1.Предел числовой последовательности

Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому, число a называется пределом последовательности  если для любого ɛ > 0 существует номер   , зависящий от ɛ такой, что для любого   выполняется неравенство  <ɛ.

2.Предел функции

Предел функции — такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке.

Пусть дана функция y = f(x), точка x = a. Пусть значение функции в этой точке существует и равно b, тогда говорят, что существует предел функции при x → a и этот предел равен b.

Далее будем рассматривать пределы функций.

2.2 Правила решения пределов

1. Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций;

2. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций;

3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций;

4. Предел числа в степени (корня из числа) равен степени (корню) предела этого числа;

5. Постоянный множитель (число) выносится за знак предела;

6. Предел числа равен этому числу

Глава 3. Определение предела функции

3.1 Определение предела функции

Теория пределов – это один из разделов математического анализа.

Предел функции – величина, к которой стремится значение данной функции при стремлении ее аргумента к предельной для области определения точке.

Определение:

Число а называется пределом последовательности xn при n→∞ и записывается lim n n a x   , если для любого числа ε > 0 существует число N = N(ε) такое, что для всех n > N выполняется неравенство n x a    . Говорят, что lim n n x    , если для любого числа М > 0 существует такое число N = N(М), что для всех n > N выполняется неравенство n x M.

Функция f(x) имеет предел L в точке x0, если для всех значений x, достаточно близких к x0, значение f(x) близко к L.

Любой предел состоит из трех частей:

1. Знак «lim», который, собственно, и определяет существование предела

2. Записи под знаком «lim», которая может приобретать вид x→a,x→a, x→0x→0 и x→∞x→∞. Такая запись читается «икс стремится к а (может принимать любое число)/нулю/бесконечности». На практике, переменная «х» может быть записана и другой буквой

3. Функции f(x) под знаком предела

Глава 4. Применение пределов в биологии и химии

Предел функции характеризует скорость изменения функции по отношению к изменению независимой переменной.

4.1 Пределы в биологии

Применение пределов функции в биологии – скорость размножения колонии микроорганизмов, то есть, изменения в популяции.

Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно.

Биологический смысл пределов заключается в том, что по известной зависимости численности популяции можно определить относительный прирост особей.

Пусть зависимость между числом особей популяции микрooрганизмов у и временем t её размножения задана уравнением: y  pt. Пусть ∆t - промежуток времени от некоторого начального значения t до t  t . Тогда y  y  pt  t - новое значение численности популяции, соoтветствующее моменту t  t , а ∆y + p(t + ∆t) - p(t ) - изменение числа особей организмoв.

P=xʹ(t), где x(t) – численность в момент времени

P(t) – скорость изменения популяции

P(t0) – относительный прирост в данный момент

Пример:

Пусть популяция бактерий в момент t (с) насчитывает x(t) особей. Найти скорость роста популяции:

а) в произвольный момент t,

б) в момент t = 1 c.

Решение:

P = x’(t) = 200t;

P(1) = 200 (с).

Ответ: 200 с.