из анализа хорошо известно, что если u0x, u0y, vx0 , vy0 существуют в окрестности точки (x0; y0) и непрерывны в самой этой точке, то u и v – дифференцируемы в точке (x0; y0) и, следовательно, f – R-дифференцируема в точке z0.

Определение. R-дифференцируемая в точке z0 функция f называется C-диф- ференцируемой в точке z0, если dfjz0 (dz) имеет вид adz (где a 2 C – константа, т.е dfjz0 есть C-линейная функция переменной dz).

Ясно, что последнее условие выполняется тогда и только тогда, когда a = @f=@zjz0 и, одновременно,@f=@zjz0 = 0.

Пример. Функции f(z) = zn (n 2 N) являются C-дифференцируемыми всюду. При этом dznjz0 (dz) = nz0n 1dz.

2.1. Теорема. Функция f является C-дифференцируемой в точке z0 если и только если f имеет в точке z0 комплексную производную f0(z0), т.е. существует

Следствие. R-дифференцируемая в точке z0 функция f имеет комплексную производную f0(z0), если и только если@f=@zjz0 = 0. При этом условии f0(z0) =

@f=@zjz0 .

Доказательство следующей важной теоремы также не составляет труда.

2.2. Теорема (условия Коши-Римана). R-дифференцируемая в точке z0

функция f(z) = u(x; y)+iv(x; y) является C-дифференцируемой в этой точке тогда и только тогда, когда выполняются условия Коши-Римана:

Нам будет пока хватать следующего упрощенного варианта теоремы об обратной функции.

2.5. Теорема об обратной функции. Пусть f – гомеоморфное отображение окрестности точки z0 на некоторую окрестность точки w0 = f(z0), g – обратное к f в последней окрестности. Если f – C-дифференцируемо в точке z0 и f0(z0) 6= 0, то g – C-дифференцируемо в точке w0, причем g0(w0) = 1=f0(z0).

Доказательство. Пусть w = fjz0 ( z). В силу гомеоморфности имеем:

Замечание. Из курса математического анализа известно, что условия последней теоремы будут выполнены, если потребовать, чтобы индуцированное отображение F было непрерывно дифференцируемым в окрестности точки (x0; y0)T и, дополнительно, det([dF ]z0 ) 6= 0.

Определение. Пусть f определена и конечна в окрестности 1. Функция f называется C-дифференцируемой в точке 1, если функция g(w) = f(1=w), доопределенная g(0) = f(1), является C-дифференцируемой в точке 0. По определению полагается

f0(1) = g0(0) = lim z(f(z) f(1)):

z!1

Пример. f(z) = 1=z, f(1) = 0, f0(1) = 1.

Определение. Функция f называется голоморфной в точке z0 если f – C-диф- ференцируема в некоторой окрестности точки z0.

Пример. Пусть f(z) = jzj2 = x2 + y2. Условия Коши-Римана показывают, что z = 0 – единственная точка, где функция f является C-дифференцируемой. Следовательно, она нигде не голоморфна.

Определение. Функция f называется голоморфной в области D C, если f является C-дифференцируемой (а, следовательно, голоморфной) в каждой точке области D.

Класс всех голоморфных функций в области D обозначается A(D). Функции класса A(C) называются целыми.

Содержательные примеры мы приведем чуть позже.

Конформные отображения и геометрический смысл комплексной производной

Определение. Пусть функция f – R-дифференцируема в точке z0 2 C. Говорят, что f конформна в точке z0 (по другой терминологии: f – конформное отображение в точке z0), если ее дифференциал dfjz0 ( z) в точке z0 (как функция от z) есть композиция гомотетии и поворота (оба с центром в 0, т.е. порядок не важен).

2.6. Теорема. Функция f конформна в точке z0, если и только если f является C-дифференцируемой в точке z0 и f0(z0) 6= 0. При этом k = jf0(z0)j – коэффициент растяжения, а = arg(f0(z0)) – угол поворота при (C-линейном) отображении dfjz0 .

Доказательство этой теоремы оставляется в качестве задачи

Утверждение-задача. Пусть f = u + iv – конформна в точке z0, причем u и v имеют непрерывные частные производные в окрестности z0. Тогда f сохраняет углы между гладкими кривыми в точке z0.

Определение. Пусть f отображает окрестность точки 1 2 C в C. Говорят, что f конформна в точке 1, если отображение g(w) = f(1=w) (при g(0) = f(1) 6= 1) или g(w) = 1=f(1=w), g(0) = 0 (при f(1) = 1) конформно в точке 0.

Определение. Функция f локально-конформна в области D C, если f конформна в каждой точке области D.

Определение. Функция f конформна в области D, если она локально конформна и взаимно-однозначна (однолистна) в D.

Следствие. Пусть f : D ! C (D – область в C). Тода

(1)f локально конформна в D тогда и только тогда, когда f 2 A(D) и f0(z) 6= 0 всюду в D.

(2)f конформна в D тогда и только тогда, когда f 2 A(D), f0(z) 6= 0 всюду в D и f взаимно-однозначна в D.

Пример. f(z) = z2 локально конформна, но не конформна в C n f0g; та же f конформна в любой полуплоскости с границей, содержащей точку 0, но ни в какой большей области.

Упражнение. Привести пример функции f, всюду в плоскости C имеющей частные производные, удовлетворяющие условиям Коши-Римана, но не имеющей комплексной производной в точке z0 = 0.

Упражнение. Как записываются условия Коши-Римана в полярных координатах?