Формирование и передача сигнала_lekc

3. Методы модуляции

Модуляция - это процесс управления одним или несколькими параметрами высокочастотного (ВЧ) колебания. Управляющим является сигнал, несущий информацию. В аналоговых системах используются амплитудная модуляция (АМ) и угловая модуляция в двух модификациях: фазовая (ФМ) и частотная (ЧМ). Методы модуляции, применяемые в цифровых системах, более разнообразны. Передача цифрового сигнала по проводу может выполняться без использования высокочастотного колебания, при этом сигналам, представленным знаками 1 и 0, придают определенную форму. Этот процесс называют модуляцией в основной полосе частот.

3.1. Амплитудная модуляция.

При амплитудной модуляции информационный сигнал s(t) управляет амплитудой ВЧ-колебания с несущей частотой ω0 (рис.12). Рассмотрим два варианта управления амплитудой:

а) SАМ(t) = s(t) cos ω0 t , б) SАМ(t) = [U0 + s(t)] cos ω0 t, |s(t)|<U0. (18) Сигналы (18) при однотональном модулирующем сигнале можно предста-

вить следующим образом:

М-коэффициент глубины модуляции. Спектры амплитуд этих сигналов

ричные относительно ω0 боковые полосы - верхняя и нижняя (рис.13б). Это явление, происходящее при любом виде модулирующего сигнала, называют переносом спектра в область высоких частот. Спектр модулированного сигнала симметричен относительно несущей частоты, его ширина 2Ωmax, где Ωmax – максимальная частота спектра модулирующего сигнала, а огибающая боковой полосы повторяет форму спектра модулирующего сигнала. Сигнал (18 -а) называется сигналом с двумя боковыми полосами и подавлением несущей (ДБП-ПН), сигнал (18 -б) - с двумя боковыми полосами и передаваемой несущей (ДБП-Н).

достигается значительный выигрыш по мощности и полосе. В телевидении используются сигналы с частичным подавлением боковой полосы (ДБП-ЧП). Для сохранения исходного спектра сигнала необходимо, чтобы характеристика среза фильтра была симметрична относительно несущей частоты.

3.2. Угловая модуляция.

При угловой модуляции происходят относительно небольшие изменения периода несущего колебания под влиянием информационного сигнала s(t). Эти изменения можно представить и как результат введения добавки к частоте ВЧ-колебания Δω=ks(t) – частотная модуляция (ЧМ) , и как результат введения добавки к фазе Δϕ=ks(t) – фазовая модуляция (ФМ). Покажем это на примере однотонального модулирующего сигнала s(t)=cosΩt , используя соотношение ω(t)=dϕ(t)/dt. Изменение фазы Δϕ=ϕmcos Ωt означает изменение частоты Δω = -ϕmΩ sin Ωt , а изменение частоты Δω =ωmcosΩt означает изменение фазы Δϕ = (ωm/Ω)sinΩt. Следовательно,

Из (19 ) следует, что сигналы с ФМ и ЧМ можно представить в единой форме

Sум = Acos[ω0t + msin Ωt].

Индекс угловой модуляции m имеет физический смысл девиации фазы - ее максимального отклонения под влиянием информационного сигнала. При фазовой модуляции девиация фазы ВЧ-колебания (ϕm=m ) не зависит от частоты модулирующего сигнала, а девиация частоты (ωm=ϕmΩ) пропорциональна частоте модулирующего сигнала. При частотной модуляции девиация частоты ωm не зависит от частоты модулирующего сигнала, а девиация фазы ϕm =ωm/Ω=m обратно-пропорциональна частоте модулирующего сигнала.

Сигнал с однотональной угловой модуляцией можно представить следующим образом:

Sум(t) = cos(ω0t + msinΩt) = cos(msinΩt)cosω0t − sin(msinΩt)sinω0t =

= J0(m)cosω0t + J1(m)[cos(ω0 + Ω)t − cos(ω0 − Ω)t] + J2(m)[cos(ω0 + 2Ω)t + cos(ω0 − 2Ω)t] + J3(m)[cos(ω0 + 3Ω)t − cos(ω0 − 3Ω)t] + ...

Здесь использованы разложения в ряд Фурье

cos(msinΩt) = J0 (m) + 2J2 (m)cos2Ωt + 2J4 (m)cos4Ωt +...

sin(msinΩt) = 2J1(m)sinΩt + 2J3(m)sin3Ωt +...

Коэффициенты в этих рядах - функции Бесселя первого рода. Они немонотонны (рис.14), поэтому при изменении индекса модуляции некоторые гармоники увеличиваются, а некоторые уменьшаются и могут обращаться в 0. Примеры амплитудных спектров приведены на рис. 15. Ширину спектра сигнала с угловой модуляцией приблизительно оценивают как

2 (ωm+Ωmax) = 2 Ωmax(m+1), где Ωmax - максимальная частота спектра модулирующего сигнала. При m<0,5 она такая же, как у сигнала с амплитуд-

ной модуляцией.

J0

1J1

J2

m

Рис.14

0.8

m=1

0.4

ω

ω0

m=2

0.6

0.20.4

ω ω0

Рис.15

3.3.Модуляция в основной полосе частот

Вцифровых системах информация представляется последовательностью двоичных знаков 1 и 0. Соответствующие этим знакам сигналы, передаваемые внутри электронной аппаратуры или в проводных системах связи, имеют вид импульсов и называются сигналами с импульснокодовой модуляцией (ИКМ). Т.к. при этом не используется высокочастот-

ное несущее колебание, такой вид модуляции называют также модуляцией в основной полосе частот, или узкополосной модуляцией.

Полоса пропускания канала ограничена со стороны высоких и низких частот (из-за наличия разделительных конденсаторов и трансформаторов), поэтому фронты импульсных сигналов сглаживаются, а постоянная составляющая не пропускается. В результате возникают межсимвольные искажения: влияние предыдущих знаков передаваемой двоичной последовательности на вид текущего сигнала. Уровень искажений удобно наблюдать на "глазковой" диаграмме. На вход канала (или его модели) подается синхронная последовательность сигналов, соответствующих случайному двоичному коду. Глазковая диаграмма получается наложением участков осциллограммы выходного сигнала канала, равных по длительности нескольким тактовым (битовым) интервалам.

Примеры глазковых диаграмм приведены на рис. 16. Межсимвольные искажения вызывают джиттер - расширение области межуровневых переходов и "закрытие" глазка - размывание и взаимное сближение верхнего и нижнего уровней сигнала. В результате усложняется тактовая синхронизация - определение моментов опроса сигнала и снижается помехоустойчивость.

Уровень межсимвольных искажений зависит как от характеристик канала, так и от принятого способа модуляции - кода канала. К нему предъявляется ряд требований, в частности:

а) отсутствие постоянной составляющей, иначе уровень сигнала будет "плавать" в зависимости от расположения знаков 1 и 0 в последовательности,

б) свойство самосинхронизации - возможность формировать тактовые импульсы по фронтам принятого сигнала,

в) узкополосность и помехоустойчивость.

Известно большое число кодов канала, наилучших по отдельным показателям. Некоторые примеры приведены на рис.17. Коды (1-2) – «без возврата к 0», т.е. сигнал сохраняет свой уровень в течение всего такта - длительности бита. Вариант (1) типичен для цифровых логических схем. Знакам 0 и 1 соответствуют разные уровни сигнала. В варианте (2) при знаке 0 уровень сигнала сохраняется, а при знаке 1 изменяется на проти-

воположный. Т.к. уровень сигнала определяется не абсолютным значением бита, а разницей соседних битов, такое кодирование называют дифференциальным. Коды (3-5) – «с возвратом к 0», т.е. к прежнему уровню сигнала в этом же такте. В варианте (3) однополярный импульс формируется только при появлении знака 1, в варианте (4) единице и нулю соответствуют импульсы разной полярности, в варианте (5) происходит чередование полярности при появлении знака 1, а при появлении знака 0 импульс не формируется.

+

(1)

-

(2)+

-

-

-

+

(5)0

-

-

+

(6)-

-

+

(7)-

-

Рис.17

При «фазовом» кодировании знаки 1 и 0 определяют направление изменения уровня сигнала. В манчестерском коде (6) знаку 1 соответствует изменение уровня с + на -, знаку 0 с - на +. В результате при знаке 1 импульс положительной полярности формируется в первой половине такта, при знаке 0 - во второй половине. В коде (7) при знаке 1 полярность сигнала изменяется, при знаке 0 формируется положительный перепад сигнала в середине такта.

Коды (2-5) применяются при записи на магнитную ленту. Из них свойством самосинхронизации обладает код (4). Код (5) применяется в телефонных системах, существуют его модификации с установкой дополнительных единиц после серий нулей для упрощения синхронизации. Коды с фазовой кодировкой самосинхронизующиеся. Особенно хорошо синхронизуется код (7). Он применяется в высокоскоростных системах.

Импульсно-кодовая модуляция - далеко не единственный способ кодирования цифровых сигналов в проводных линиях связи. Широко применяется передача знаков 1 и 0 сигналами определенных частот, разных для прямого и обратного каналов. При частотно-компактном кодировании исходная битовая последовательность делится на m-битовые группы. Каждой возможной битовой комбинации ставится в соответствие по таблице набор символов из троичного алфавита 0,+1,-1, где 0 - отсутствие сигнала, +1 и -1 - полупериоды синусоиды противоположных знаков. Может быть несколько разных таблиц, используемых по очереди.

Межсимвольные искажения отсутствуют, если величина сигнала в момент опроса текущего символа не зависит от соседних символов. Найквист доказал две теоремы, определяющие условия отсутствия межсимвольных искажений. Первая утверждает: если короткие импульсы с частотой следования fs = 1/Ts подаются в идеальный канал с частотой среза fN =fs/2 , то отклики на эти импульсы можно наблюдать независимо. Идеальным считается канал с характеристиками, показанными на рис. 18: АЧХ прямоугольная, ФЧХ линейная. Рис. 19 иллюстрирует реакцию такого канала на δ -импульс: при выполнении условий теоремы в точке максимального отклика на данный импульс отклики на любые другие импульсы равны 0. Согласно второй теореме, межсимвольные искажения отсутствуют не только при идеальной частотной характеристике канала, но и при характеристике, симметричной относительно частоты среза.

Реальный импульс имеет конечную длительность, а идеальный фильтр практически неосуществим. Тем не менее теоремы имеют большое значение, т.к. указывают, какая характеристика фильтра является предпочтительной. Что касается условия малой длительности входных импульсов, то оно не принципиально. Если пропустить последовательность импульсов длительности τ через корректирующий фильтр с частотной характеристикой, обратной огибающей спектра прямоугольного импульса, т.е. имеющей вид πfτ /sin(πfτ), спектр станет равномерным - как у δ - импульса, и условия теоремы будут выполнены.

В качестве желаемой частотной характеристики канала, к которой стараются приблизиться при проектировании систем связи, часто используют функцию "приподнятого косинуса":

где Ts -длительность бита, α = 0…1 - коэффициент скругления.

Характеристика приподнятого косинуса представлена на рис.20. Чем круче спад частотной характеристики, тем больше джиттер. При α=0,3 он равен 36%, при α=1 практически отсутствует.

3.4. Амплитудно-фазовая манипуляция

Модуляцию цифровым сигналом часто называют манипуляцией. При амплитудно-фазовой манипуляции символы сообщения (m-битовые кодовые комбинации) управляют амплитудой и начальной фазой ВЧколебания постоянной частоты. Такой метод модуляции особенно хорош для каналов с ограниченной полосой. В частных случаях может меняться только амплитуда (амплитудная модуляция) или только фаза (фазовая модуляция). Ансамбли сигналов, соответствующих всем возможным символам, представляют "сигнальной диаграммой" (рис.21). Радиус-вектор точки диаграммы указывает амплитуду сигнала, аргумент этого вектора - фазу сигнала. Использование прямоугольной (квадратурной) конфигурации (рис.21б) позволяет сформировать любой сигнал ансамбля как сумму двух квадратурных - сдвинутых относительно друг друга на 90° сигналов, имеющих малое число градаций амплитуды.

Q

I

Рис.21

Ансамбль сигналов строится таким образом, чтобы обеспечить максимально возможное "расстояние" между сигналами. Соответствие между двоичным кодом и точкой сигнальной диаграммы устанавливается следующим образом. Двоичный код переводится в код Грея, характеризующийся тем, что при изменении двоичного кода на единицу младшего разряда в соответствующем коде Грея меняется только один разряд. Код Грея формируется суммированием без переносов двоичного кода с собственной копией, сдвинутой на разряд вправо. Точкам сигнальной диаграммы ставятся в соответствие коды Грея таким образом, чтобы коды соседних точек отличались только в одном разряде. Благодаря этому при наиболее вероятной ошибке - перепутывании "соседних" сигналов ошибка двоичного кода минимальна: равна единице младшего разряда.

Простейшим вариантом амплитудно-фазовой манипуляции является двоичная фазовая манипуляция 2ФМ, при которой знакам 1 и 0 соответствуют сигналы одинаковой частоты и амплитуды, но разной фазы: 0 и π. Это так называемые противоположные, или антиподные сигналы. Соответствующие векторы сигнальной диаграммы являются зеркальным отображением друг друга (рис.22а).

Широкое распространение получила квадратурная фазовая манипуляция 4ФМ с сигнальной диаграммой рис.22б. Модулированный сигнал формируется как сумма косинусоидальной (синфазной) и синусоидальной (квадратурной) составляющих: s(t) = I cosω0t + Q sinω0t с коэффициентами I и Q, принимающими значения +1 или -1 в соответствии со знаками 1 или 0 двоичной последовательности. Эта последовательность разделяется логической схемой на дибиты - группы по 2 знака. Первый бит дибита определяет знак I - составляющей, второй - Q - составляющей. Как видно из рис. 22, на границах дибитов при смене знаков составляющих происходят скачки фазы, расширяющие спектр сигнала и вызывающие внеполосное излучение. Фаза суммарного сигнала может меняться на 180°. Скачки фазы снижаются до 90° при квадратурной модуляции со сдвигом благодаря тому, что Q - составляющую смещают на битовый период Tb = Ts / 2. В результате исключается одновременное изменение знаков составляющих I и Q. Сигналы со сдвигом фазы 90°, представленные взаимно перпендикулярными векторами, являются ортогональными. Функция взаимной корреляции ортогональных сигналов равна 0.

Фазоманипулированный сигнал демодулируется когерентным или автокорреляционным способом. В обоих случаях применяется корреляционный приемник, содержащий устройство умножения принимаемого сигнала x(t) на опорный сигнал sоп(t) и интегратор, являющийся фильтром низкой частоты. При когерентной демодуляции фазоманипулированного сигнала опорный сигнал должен быть в фазе с несущим колебанием принятого сигнала. Сигнал на выходе корреляционного приемника

где t0 – момент начала интегрирования, Т – время интегрирования, обычно равное длительности символа Тs., ϕ - фазовый сдвиг принятого сигнала относительно своей несущей, содержащий информацию о переданном символе. Для определения значения ϕ необходимо, чтобы второе слагаемое в (20) было много меньше первого. Это условие выполняется, когда Т>>1/ω0 или время интегрирования кратно полупериоду несущей. В последнем случае sin(ω0T)=0 и второе слагаемое в (20) обращается в 0 независимо от момента начала интегрирования.

Структуру когерентного демодулятора сигналов с квадратурной модуляцией представляет рис.23. Блок «восстановления несущей» формирует опорный сигнал, синхронизованный по фазе с несущей частотой принятого сигнала. Блок «восстановления тактовой» определяет моменты опроса выходного сигнала интегратора и сброса интегратора с учетом временных границ символов. Демодулятор содержит два корреляционных приемника с квадратурными опорными сигналами. Если генераторы приемника и передатчика точно синхронизованы, сигналы I и Q на выходах интеграторов, согласно (20), принимают значения ±ATs/2. Кодам дибита 00, 01, 10, 11 соответствуют следующие комбинации знаков сигналов I и Q: --, -+, +-, ++. Равенство сигналов I, Q по абсолютной величине является необходимым, но не достаточным признаком синхронизации генераторов приемника и передатчика.

Проблемы, возникающие при восстановлении несущей в когерентном демодуляторе, проще пояснить на примере модуляции 2ФМ. Если принятый сигнал пропустить через элемент с квадратичной характеристикой, будет получен сигнал удвоенной частоты. Деление этой частоты на 2 восстановит несущую, но будет неизвестно, в фазе она с несущей принятого сигнала или сдвинута на 180°. Неопределенность фазы можно снять, зная содержание синхропосылки, передаваемой перед сообщением. Однако

после одиночного сбоя во время передачи все последующие символы будут ошибочными. Вероятность сбоя фазы на высоких частотах велика: на частоте 1 ГГц длина волны 30 см и даже незначительные перемещения антенны, например из-за ветра, меняют фазу сигнала.

Чтобы избежать сложностей, возникающих при восстановлении несущей, используют автокорреляционную демодуляцию. В автокорреляционном демодуляторе опорным является сам принятый сигнал, задержанный на длительность символа Ts , т.е. сигнал, соответствующий предыдущему символу. За время прохождения одного или нескольких символов фаза несущей не успевает измениться, так что сигналы, соответствующие соседним символам, практически когерентны. Работу автокорреляционного демодулятора сигналов 4ФМ поясняет рис.24. Демодулятор содержит два канала. Каналы I и Q отличаются тем, что в канале Q задержанный на Ts входной сигнал дополнительно сдвигают по фазе на 90°.

Рис.24

На рис. 24б показаны все возможные фазовые соотношения входных сигналов xi и xi-1 , соответствующих текущему и предыдущему символам, а также значения выходных сигналов I и Q. Во всех случаях по знакам сигналов I и Q определяется однозначно разность фаз xi и xi-1 , т.е. последующий символ по предыдущему. Автокорреляционный демодулятор выдает информацию не об абсолютном значении текущего символа, а о его изменении по отношению к предыдущему. Поэтому такой способ демодуляции называют дифференциальным.

При обычном кодировании, в случае сбоя фазы восстановленной несущей при когерентной демодуляции, а также при появлении одного ошибочного знака на выходе автокорреляционного демодулятора, все последующие знаки становятся ошибочными. Чтобы устранить это явление, применяют относительное кодирование, которое называют дифференциальным. Рис.25 поясняет алгоритм относительного кодирования в случае модуляции 2ФМ. Алгоритм относительного кодирования при модуляции 4ФМ сложнее. На рис.25 ai - входная последовательность двоичных знаков, xi, yi, a*i - последовательности на выходах относительного кодера, демодулятора и относительного декодера соответственно. Кодер и декодер являются сумматорами по модулю 2. Кодер заменяет каждый текущий бит сообщения его суммой с предыдущим битом. Первый бит, «опорный», при относительном кодировании должен быть априорно известным.

Последовательности 1-4 представляют безошибочную работу канала. В последовательности 5 демодулятор исказил все знаки, начиная с четвертого (ошибочные знаки выделены жирным шрифтом) . При этом на выходе декодера (последовательность 6) ошибочным оказывается только один знак (четвертый). При одиночной ошибке демодулятора (последовательность 7, четвертый знак) относительный декодер дает ошибку в двух знаках (последовательность 8, знаки 4, 5). Исключение возможности "обратной" работы канала является важным достоинством относительного кодирования.

3.5. Частотная манипуляция

При частотной М-арной манипуляции М разных символов сообщения передаются на М разных частотах, получаемых перестройкой или переключением генераторов. Соседние частоты отличаются на величину f=2fd, где fd - девиация частоты. Демодулятор содержит М корреляционных приемников с разными опорными частотами. Для нормальной работы приемника необходимо, чтобы сигналы разных частот были взаимно ортогональны. Тогда ненулевой сигнал будет на выходе только одного корреляционного приемника, у которого частоты принятого и опорного сигналов совпадают. Выясним, при каком условии сигналы разных частот ортогональны, т.е.

Интеграл от первого слагаемого пренебрежимо мал, т.к. ωi+ωj>>1. Интеграл от второго слагаемого – величина площади, заштрихованной на рис.26. Она равна 0 при любом значении t0 , если время интегрирования Ts кратно периоду разностной частоты f=fi-fj , т.е. Ts =m/(2fd), где индекс модуляции m - целoе числo (рис. 26а). Следовательно, при целом m≥1 можно осуществить некогерентную демодуляцию ЧМ-сигнала с помощью корреляционного приемника без фазовой синхронизации опорных сигналов с принимаемым сигналом. В демодуляторе необходимо иметь два квадратурных канала для каждой частоты (рис.26в). Входной сигнал, фаза которого может быть любой, будет частично коррелировать с опорным сигналом sinωit, частично с сигналом cosωit . Выход приемника может иметь любую полярность, поэтому перед суммированием сигналы обоих каналов проходят устройство возведения в квадрат. Известны и другие способы некогерентной демодуляции ЧМ-сигналов. Например, с использованием полосовых фильтров и детекторов огибающей. Фильтрацию осуществляют цифровым способом.

Для увеличения скорости передачи сообщений без расширения полосы сигнала желательно уменьшить Ts при том же значении fd . Как видно из рис.26б, ортогональность сигналов разных частот сохранится при минимальном значении Ts = 1/(4fd) (индекс модуляции 0,5), если интегрирование начать в момент, когда cos2π(fi-fj)t0=1, т.е. фазы сигналов oдинаковы. Это означает, что опорный сигнал должен быть синхронизован с принимаемым и демодуляция когерентная. Такая возможность реализуется при двоичной (Ts =Tb) частотной модуляции с «минимальным частотным сдвигом». В этом случае частотно модулированный сигнал можно представить как квадратурный:

Ts

∫ (.)2

0

sinωMt

Рис.26

s(t) = Acos[(ω0 ±ωd )t] = (Acosωdt)cosω0t M (Asinωdt)sin(ω0t) c амплитудами I и Q , изменяющимися по гармоническому закону

I = ±Acosωdt, Q = ±Asin ωdt.

При одинаковых знаках амплитуд формируется сигнал частоты ω0 - ωd , при разных - частоты ω0 + ωd.

Частотную манипуляцию с минимальным сдвигом можно рассматривать как квадратурную модуляцию со сдвигом, в которой модулирующие двоичные сигналы проходят предмодуляционную фильтрацию: преобразуются в синусоидальные импульсы. Благодаря этому боковые максимумы спектральной функции сигнала с минимальным частотным сдвигом спадают быстрее, чем при квадратурной модуляции и квадратурной модуляции со сдвигом. Основной максимум спектральной функции сигнала с минимальным частотным сдвигом на 50 % шире, чем при квадратурной модуляции.

Чтобы как можно сильнее сузить спектр сигнала - уменьшить ширину главного лепестка и ускорить спад боковых лепестков спектра, в системах с частотной манипуляцией применяют гауссову фильтрацию: модулирующему импульсу, до его поступления на устройства формирования оги-

бающих I и Q, придают форму гауссова импульса. В системах с гауссовой частотной манипуляцией сигнал с выхода гауссова фильтра (ГФНЧ) непосредственно управляет частотой генератора, управляемого напряжением. В этих системах индекс модуляции может выбираться в широком диапазоне (0,1<m<1). В системах с гауссовой частотной манипуляцией и минимальным частотным сдвигом гауссовы огибающие I и Q формируются ПЗУ, при этом условие m=0,5 строго выполняется.

3.6.Основные показатели эффективности методов формирования сигналов

Ксистемам связи предъявляют противоречивые требования: обеспечение высокой скорости и помехоустойчивости передачи сообщений при узкой частотной полосе и малой мощности сигнала. Основными показателями эффективности цифровой системы являются спектральная эффективность, вероятность битовой ошибки и удельные энергетические затраты. Характер взаимосвязи этих показателей зависит от принятых в системе способов формирования сигналов.

Спектральная эффективность - это величина Rb / П - отношение скорости передачи сообщения Rb в битах/c к ширине частотной полосы П сигнала в Гц. При двоичном кодировании длительность передачи одного

Rb= (log2 M)/Ts. Если используется амплитудно-фазовая модуляция, полоса П не зависит от М. Если используется частотная манипуляция, полоса сигнала равна МП. Следовательно,

соответственно при амплитудно-фазовой и частотной манипуляции. Таким образом, спектральную эффективность можно увеличить, применяя амплитудно-фазовую модуляцию с М-арным кодированием. При этом расстояние между соседними сигналами уменьшается и для сохранения высокой помехоустойчивости необходимо увеличить мощность сигнала.

Вероятность битовой ошибки ре оценивают следующим образом. Каждому символу сообщения соответствует определенное значение некоторого параметра а, характеризующего уровень принятого сигнала. Из-за влияния шума измеренное приемником значение а будет случайным с нормальным, как предполагается, законом распределения. На рис. 28 а1 и а2 - теоретические значения параметра а, соответствующего соседним сигналам s1 и s2 , функции p1(x) и p2(x) - вероятности получить в приемни-

ке значение x параметра а при условии передачи сигналов s1 и s2 соответственно. Параметр а* отождествляется приемником с сигналом s2 , хотя

получен при передаче сигнала s1 . Вероятность ошибки, равная заштрихованной площади,

зависит от расстояния между сигналами а2 - а1 и уровня шума, характеризуемого дисперсией σ2 = N0/2 , N0 - спектральная плотность мощности шума.

Функция Q табулирована, для получения численного значения ре необходимо знать значение (a2 - a1)/(2 σ). Для того, чтобы можно было сравнивать по величине ре различные способы формирования сигнала, безразмерную величину (a2 - a1)/(2 σ) выражают через удельные энергетические затраты.

Удельные энергетические затраты Eb / N0 - это отношение энергии, приходящейся на 1 бит, к спектральной плотности мощности шума. Чтобы установить связь энергетических затрат с величиной а2 -а1 , оценим величину параметра "а" при когерентном приеме противоположных (двоичных) и ортогональных сигналов с помощью корреляционного приемника. Сигнал на выходе приемника

Ts

ai = ∫ Ai cos(ωit) Aоп cos(ωопt)dt,

0

где Ai , ωi и Aоп , ωоп - параметры принимаемого и опорного сигналов (гармонических), Ts - длительность символа. Будем предполагать, что опорный сигнал имеет единичную энергию. Тогда

(см.рис.29). Если кодирование двоичное, Es=Eb и вероятность битовой ошибки при противоположном и ортогональном кодировании равна соответственно

формирования сигнала: при двоичном и М-арном кодировании, фазовой и частотной манипуляции, когерентном, автокорреляционном и некогерентном обнаружении и т. д. Два примера для двоичных систем приведено на рис.30.

Помехоустойчивое кодирование уменьшает вероятность ошибки и позволяет снизить удельные энергетические затраты. Теоретический предел этому снижению устанавливает теорема Шеннона, доказанная для гауссова канала, в котором шум имеет нормальное распределение вероятностей и равномерную спектральную плотность. Согласно этой теореме

где S/N - отношение мощности сигнала к мощности шума. Теорему можно пояснить следующим образом. Число бит информации, содержащейся в сигнале при М-арном кодировании, равно log2 M, а максимальное значение М - это по существу число градаций сигнала, различимых при заданной ширине спектра и средней мощности сигнала. Это число пропорционально отношению S/N. Поскольку S= Eb / Tb и N=N0П, выражение (20) можно представить как

где C = maxRb - пропускная способность канала, или максимально возможная скорость передачи информации в бит/с. График зависимости

Рис.30

1.Фазовая модуляция, когерентное обнаружение.

2.Частотная модуляция, некогерентное обнаружение.

C/П от Eb /N0 показан на рис. 31. Точки указывают соотношение параметров Eb /N0 и Rb/П при вероятности битовой ошибки 10-5 в случае М- арных когерентной фазовой манипуляции и некогерентной частотной манипуляции, последние помечены знаком "х". Рядом с точкой указано значение М. Из (22) следует

при С → 0 lim Eb = ln 2 = 0,693 (−1,6дБ).

ПN0

Это предел Шеннона: передачу сообщений в принципе нельзя осуществить без ошибок, если Eb/N0 меньше указанного предела.

Как следует из приведенных данных, увеличение спектральной эффективности при той же вероятности ошибки достигается повышением энергетических затрат. Фазовая манипуляция предпочтительнее с точки зрения повышения спектральной эффективности, частотная манипуляция - с точки зрения снижения энергетических затрат. Спектральная эффективность квадратурной фазовой манипуляции (М=4) выше, чем двоичной (М=2) при тех же энергетических затратах. Частотная манипуляция 2ЧМ энергетически менее эффективна, чем 4ЧМ. При выборе компромиссного решения учитывается конкретная цена ресурсов мощность-полоса, зависящая от типа системы.