Методические_рекомендации_Методы_оптимизации

41

6 Лабораторная работа № 6

«Игры с природой». Критерии принятия решений

Цель работы

Изучить постановку «игры с природой»; научиться применять различные критерии

(Бернулли, Вальда, максимума, Гурвица, Сэвиджа) для выбора стратегии в условиях

полной неопределенности.

Постановка задачи и методические указания

В «игре с природой» вторым игроком является природа, которая действует («выбирает» стратегии) случайным образом. То есть она может или улучшать положение первого игрока, или ухудшать. Поэтому существует несколько критериев оценки результатов исследования игровой модели.

Критерий Бернулли (принцип недостаточного основания). Все состояния природы предполагаются равновероятными. Ищется стратегия, реализующая максимум матема-

тического ожидания выигрыша.

Критерий Вальда (пессимистический). В соответствии с этим критерием следует при-

менять самую осторожную стратегию, которая сведет к минимуму вероятность (риск)

проигрыша и доставит минимальную прибыль. Эта стратегия обеспечивается критери-

ем:

max min aij .

То есть этот критерий совпадает с нижней ценой игры.

Критерий максимума (оптимистический). Этот критерий полагает, что природа будет максимально благосклонна к игроку. Можно выбирать самые авантюристические стра-

тегии и они будут реализовываться:

max max aij .

Критерий Гурвица. Данный критерий занимает промежуточное значение между крите-

рием Вальда и критерием максимума. Сам игрок определяет вероятность своего «везе-

ния» с помощью числового параметра [0,1] :

Басараб М.А., Вельц С.В. Методы оптимизации и исследование операций в информационной безопасности

42

max ( min aij (1 ) max aij .

Ответственное лицо, принимающее решение, определяет значение коэффициен-

та α. Если потери могут быть весьма значительными, то значение коэффициента α при-

ближается к единице.

Критерий Сэвиджа (критерий рисков). Этот критерий анализирует возможные риски от применения каждой из стратегий и выбирает такую стратегию, которая обеспечивает приемлемые потери. Риски по каждой стратегии определяются по формуле:

rij max aij aij .

То есть из максимально возможного выигрыша вычитается выигрыш, получен-

ный от использования выбранной стратегии. Смысл каждого элемента матрицы рисков состоит в том, что такие потери понесет фирма (точнее, недополученная прибыль), если для каждого текущего состояния природы будет выбрана неоптимальная стратегия.

Оптимальная стратегия может быть определена по формуле: min(max (max aij aij )) .

В качестве эмпирического интегрального критерия можно предложить исполь-

зование различных рассмотренных выше критериев и выбор той стратегии, которая обеспечивает выигрыш в максимальном числе вариантов.

Если воспользоваться критерием Бернулли, то следует руководствоваться стра-

тегией a1. Соответствующее математическое ожидание выигрыша при этом максималь-

но и равно 5,8.

Пессимистическая стратегия (критерий Вальда) определяет выбор a1 (нижняя цена игры равна 4).

Оптимистическая стратегия соответствует выбору a4 (максимально возможный выигрыш 12).

Басараб М.А., Вельц С.В. Методы оптимизации и исследование операций в информационной безопасности

43

Критерий Гурвица определим из условия равновероятной реализации пессими-

стической и оптимистической гипотез ( 0,5 ). Наилучшая стратегия: a4 (ожидаемый выигрыш равен 7,5).

Cоставим теперь для рассматриваемой игры таблицу рисков следующим обра-

зом. Если игрок выберет стратегию a1, а природа реализует стратегию b1, то игрок по-

лучит максимально возможную прибыль 5 (недополученная прибыль составит 0). Иг-

рок угадал состояние природы. Но если природа реализует стратегию b4, то игрок вме-

сто максимально возможной прибыли 12 получит прибыль 5, а недополученная при-

быль составит 7, так как

Таким образом, оптимальная «рисковая» стратегия: a4.

Окончательно, согласно принципу большинства, следует рекомендовать выбор стратегии a4 – лучшей по трем из пяти рассмотренных критериев. Следующая по зна-

чимости стратегия: a1 (лучшая по двум из пяти критериев).

Варианты работы

В нижеприведенных вариантах строки соответствуют стратегиям игрока, столбцы – со-

стояниям природы. Найти стратегии игрока при реализации гипотез недостаточного основания (Бернулли), пессимизма (Вальда), оптимизма, смешанной (Гурвица) при

α=0,5, рисков (Сэвиджа).

1

[[1 11 12 11] [7 5 7 7] [16 6 13 2] [9 9 16 13] [17 18 15 7]]

2

[[4 1 17 18] [4 14 6 16] [0 14 14 13] [6 13 4 15] [12 11 3 16]]

3

[[1 3 4 16] [11 3 7 18] [6 15 16 7] [15 10 0 7] [10 7 10 5]]

4

[[16 0 10 2] [3 6 3 3] [14 17 4 9] [4 0 16 11] [8 12 2 19]]

5

[[8 12 4 17] [1 6 19 19] [17 11 11 6] [8 10 15 17] [1 16 2 16]]

Басараб М.А., Вельц С.В. Методы оптимизации и исследование операций в информационной безопасности

44

6

[[6 18 6 15] [17 8 13 14] [16 16 18 2] [18 8 4 18] [15 8 3 19]]

7

[[19 16 11 4] [6 18 1 5] [17 13 5 15] [9 13 3 19] [18 12 12 4]]

8

[[12 5 4 9] [16 0 12 0] [5 13 6 7] [10 10 3 16] [1 11 19 1]]

9

[[19 7 3 19] [6 9 18 10] [8 2 11 6] [2 0 9 19] [7 12 10 4]]

10

[[12 0 16 19] [6 5 19 12] [3 16 12 7] [17 0 18 2] [9 15 11 13]]

11

[[11 2 5 2] [11 11 3 10] [14 12 16 12] [16 10 19 17] [11 5 5 3]]

12

[[13 3 14 7] [15 5 0 9] [7 19 13 0] [0 5 19 13] [17 5 0 9]]

13

[[10 9 3 0] [11 7 0 15] [16 6 19 13] [15 17 15 10] [2 1 4 6]]

14

[[14 4 2 0] [5 6 5 6] [9 10 13 14] [1 18 11 1] [17 4 0 16]]

15

[[12 9 11 7] [15 4 18 12] [16 3 17 17] [1 15 0 19] [2 3 14 0]]

16

[[16 0 13 11] [17 3 19 15] [8 19 7 2] [15 8 15 16] [17 2 9 2]]

17

[[18 7 15 2] [0 13 16 3] [1 17 9 19] [3 15 17 9] [5 2 11 4]]

18

[[7 9 15 5] [15 8 6 4] [12 0 11 7] [7 11 10 12] [12 2 0 13]]

19

[[4 18 5 3] [1 10 5 15] [8 6 15 15] [15 10 8 12] [19 12 1 0]]

20

[[5 1 13 9] [18 10 9 1] [9 0 14 14] [17 0 10 19] [11 3 11 14]]

21

[[15 9 3 15] [19 5 1 8] [9 14 5 18] [4 9 9 0] [12 9 14 0]]

22

[[13 2 4 0] [7 6 10 14] [8 14 6 3] [3 18 18 0] [8 7 11 14]]

23

[[7 7 15 5] [19 18 3 12] [1 5 16 19] [19 2 19 14] [8 6 4 18]]

24

[[5 11 12 17] [15 5 16 9] [11 8 0 19] [8 0 16 0] [13 9 7 16]]

25

[[15 4 16 12] [12 10 13 1] [7 18 19 1] [2 4 3 19] [3 15 19 12]]

26

[[14 2 19 17] [6 18 7 8] [6 17 14 6] [15 19 15 5] [11 8 12 4]]

27

[[12 7 18 5] [19 0 7 12] [10 1 3 6] [12 2 8 7] [4 12 14 17]]

28

[[12 7 16 0] [12 16 11 12] [17 11 1 1] [9 19 0 8] [3 3 12 13]]

29

[[6 3 18 15] [2 9 19 1] [2 7 13 3] [13 3 7 10] [3 8 0 8]]

30

[[12 8 13 13] [13 14 16 6] [7 5 11 18] [13 5 5 12] [10 16 14 4]]

Басараб М.А., Вельц С.В. Методы оптимизации и исследование операций в информационной безопасности

45

Требования к отчету

Отчет должен содержать: титульный лист; цель работы; постановку задачи; нахожде-

ние оптимальной стратегии в соответствии с критериями Вальда, максимума, Гурвица и Сэвиджа; выбор рекомендуемой стратегии по принципу простого большинства «по-

бед».

Контрольные вопросы

1.Постановка «игры с природой».

2.Критерий недостаточного основания (Бернулли).

3.Критерии Вальда, максимума и Гурвица.

4.Критерий Сэвиджа. Риски.

Басараб М.А., Вельц С.В. Методы оптимизации и исследование операций в информационной безопасности

46

Список литературы

1.Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. – М.: Высшая школа, 2001. – 208 с.

2.Черноруцкий И.Г. Методы принятия решений. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. –

416 с.

3.Басараб М.А. Методы оптимизации и исследование операций. Учебное пособие

[Электронный ресурс]. – М.: Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана, 2012. (№ гос. регистрации - 0321203025).

Басараб М.А., Вельц С.В. Методы оптимизации и исследование операций в информационной безопасности