715

1.9. Автоколебания упругих систем. Основные понятия

Это особый вид колебаний, который отличается от вынужденных тем, что возникает в системе в отсутствии внешнего периодического воздействия и зависит от самого процесса колебаний системы. Источник энергии, покрывающий потери в процессе трения, обычно составляет неотъемлемую часть системы и находится вне ее. Чаще — это энергия движущегося потока жидкости или газа, в котором находится колеблющееся тело. Явление автоколебаний всегда связано с какимлибо физическим процессом, природа которого может быть в полной мере не всегда ясна. Далее приведем качественное описание примеров автоколебаний систем, находящихся в потоке воздуха.

1.9.1. Автоколебания пластинки в потоке воздуха

Рассмотрим достаточно тонкую пластинку бесконечной длины, обладающей конечной массой и закрепленной в пространстве при помощи упругих связей. Допустим, эта пластинка обдувается воздушным потоком. Вид сбоку на эту пластинку представлен на рис. 1.51. Пусть под действием каких-либо случайных возмущений пластинка повернется на некоторый угол, как это показано на рис. 1.52. Так как воздух обладает определенной вязкостью, то он будет давить на повернутую пластинку с некоторой силой F. Величина этой силы зависит от двух интересующих нас величин: угла поворота пластинки (который в дальнейшем будем называть углом атаки) и скорости набегающего воздуха. Чем больше значения этих величин, тем больше сила F. Сила F может быть разложена на две составляющие: вертикальную (подъемную силу) и горизонтальную (силу сопротивления). Если скорость набегающего воздуха будет постоянной, то подъемная сила будет удерживать пластинку в неизменном повернутом положении, которое, кроме перечисленных выше факторов, определяется жесткостью удерживающих пружин. В этих пружинах возникают реакции, уравновешивающие аэродинамическую силу F.

Рис. 1.51. Обтекание пластинки воздушным потоком

Рис. 1.52. Обтекание пластинки

в невозмущенном состоянии

ламинарным потоком

Отметим очень важное свойство обтекающего потока. Струи воздуха могут быть гладким без всяких завихрений (см. рис. 1.52). В этом случае поток называется ламинарным. Если в процессе обтекания возникают вихри, то говорят о турбулентном потоке.

Увеличение скорости набегающего воздуха приводит к росту значения силы F, а это, в свою очередь, приводит к возрастанию угла атаки. Однако при некотором значении этого угла происходит явление срыва потока. В области за пластинкой возникают завихрения (рис. 1.53). В результате величина силы F резко (в несколько раз) уменьшается. Действующие в этот момент реакции в упругих связях (будучи неуравновешенными) начинают разворачивать пластинку в сторону исходного невозмущенного (горизонтального) положения. Это движение имеет ускоренный характер. Следовательно, к силам реакций связей добавляются еще и сила инерции, имеющая не только поступательную, но и вращательную компоненту. При достижении углов атаки, близких к нулю, восстанавливается ламинарность потока, вихри отделяются от пластинки. Однако в этот момент скорость движения пластинки достигает максимального значения, благодаря чему пластинка по инерции проходит положение исходного невозмущенного положения. Она будет совершать дальнейшее поступательное движение вниз и поворачиваться. Так как обтекание пластинки является ламинарным, то вновь возникает аэродинамическая сила F, которая теперь будет направлена вниз (рис. 1.54). Эта сила будет уравновешиваться реакциями в упругих связях. Ситуация зеркально повторяется. Подъемная сила при определенном ветровом напоре разворачивает пластинку до тех пор, пока вновь не возникает явление срыва потока (рис. 1.55). Возникновение турбулентности опять приводит к исчезновению силы F. Пластинка начинает движение вверх. Таким образом возникает периодический процесс колебательных движений пластинки в среде обдуваемого воздуха, причиной которого являются периодические срывы потока. Это явление называется срывным флаттером. В потоке воздуха, сошедшего с колеблющейся пластинки, будут наблюдаться чередующиеся завихрения воздуха (вихри, рис. 1.56). Если частота изменения подъемной силы Fу будет близкой к собственной частоте колебаний пластинки, то может возникнуть явление резонанса.

40

из них в момент появления излучает свои волны, поэтому очаг землетрясения характеризуется широким спектром колебаний с периодом от десятка секунд до сотых долей секунды.

Скорость распространения глубинных волн зависит от плотности и упругих характеристик среды. Известно, что продольные волны распространяются быстрее поперечных волн примерно в полтора раза. Скорость распространения поверхностных волн несколько меньше скорости поперечных волн.

Колебания точек грунтового массива при землетрясениях фиксируются на сейсмических станциях наблюдения в виде сейсмограмм, велосиграмм и акселерограмм, которые представляют собой графики изменения смещений, скоростей и ускорений места расположения сейсмостанции во времени.

Землетрясения классифицируются по их интенсивности и силе. Интенсивность характеризует очаг землетрясения, а сила характеризует проявления (последствия) землетрясения на поверхности Земли. Для количественной оценки интенсивности применяют шкалу магнитуд, предложенную Рихтером (шкала Рихтера), или энергетическую шкалу. Энергетический класс землетрясения определяется по выражению

K = ln E,

где Е — суммарная энергия в джоулях, выделяемая в очаге землетрясения.

Рассмотрим характер уменьшения амплитуды колебаний грунта в зависимости от эпицентрального расстояния r для двух землетрясений различной интенсивности с амплитудами А1 и А2 (рис. 1.61). Амплитуды землетрясений уменьшаются по мере удаления от эпицентра, но отношение амплитуд (А2 А1 ) не зависит от r и остается постоянным. Если принять А1 за амплитуду эталонного

слабого землетрясения с магнитудой М = 0, то магнитуда любого другого землетрясения с амплитудой А2 определится как десятичный логарифм отношения

Рис. 1.61. Зависимость амплитуды землетрясения от эпицентрального расстояния r

В качестве магнитуды М = 0 принимается интенсивность эталонного землетрясения, при котором амплитуда колебаний поверхности грунта на расстоянии 100 км от эпицентра, записанная стандартным сейсмографом с увеличением, равным 2800, собственным периодом колебаний 0,8 с и коэффициентом затухания, равным 0,8 критического, равна А1 = 1 мкм. Величина энергии упругих волн, выделяемая при эталоном землетрясении с нулевой магнитудой, Е = 105Дж.

На основе обработки статистических данных о землетрясениях, произошедших в разных странах мира, получено выражение связи магнитуды и энергии землетрясения

Е =11+1 5М.

Сила землетрясения определяется шкалой балльности. Исторически первоначально шкалы балльности силы землетрясений основывались на описательных признаках: ощущения людей, поведение животных, повреждения зданий и сооружений, деформации и перемещения грунтов и др. Позднее в шкалы балльности были внесены данные об ускорениях колебаний поверхности грунтов на разных расстояниях от эпицентра.

В России для оценки силы землетрясения применяется двенадцатибалльная шкала MKS-64. Точность оценки силы землетрясения по шкалам балльности зависит от накопленного объема статистического материала о последствиях землетрясения. На основе статистических данных наблюдений было получено уравнение макросейсмического поля для точечной модели очага землетря-

44

где Ji — балльность на расстоянии i от эпицентра; h — глубина очага; b, ν, c — константы:

обычно принимают b = 1,5; ν = 3,5; c = 3,0 (однако значения констант для отдельных регионов могут сильно отличаться от средних).

Из уравнения (1.77) можно получить связь между магнитудой, балльностью J0 в эпицентре и глубиной очага

M = J0 + νlgh − c . b

Наибольшая сила землетрясения обычно проявляется в эпицентре землетрясения. По мере удаления от него сила землетрясения падает. Затухание балльности описывается макросейсмической формулой

Линии равной силы землетрясения, нанесенные на карту местности и разграничивающие участки различной балльности, называют изосейтами. Вид изосейт зависит от формы очага, рельефа местности, грунтовых условий и других факторов.

При проектировании и строительстве новых сооружений возникает необходимость оценки возможных землетрясений в конкретной местности. В прогнозировании землетрясений важным понятием является сейсмичность территории — наибольшая ожидаемая сила землетрясения в баллах, возможная на данной территории. Разделение территории на районы различной сейсмичности называется сейсмическим районированием. При составлении карты сейсмического районирования собираются данные за возможно более длительный период времени. По этим данным определяется интенсивность каждого землетрясения и строятся карты изосейт. Затем все известные карты изосейт для данного района накладывают друг на друга, и по каждой изосейте строится огибающая изосейта, определяющая максимум балльности за долгий срок.

Для инженера при проектировании сооружений важно знать не столько цифру балльности землетрясения, сколько каким будет его воздействие на сооружение. Поэтому наиболее полной характеристикой землетрясения являлся бы закон сейсмических колебаний, описывающий изменение смещений грунта во времени. К сожалению, из-за множества факторов, влияющих на закон колебаний грунта, а также случайной природы этих факторов, получить такой закон, справедливый для любой местности, не представляется возможным. Однако анализ записей сейсмограмм землетрясений силой 6–8 баллов, относящихся к территориям с различными гидрогеологическими и рельефными условиями, позволяют сделать следующие общие выводы:

1.Сейсмические колебания имеют сложный, многочастотный состав и характеризуются непрерывным спектром в диапазоне периодов 0,03 до 2,0 секунд и более. Максимум спектральных кривых, соответствующий преобладающим периодам колебаний, как правило, располагается в пределах значений от 0,2 до 0,7 секунды.

2.С увеличением балльности участка территории на одну единицу максимальные ускорения грунта Wmax увеличиваются примерно в два раза. Отношение Wmax к ускорению свободного падения называют коэффициентом сейсмичности:

Kc = Wmax .

g

Этот коэффициент является количественной характеристикой колебаний грунта.

Далее рассмотрим теоретические основы расчета сооружений на сейсмические воздействия и практический метод расчета, изложенный в СНиП II–7–81 «Строительство в сейсмических районах».

1.10.2. Вынужденные колебания однопараметрической системы при действии возмущающей силы р(t), произвольно зависящей от времени

Перепишем полученное ранее (см. п. 1.3.2) дифференциальное уравнение движения массы (1.27):

m

Общий интеграл этого уравнения состоит из двух слагаемых:

45

у1 — решение однородного уравнения (1.15) в виде (1.19):

у2 — частное решение, соответствующее правой части уравнения (1.78). Для его нахождения решается следующая вспомогательная задача: требуется найти перемещение массы m от воздействия на нее начального мгновенного импульса G (рис. 1.62). Величина импульса G равна приращению количества движения:

G = my&0 .

Начальные условия, соответствующие действию мгновенного импульса G при t = 0: у0 = 0; y&0 = G .

G

B = mω1 , ϕ01 = 0.

Используя выражение (1.79), получим уравнение движения массы при действии мгновенного начального импульса G:

y = G e−nt sin(ω1t). mω1

Функцию Ф(t) принято называть реакцией линейного осциллятора (системы с одной степенью свободы) на единичный мгновенный импульс.

Частное решение уравнения (1.78) для произвольной силы теперь можно записать с помощью функции Ф(t). Для этого график возмущающей силы Р(t) представим как последовательность воздействия мгновенных элементарных импульсов (рис. 1.63):

dG = P(τ)dτ .

Рис. 1.63. Представление графика изменения силы Р(t) последовательностью мгновенных элементарных импульсов

Элементарный импульс dG по истечении времени (t − τ) вызовет перемещение массы:

dy2 = dGФ(t).

Просуммировав влияние всех элементарных импульсов на интервале времени [0, t], получим выражение перемещения у2 в момент времени t:

00

46

Учитывая равенства (1.79) и (1.81), общий интеграл уравнения (1.78) перепишем в виде:

Выражение (1.83) называется интегралом Дюамеля.

Определение перемещения у(t), если функция внешнего возмущения Р(τ) имеет произвольный вид, в аналитической форме затруднительно, а в ряде случаев невозможно, поэтому для отыскания решения в форме (1.83) применяют численные методы вычислений определенного интеграла.

1.10.3. Основные понятия спектральной теории расчета сооружений на сейсмические воздействия

Вынужденные колебания сооружений могут вызываться и поддерживаться за счет принудительного смещения его опорных закреплений, которое в строительной механике называют кинематическим возбуждением колебаний. Во время сейсмического толчка фундамент сооружения получает определенное смещение в пространстве, соответственно массы сооружения приходят в движение и совершают колебания.

Рассмотрим кинематическое возбуждение колебаний в системе с одной степенью свободы (рис. 1.64) и составим уравнения движения массы. Полное перемещение массы состоит из двух слагаемых: первичного (возмущающего) = (t) смещения и ее дополнительного смещения

y = y(t). Возмущающее перемещение — это перемещение точки в условной безмассовой системе. В статически определимых системах перемещение (t) происходит без деформации системы, в отличие от статически неопределимых систем, когда такие перемещения могут сопровождаться определенной деформацией конструкции. Дополнительное перемещение массы y = y(t) найдем с учетом деформаций системы от воздействия на нее суммарной силы инерции.

Примем:

y1 = y + , I = −m&y&1 , тогда дополнительный прогиб, вызванный силой инерции I, получим в виде

y = δ11I = −mδ11&y&1.

Поскольку

&y&1 = &y& + && ,

то получаем следующее уравнение:

Сила P(t) в соотношении (1.84) — это сила инерции массы m, соответствующая ускорению возмущающего перемещения . В результате приходим к выводу о том, что для определения вынужденных колебаний системы, вызванных кинематическим возбуждением, необходимо рассчитать систему на действие возмущающей силы инерции массы (1.85). Очевидно, что это положение справедливо и для систем с любым числом степеней свободы (n ≥ 1).

В момент землетрясения в грунтовой среде распространяются волны деформаций и перемещений. Точки земной поверхности испытывают сложное движение циклического характера. Для упрощения задачи предположим, что длина поверхностной волны землетрясения много больше протяженности сооружения, тогда можно считать, что при проходе волны фундамент сооружения

сейсмограмм, предшествующих землетрясений на данной территории. Поставим задачу определения перемещений Zi = Zi (t) и соответствующих динамических сил при известной функции смещения = (t) (рис. 1.65, а, б).

47

в)

Рис. 1.65. Сейсмические колебания системы, имеющей n степеней свободы:

а— положение системы при кинематическом возбуждении колебаний;

б— силы инерции, возникающие в результате возмущающего перемещения;

в — разложение перемещений масс по формам собственных колебаний сооружения

В общем виде задача состоит в решении системы n дифференциальных уравнений второго порядка, записанных в матричной форме (см. аналогичное дифференциальное уравнение (1.5)):

00 ... mn

00 ... bnn

Z Z Z — вектора смещений, скоростей и ускорений сосредоточенных масс.

Поскольку сооружение, как упругая система, реагирует на возмущающее воздействие каждой составляющей полного спектра собственных колебаний, то решение системы уравнений движения

48

(1.86) можно существенно упростить. Для этого нужно от неизвестных смещений Z перейти к новым групповым перемещениям, форма которых совпадает с формами собственных колебаний системы Vk (k =1, 2,..., n) . Собственные вектора Vk и соответствующие им частоты собственных ко-

лебаний ωk будем считать известными из предварительного решения задачи о свободных колебаниях исследуемой конструкции (см. п. 1.4.1)

AMV = ω12 V или RV = ω2MV ,

где A = R-1 — матрица податливости сооружения.

Идея излагаемого метода состоит в том, что искомый вектор перемещений Z(t) уравнения (1.86) представляется в виде разложения по формам собственных колебаний (см. рис. 1.65, в)

k=1

где qk(t) — новые неизвестные обобщенные перемещения, иначе называемые главными координатами, поскольку базисные векторы Vk называют главными формами колебаний.

Опуская подробности преобразований уравнения (1.86) при подстановке в него выражения (1.87), получим n отдельных дифференциальных уравнений для определения главных координат qk (t):

n

лебаний; Mk = ∑mivik2 — обобщенная масса k-й формы колебаний; nk — коэффициент, характе-

i=1

ризующий силы неупругого сопротивления колебаниям для k-й формы.

Учитывая сходство уравнений (1.78) и (1.88), решение последнего записывается с помощью интеграла Дюамеля (1.83) для нулевых граничных условий в следующем виде:

Формулы (1.89)–(1.90) совместно с представлением (1.87) решают задачу определения прогибов Z(t). Зная прогибы Z(t), находим динамические силы, действующие на систему в этот момент времени:

Из равенства (1.91) следует, что вектор динамических сил S(t) состоит из n векторов, каждый из которых соответствует определенной форме собственных колебаний системы (рис. 1.66)

49