ТФКП лекции 1-6
.pdfТЕОРЕМА КОШИ ДЛЯ ОДНОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ. |
21 |
По определению C-дифференцируемости функции f в точке z0 имеем:
f(z) = p1(z) + !(z; z0)(z z0);
где p1(z) = f(z0) + f0(z0)(z z0) – полином, а !(z; z0) ! 0 при z ! z0.
Фиксируем произвольное " > 0. Найдется окрестность U G точки z0 такая, что z 2 U если и только если j!(z; z0)j < ". Начиная с некоторого j, все j лежат в U, так что для этих j, пользуясь Следствием5.6 и Свойством (4) интегралов вдоль
кривой, имеем: |
|
|
@+ j p1(z) dz + |
|
@+ j !(z; z0)(z z0) dz |
|
|
|
|
|||||
|
4j |
@+ j f(z) dz |
|
|
|
|
|
|||||||
|
I0 |
|
Z |
|
Z |
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
`(@ 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 + "`(@ j) |
|
= " |
|
|
: |
|
|
|
|
4j |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Окончательно получаем: I0 "`(@ 0)2, так что I0 = 0. |
|
|
|
|
|
|
Определение. Скажем, что функция f удовлетворяет условию треугольника в области G, если f непрерывна в G и для всякого треугольника c условием
R
G выполняется @+D f dz = 0. Тот факт, что функция f удовлетворяет условию треугольника в G будем обозначать f 2 T C(G).
Из леммы Гурсы вытекает, что если A(G) T C(G) (т.е. всякая голоморфная в G функция удовлетворяет условию треугольника в G).
Теорема Коши для односвязной области.
Определение. Область G в C называется односвязной по Жордану, если для любой замкнутой жордановой кривой с носителем в G область D( ) (ограниченная кривой по теореме Жордана) целиком лежит в G.
Замечание. Имеется несколько эквивалентных определений односвязной области, одним из которых и является приведенное определение односвязности по Жордану. Здесь и далее, под односвязной областью понимается область, односвязная по Жордану. Позднее мы приведем другие определения односвязности и докажем их эквивалентность.
5.8.Утверждение-задача. Если область G в C такова, что ее граница @CG
(взятая в C) связна в C, то G – односвязна.
5.9.Теорема Коши для односвязной области. Если область G односвязна, а функция f 2 T C(G) (т.е. f удовлетворяет условию треугольника в G), то для
любой замкнутой спрямляемой кривой с носителем в G имеет место равенство
R
f(z) dz = 0.
Доказательство. Во первых заметим, что утверждение теоремы справедливо, если – замкнутая жорданова ломаная. Доказываем по индукции с применением леммы Гурсы и следующего элементарного геометрического факта: найдутся две не соседние вершины a и b ломаной с тем условием, что (открытый) интервал
(a; b) |
принадлежит D( ). Пользуясь этим фактом мы можем представить инте- |
|
R |
грал |
f(z) dz в виде конечной суммы интегралов по ориентированным границам |
треугольников, которые в свою очередь равны нулю по лемме Гурсы.
Во-вторых, утверждение теоремы справедливо, если – произвольная замкнутая ломаная в G. Для доказательства достаточно воспользоваться предыдущим утверждением и следующим фактом. Для произвольной замкнутой ломаной
ТЕОРЕМА КОШИ ДЛЯ ОДНОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ. |
22 |
найдется конечное число замкнутых жордановых ломаных 1; : : : ; N таких, что [ n] [ ] для всех возможных n и для любой f 2 C([ ]) имеет место
ZN Z
X
f(z) dz = f(z) dz:
n=1 n
Перейдем теперь к рассмотрению общего случая. Нам потребуются следующие обозначения. Пусть : [ ; ] ! C – произвольный путь, T = ft0; t1; : : : ; tN g – некоторое разбиение отрезка [ ; ] и пусть zn = (tn). Обозначим через = (T ) – соответствующую вписанную ломаную, т.е. путь на [ ; ], который на каждом из отрезков [tn 1; tn] при n = 0; : : : ; N равномерно проходит отрезок [zn 1; zn] в соответствующем направлении. Обозначим также n = j[tn 1;tn] и n = j[tn 1;tn]. Напомним, что через (T ) обозначается диаметр разбиения T , а d( ; ) = sup j (t) (tj на [ ; ]. Утверждение теоремы в общем случае непосредственно вытекает из следующей леммы.
Лемма (лемма об аппроксимации). Пусть : [ ; ] ! G – произвольный спрямляемый путь в G, а функция f – непрерывна в G. Тогда для любого " > 0 найдется > 0 такое, что для любого разбиения T отрезка [ ; ] c условием(T ) < выполнено (в приведенных выше обозначениях):
(1)d( ; ) < ", в частности, = (T ) – замкнутая ломаная в G при всех достаточно малых ";
(2)
|
f(z) dz f(z) dz |
< ": |
|
Z |
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство леммы. Пусть d = minf1; dist([ ]; @D)g. Введем K := fz 2
C : dist(z; [ ]) d=2g – компакт в G (d=2-раздутие ), причем dist(K; @G) d=2. Поскольку f 2 C(K) и 2 C([ ; ]), то ( ) := !K(f; ) ! 0 и !( ) := ![ ; ]( ; ) !
0 при ! +0.
Фиксируем произвольное ", " < d=2, и выберем > 0 так, что !( ) < ",(!( ))`( ) < 12 " и для всякого разбиения T с условием (T ) < выполнено:
|
|
|
|
|
|
|
f(z) dz S(f; ; T; ) < |
2; |
(5.1) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
где |
= T |
n f |
|
|
|
|
разбиения |
T |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g – разметка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Покажем (в приведенных выше обозначениях), что – искомое. Возьмем про- |
||||||||||||||||
извольное разбиение T с (T ) < , и разметим его указанным выше образом: |
|||||||||||||||||
:= T n f g. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Утверждение (1) выполнено, поскольку всякое t 2 [ ; ] лежит в некотором |
||||||||||||||||
отрезке [tn 1; tn] (при этом (t) 2 [zn 1; zn]) , так что |
|
|
d |
|
|
|
|||||||||||
|
j (t) (t)j maxfj (t) (tn 1)j; j (t) (tn)jg !( (T )) !( ) < " < |
: |
|
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||
|
Проверим утверждение (2). Согласно условиям на выбор , |
|
|
|
|
||||||||||||
|
f(z) dz S(f; ; T; ) |
N |
n f(z) dz f(zn)(zn zn 1) = |
|
|
|
|
||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
Z |
|
|
|
|
|
X |
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
n (f(z) f(zn)) dz (!( (T )))`( ) < (!( ))`( ) < |
2; |
||||||||||||
|
|
|
|
X |
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда и вытекает требуемое (с учетом свойств интеграла вдоль кривой).
ТЕОРЕМА КОШИ ДЛЯ ОДНОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ. |
23 |
Таким образом доказательство леммы, а вместе с ним и доказательство теоремы 5.9 завершено.
Из Теоремы 5.9 тривиально выводится следующее утверждение.
5.10. Следствие. Пусть G и f такие, как в условиях Теоремы 5.9. Тогда, если 1 и 2 – две спрямляемые кривые в G с одинаковыми началами и концами
RR
соответственно, то 1 f(z) dz = 2 f(z) dz.
Задача. Доказать, что для всякого многоугольника (ограниченного замкнутой жордановой ломаной, не обязательно выпуклого) найдутся 3 последовательные вершины такие, что определяемый ими треугольник целиком лежит в исходном многоугольнике.
Задача. Доказать, что если – некоторая замкнутая ориентированная ломаная в C, а f непрерывна на ее носителе [ ], то существуют замкнутые жордановы ломаные 1; : : : ; n с носителями в [ ] такие, что
Zn Z
f(z) dz = |
Xk |
f(z) dz: |
|
|
=1 k |
ЛЕКЦИЯ 6
Первообразная. Интегральная теорема Коши и ее следствия
Первообразная и ее свойства
Определение. Пусть G – область в C, а функция f : G ! C. Функция F : G !
C называется первообразной (точнее, комплексной первообразной) для функции f
вобласти G, если F 2 Hol(G) и F 0(z) = f(z) всюду в G.
6.1.Предложение. Если F – первообразная для функции f в области G C, то совокупность всех первообразных для функции f в области G имеет вид
F + C = fF + c : c 2 Cg.
Идея доказательства: свести данное утверждение к случаю f = 0 и воспользоваться условиями Коши-Римана.
6.2. Теорема о существовании первообразной в односвязной области.
Пусть G – односвязная область в C, а функция f 2 T C(G) (т.е. f удовлетворяет условию треугольника в G). Тогда f имеет первообразную в G.
Замечание: так как Hol(G) T C(G), то всякая функция f 2 Hol(G) удовлетворяет условиям этой теоремы.
Доказательство. Фиксируем произвольную точку a 2 G. При z 2 G положим
Z z
F (z) = f( ) d ;
a
где интеграл берется по любому спрямляемому пути в G, соединяющему точки a и z. В силу следствия 5.10 из теоремы Коши все эти интегралы совпадают и, следовательно функция F определена корректно и для всех z 2 G (так как G – линейно-связна).
Фиксируем теперь точку z0 2 G и пусть берем произвольную точку z так, что jz z0j < dist(z0; @G), тогда
|
F |
|
z) |
|
F (z |
) |
f(z0) |
|
1 |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
a |
f( ) d |
a |
|
f( ) d f(z0)(z z0) |
|
= |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
( |
|
z |
z0 |
0 |
|
|
= z z0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
f(z0) |
|
|
|
|
z |
|
z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
[z0 |
;z] |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f( ) |
f(z0) d |
|
|
|
|
k |
|
|
|
j |
|
|
= |
k |
f |
|
f(z0) |
[z0;z] |
|
|
0 |
|||||||||
|
z |
|
|
z0 |
|
z0 |
|
|
|
|
z |
|
|
z0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
j |
|
|
|
|
|
|
k |
|
! |
|
||||||||||||||||
при z |
! |
z0 |
ввиду |
непрерывности |
f в точке z0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.3. Следствие. Пусть G – односвязная область в Cnf0g. Тогда существует го-
ломорфная ветвь L(z) многозначной функции Ln(z) (“Логарифм”) и голоморфная p
ветвь V (z) многозначной функции n z (“корень степени n”) в G. При этом L0(z) = 1=z и V 0(z) = V 1 n(z)=n в G. В частности, при n = 2 имеем V 0(z) = 1=(2V (z)).
Доказательство. Фиксируем точку a 2 G. По предыдущей теореме, функция 1=z 2 Hol(G) имеет первообразную L в G с условием L(a) 2 Ln(a). Утверждается, что L – искомая ветвь Логарифма. Действительно, пусть E = fz 2 G : L(z) 2 Ln(z)g. По доказанному ранее у каждой точки z0 2 G есть окрестность B = B(z0; r) в G (можно взять r = dist(z0; @G)) и голоморфная в B ветвь Логарифма,
24
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ |
25 |
удовлетворяющая 0(z) = 1=z. Следовательно, L = const в B. Отсюда легко следует, что E не пусто, открыто и замкнуто в G, т.е. E = G.
Искомая ветвь корня степени n в G имеет вид V (z) = exp (L(z)=n). В силу правила дифференцирования сложной функции (см. теорему 2.4):
L(z)
|
e |
|
L0(z) |
|
V (z) |
|
V (z)1 n |
|
V 0(z) = |
n |
= |
= |
: |
||||
|
|
n |
nz |
n |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегральная теорема Коши
Введем понятия допустимой области, ее ориентированной границы и интеграла вдоль ориентированной границы допустимой области.
Пусть D1; : : : ; DJ – жордановы области в C (J 2 – натуральное число) с ориентированными границами @+D1; : : : ; @+DJ соответственно. Предположим, что
замыкания D2; : : : ; DJ областей D2; : : : ; DJ попарно не пересекаются и целиком содержатся внутри D1. При сделанных предположениях множество
|
J |
|||
D = D1 n |
j[ |
|
|
|
Dj |
||||
=2 |
||||
|
|
|
связно, т.е. всегда является областью. Проверка этого несложного факта (которая сводится к проверке линейной связности D) оставляется в качестве задачи.
Определение. Множества D описанного выше вида будем называть допустимыми областями ранга J.
Замечание: ясно, что любая жорданова область является допустимой. При этом ее ранг считается равным 1.
SJ
Из теоремы Жордана следует, что @D = j=1 @Dj, поэтому указанное представление множества D, если оно существует, единственно с точностью до порядка нумерации областей Dj при s 2. Следовательно, определение ранга допустимой области корректно.
Далее, сформулируем следующее
Определение. Ориентированной (положительно ориентированной) границей допустимой области D ранга J 2 называется совокупность (цепочка) границ:
@+D := f@+D1; @ D2; : : : ; @ DJ g:
Для f : @D ! C интеграл от f вдоль (или по) @+D определяется по формуле:
J |
Z@+Dj |
f dz; |
Z@+D f dz = Z@+D1 f dz j=2 |
||
X |
|
|
при условии, что все интегралы справа определены.
Задача. Дать определение спрямляемости и длины `(@D) границы для допустимой области D в C.
Определение. Пусть E C. Будем говорить, что функция f голоморфна на E, если существует открытое множество U, содержащее E, такое, что f определена
иC-дифференцируема всюду в U.
6.4.Утверждение-задача. Если D – область в C и f 2 Hol(D), то найдется область G, такая, что D G и f 2 Hol(G).
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ |
26 |
6.5. Интегральная теорема Коши. Пусть D – допустимая область в C со спрямляемой границей, f 2 Hol(D). Тогда
Z
f(z) dz = 0: |
(6.1) |
@+D
6.6.Доказательство интегральной теоремы Коши. Будем рассуждать по индукции по рангу J допустимой области D. Пусть сначала J = 1, т.е. область D – жорданова. Этот случай по теореме 5.9 сводится к следующей лемме.
6.7.Лемма. Пусть D – жорданова область, U – открытое множество, содержащее D. Тогда найдется односвязная область G с условиями D G U.
Доказательство. Воспользуемся следующим утверждением, непосредственно вытекающим из определения односвязности по Жордану: пусть G1; : : : ; GN – конечное семейство односвязных областей в C и G – какая-либо непустая компонента связности их пересечения, тогда G – односвязная область.
Пусть B – некоторый (открытый) круг, содержащий D. Будем считать, что B не содержится в U, иначе G = B дает нужный ответ. Для каждой точки a 2 B n U пусть da = dist(a; D), Ba = B(a; 12 da). При Ba B пусть La – носитель какой-либо
жордановой ломаной, соединяющей @Ba и @B в B n D (причем кроме концов вся
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ломаная La лежит в B n D), в противном случае полагаем La |
= ?. Определим |
||||||||||||||||||||
Ga = B n ( |
B |
a [ La), так что всякая GaN– односвязна, |
ибо связна ее граница. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Выберем конечное покрытие f |
Ba |
n gn=1 множества |
B |
n |
U кругами |
f |
Ba : a |
2 |
B |
n |
U |
g |
. |
|||||||
|
|
|
|
N |
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||
D. |
|
|
|
|
|
Tn=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Искомая область G есть компонента связности пересечения |
|
Ga |
, содержащая |
Продолжение индукции. Предположим, что при J 2 теорема доказана для всех допустимых областей D ранга J 1 со спрямляемой границей и для всех функций f 2 Hol(D).
Пусть теперь
J
[
D = D1 n Dj
j=2
– допустимая область ранга J, имеющая спрямляемую границу
@+D = f@+D1; @ D2; : : : ; @ DJ g;
а функция f – голоморфна на некотором открытом множестве U, содержащем D. Мы должны установить равенство (6.1).
Положим K1 = @D1, K2 = @Dn@D1. Из непрерывности функции d(z; w) = jz wj на компакте K1 K2 следует, что существуют z1 2 K1 и z2 2 K2, ближайшие друг к другу, т.е. такие, что jz1 z2j = dist(K1; K2). Без ограничения общности будем считать, что z2 2 @D2.
Построение “коридора”. Всюду в этом пункте параметр j принимает значения 1 и 2 (т.е. все условия и построения одновременно выполняются для обоих значений j).
Выберем и зафиксируем какие-либо (замкнутые жордановы спрямляемые) путиj : [ j; j] ! C из @+Dj с условиями j( j) 6= zj.
Выберем d 2 (0; 14 jz1 z2j), удовлетворяющее условиям: B(zj; d) U и d <
j j( j) zjj.
Пусть aj – точка на отрезке [z1; z2] такая, что jaj zjj = d. Мы находимся в условиях конструкции локального закругления жорданова пути (см. выше), т.е. при = j, a = aj, < d определен путь j(aj; ) и соответствующие параметры
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ |
27 |
t0j, t j, t+j и zj = j(t0j). Пусть j – сужение пути j на [t j; t+j]. Теперь фиксируемтак, чтобы [ j ] B(zj; 12 d).
Пусть j – сужение пути j(aj; ) на [t j; t+j]. Напомним, что параметризация на
окружности j выбрана так,+что bj := j(t0j) 2 [z1; z2]. |
|
||||
Наконец, выберем " 2 (0; t j t0j) так, что cj = j(t0j + ") 2 B(z3 j; jz1 z2j), и |
|||||
пусть " – сужение j на [t0j; t0j + "]. Рассмотрим замкнутую кривую |
|
||||
j |
|
|
|
|
|
1 = |
f 1(a1; )g n f 1"g |
[ [b1; b2] [ |
f 2(a2; )g n f 2"g [ [c2; c1]: |
(6.2) |
|
Эта кривая |
спрямляема и жорданова, так как 1 проходится по часовой стрелке |
||||
|
|
|
|
|
(a1 2 D1), а 2 – против часовой стрелки (a2 2= D2), так что отрезки [b1; b2] и [c2; c1] не пересекаются. Построение “коридора” закончено.
Окончание доказательства интегральной теоремы Коши. Пусть теперь
D1 – область, ограниченная 1. Докажем, что Dj D1 при j 3 (если таковые есть). По теореме 5.3 для этого достаточно проверить, что indw( 1) = 1 для любого
w 2 Dj при j 3. Обозначим через открытый криволинейный четырехугольник, ограниченный [b1; b2], f 2"g, [c2; c1] и f 1"g . Согласно утверждению задачи 1.9 имеем:
|
|
|
|
|
|
|
indw( 1) = indw( 1(a1; )) indw( 2(a2; )) indw(@+ ): |
|
|
a |
; |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
D |
|
|
|
|
|||||
Заметим, что indw( 1(a1; )) |
= indw( 1) = 1 |
(так как |
|
2 |
|
|
1), indw( 2 |
( |
|
2 |
|
)) = |
|||||||||||||||||||
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(так как |
w = D |
2), |
ind |
|
|
(@ ) = 0 |
(так как |
w = |
). Что и требовалось. |
|||||||||||||||
indw( |
|
2) = 0 |
|
2 |
|
J |
w |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
Таким образом, D = D1 n |
j=3 |
D |
j (последнее объединение отсутствует при J = |
|||||||||||||||||||||||||||
2) – допустимая область рангаSJ 1 со спрямляемой границей. По предположению |
|||||||||||||||||||||||||||||||
индукции, |
|
@+D f(z) dz = 0. Остается установить, что последний интеграл равен |
|||||||||||||||||||||||||||||
R |
|
|
|
@ |
|
|
|
в силу |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|||
@+D f(z) dzR. Действительно, слагаемые @+Dj |
f(z) dz при j 3, у этих интегралов |
||||||||||||||||||||||||||||||
общие, |
|
+ |
|
f(z) dz = 0 |
|
|
|
утверждения первого шага индукции, |
|
f(z) dz = |
|||||||||||||||||||||
R |
f(z) dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B(zj; d) |
|
|
|
|
j = 1 и 2), так что |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
j |
|
|
|
R |
|
по теореме Коши в односвязной области |
|
|
|
(при |
|
R |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
из (6.2) окончательно получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Z 1 f(z) dz = Z 1(a1; ) f(z) dz Z 2(a2; ) f(z) dz Z@+ f(z) dz = Z 1 |
f(z) dz Z 2 |
f(z) dz: |
|||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом доказательство теорема 6.5 полностью завершено. |
|
|
|
|
|
|
Замечание: на самом деле имеет место намного более общий вариант последней теоремы:
6.8. Усиленная интегральная теорема Коши. Пусть D – допустимая об-
R
ласть со спрямляемой границей, f 2 Hol(D) \ C(D). Тогда @+D f dz = 0.
6.9.Задача. Доказать справедливость утверждения теоремы 6.8 В случае, когда D – круг или кольцо.
6.10.Утверждение-задача. Если – замкнутая спрямляемая кривая, не
проходящая через точку a 2 C, то
2 i |
Z z a = inda( ): |
|
1 |
|
dz |
6.11. Утверждение-задача. Интегралом типа Коши называется интеграл вида
Z
F (z) = f( ) d ;
z
где – спрямляемая кривая, а функция f – непрерывна на ее носителе [ ]. Доказать, что функция F голоморфна вне [ ] и F (1) = 0. Найти F 0(1).
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ |
28 |
Интегральная формула Коши и ее следствия
6.12. Теорема (интегральная формула Коши). Пусть D – допустимая область со спрямляемой границей, f 2 Hol(D). Тогда для любой точки a 2 D спра-
ведлива формула: |
z a : |
|
f(a) = 2 i Z@D |
||
1 |
|
f(z) dz |
Доказательство. Фиксируем a 2 D и пусть d = dist(a; @D). При 2 (0; 12 d)
положим D = D n B(a; ), + = @+B(a; ). Тогда D – допустимая область со спрямляемой границей, а функция f(z)(z a) 1 2 Hol(D ). По интегральной тео-
реме Коши |
|
|
|
a = 0; |
|||
Z@+D z( |
|||||||
|
f z) dz |
||||||
так что |
|
|
|
|
|
|
|
z a |
= Z + z a |
||||||
Z@+D |
|||||||
|
f(z) dz |
|
|
|
f(z) dz |
||
и остается доказать, что |
|
|
|
Z + z a : |
|||
f(a) = 2 i |
|||||||
|
1 |
|
f(z) dz |
Поскольку последний интеграл не зависит от (это следует из интегральной теоремы Коши, примененной к функции f(z)(z a) 1 в круговых кольцах с центром
в точке a), а |
Z + z a = 1; |
|
2 i |
||
1 |
|
dz |
то требуемое утверждение вытекает из следующей оценки:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 i Z + |
z a |
|
|
|
2 |
|
Z |
z a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
f(z) dz |
|
f(a) = |
1 |
|
|
f(z) f(a) dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
f(a) |
k |
[ ] |
|
2 = |
|
f |
|
f(a) |
k |
[ ] |
! |
0 при |
! |
0; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 k |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|||||||||||||
которая, в свою очередь, следует из непрерывности функции f в точке a. |
|
|
6.13. Теорема о среднем. Пусть R 2 (0; +1), а функция f 2 Hol(B(a; R)). Тогда
f(a) = 1 Z f(a + Reit) dt:
2
Доказательство. По интегральной формулы Коши:
f(a) = 2 i Z |
z( a ; |
|
1 |
|
f z) dz |
где T (a; R) = @+B(a; R). Остается вычислить последний интеграл с помощью стан-
дартной параметризации кривой T (a; R), имеющей вид z(t) = a + Reit |
при t 2 |
[ ; ]. |
|
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ |
29 |
6.14. Теорема (принцип максимума модуля). Пусть D – произвольная ограниченная область в C, функция f 2 Hol(D) \ C(D). Тогда для любой точки a 2 D имеем
j |
f |
( |
a |
max f(z) : |
(6.3) |
|||
|
|
)j z |
2 |
@D j |
j |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
При этом, если для некоторого a 2 D неравенство (6.3) обращается в равенство, то функция f(z) постоянна в D.
Замечание: утверждение последней теоремы остается верным, если D – область в C, содержащая точку 1.
Доказательство. Напомним, что непрерывная на компакте функция достигает на нем своего максимального значения.
Для доказательства теоремы нам достаточно установить, что если найдется точка a 2 D с условием jf(a)j max@D jf(z)j, то функция f – постоянна. Пусть такая точка a существует. Без ограничения общности мы можем предположить, что M = maxD jf(z)j = jf(a)j (проверка этого факта оставляется в качестве упражнения). Положим E = fz 2 D : jf(z)j = Mg. Ясно, что E 6= ? и, что множество E замкнуто в D (это непосредственно вытекает из непрерывности функции f). Открытость множества E может быть легко выведена из теоремы о среднем (это доказательство также оставляется к качестве обязательного упражнения). Из связности D получаем, что E = D. Итак, jf(z)j M всюду на D. Остается доказать, что f0(z) = 0 всюду в D. Случай M = 0 тривиален, пусть далее M 6= 0. Если, от противного, существует b 2 D с условием f0(b) 6= 0, то из определения C-дифференцируемости получаем, что f(z) = f(b) + f0(b)(z b) + o(z b), так что jf(z)j не может быть постоянным ни в какой окрестности точки b. Противоречие. Случай 1 2 D также оставляется в качестве упражнения.
Задача. Пусть D – произвольная ограниченная область в C, а функция f 2 Hol(D), причем все предельные значения функции jf(z)j на @D изнутри D не превышают некоторой константы M 2 [0; +1). Тогда для любого z 2 D имеет место неравенство jf(z)j M.
6.15. Основная теорема алгебры. Пусть P (z) = anzn + + a1z + a0 –
произвольный многочлен комплексного переменного z, причем an 6= 0. Тогда P имеет в C ровно n корней с учетом их кратности.
Доказательство. Пусть n 1. По индукции и при помощи теоремы Безу для доказательства теоремы нам надо доказать, что P имеет в C хотя-бы один корень. Пусть, от противного, P (z) 6= 0 при всех z 2 C. Тогда функция f(z) = 1=P (z) – целая (т.е. f голоморфна всюду в C). Поскольку jP (z)j ! +1 при z ! 1, мы получаем, что jf(z)j ! 0 при z ! 1. Применяя принцип максимума модуля для функции f в кругах достаточно большого радиуса с центром в точке 0, получаем, что f(0) = 0. Противоречие.
Замечание: в завершении доказательства основной теоремы алгебры можно было применить теорему о среднем для функции f в кругах большого радиуса с центром в нуле и получить аналогичное противоречие.
6.16. Теорема (формула Коши для производных и бесконечная дифференцируемость голоморфных функций). Пусть D – допустимая область со спрямляемой границей, а функция f 2 Hol(D). Тогда для любых k 2 N0 и a 2 D справедлива формула:
f(k)(a) = 2 !i |
Z@+D (z a)k+1 ; |
||
|
k |
|
f(z) dz |
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ |
30 |
в частности, f(k) голоморфна в D.
Доказательство. Доказательство проведем используя метод индукции. При k = 0 доказываемое утверждение следует из интегральной формулы Коши. Пусть теперь формула справедлива для данного k 2 N0 и всех точек a 2 D. Докажем ее справедливость для k+1 и всех a 2 D. Фиксируем a 2 D и положим d = dist(a; @D). Пусть всюду далее z 2 B(0; d), z 6= 0. Имеем:
f(k) |
a |
z) |
|
|
f(k) a |
) |
|
|
k |
|
|
|
||||||
( |
|
+ |
|
|
( |
= |
! |
Z@+D f(z)G z(z) dz; |
||||||||||
где |
|
z |
|
|
|
|
|
2 i |
||||||||||
(z) = z (z a z)k+1 |
(z a)k+1 |
: |
||||||||||||||||
G z |
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||
Остается доказать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k + 1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
G z |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
(z a)k+2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на @D при z ! 0 и воспользоваться предложением 5.2. Для доказательства указанной равномерной сходимости следует заметить, что
k+1
X
G z(z) =
j=1
причем
1
z a z
1
(z a)j(z a z)k+2 j ;
z |
1 a |
@D = O( z) ! 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при z ! 0. |
|
6.17.Следствие. Если функция f имеет в области D комплексную первообразную, то f 2 Hol(D).
6.18.Теорема Мореры. Пусть D – произвольная область в C, a функция f 2 T C(D). Тогда f 2 Hol(D).
Доказательство. Напомним, что если f 2 T C(D) (т.е., если f удовлетворяет в D “условию треугольника”), то f 2 C(D) и для всякого треугольника с условием
|
|
|
|
D имеет место равенство @+ f(z) dz = 0. |
|
||
|
Остается воспользоваться |
теоремой о существовании первообразной, применен- |
|
|
R |
|
|
ной к кругам из D и последним следствием. |
Определение. Пусть D – область в C. Последовательность (fn : n 2 N) комплекснозначных функций, заданных в области D сходится локально равномерно в D (или равномерно внутри D) к функции f при n ! 1, если эта последовательность сходится к f равномерно на всяком компакте K из D (т.е., если kf fnkK ! 0 при n ! 1 для любого компакта K D).
Замечание: локально равномерная сходимость в D слабее равномерной сходимости в (на) области D. В качестве соответствующего примера можно рассмотреть область D = B(0; 1), последовательность функций (fn(z) = zn : n 2 N) и функцию f = 0.
P1
Определение. Пусть D – область в C. Функциональный ряд n=1 fn, составленный из заданных в области D комплекснозначных функций ((fn : n 2 N)
сходится локально равномерно в D (или равномерно внутри D) к (своей сумме) S, если последовательность (Sn : n 2 N) частичных сумм этого ряда сходится к S локально равномерно в D при n ! 1.