Построение функции спроса

Метод наименьших квадратов

• Линейная аппроксимация

Линейная модель представлена в виде:

, где - погрешность. Суть метода состоит в том, чтобы минимизировать сумму квадратов погрешностей для данной модели:

Составим таблицу исходных данных – пар чисел (p, D(p)) также в порядке возрастания значений параметра p.

Таблица 2

Оценивание функции спроса методом наименьших квадратов.

i	pi	Ni	pi * Ni	D(pi)	D(pi) *Ni	Pi2 * Ni	D(pi) * pi * Ni	D*(pi)	Ni * [D(pi) – D*(pi)]	Ni * [D(pi)-D*(pi)]2
1	8000	4	32000	50	200	256000000	1600000	52,75	-11,00	30,26
2	9000	5	45000	46	230	405000000	2070000	45,93	0,35	0,02
3	10000	8	80000	41	328	800000000	3280000	39,11	15,14	28,64
4	11000	4	44000	33	132	484000000	1452000	32,29	2,85	2,04
5	11500	2	23000	29	58	264500000	667000	28,88	0,25	0,03
6	12000	6	72000	27	162	864000000	1944000	25,47	9,21	14,13
7	12500	4	50000	21	84	625000000	1050000	22,05	-4,22	4,45
8	13000	6	78000	17	102	1014000000	1326000	18,64	-9,86	16,22
9	13500	1	13500	11	11	182250000	148500	15,23	-4,23	17,92
10	14000	2	28000	10	20	392000000	280000	11,82	-3,65	6,64
11	14500	2	29000	8	16	420500000	232000	8,41	-0,82	0,34
12	15000	6	90000	6	36	1350000000	540000	5,00	5,99	5,98
	-	50	584500	-	1379	7057250000	14589500	-	0,00	126,68
			11690	-	27,58	141145000	291790	-	-	-

Средние значения

k – число групп, k = 12; 50

Оценка параметров а*, b* произведена по формуле с учетом посчитанных значений:

После подстановки:

Таким образом, теоретическая функция спроса имеет вид:

D*(p) = - 0,0068*p +107,32

Рассчитаны восстановленные значения спроса при наших значениях цены: D*(p)

Произведена проверка правильности решения по следующему критерию:

= 0 – все расчеты верны.

Также рассчитана остаточная сумма квадратов:

SS₁= = 126,88

Расчет оптимальной цены для линейной зависимости

Теперь перейдем к расчету оптимальной цены при различных уровнях издержек p₀. Для этого мы должны максимизировать прибыль:

(p - p_0.) D^*(p) = (p_. – p_0.)(a*p + b*).

Продифференцируем это выражение по p и приравняем 0 производную, а также учтем, что a* = -0,0068,b* = 107,32

2a*p_опт. – а*р₀ +b* = 0,

Сравним (табл.4) оптимальные цены, найденные с помощью метода наименьших квадратов (p_опт.2) и рассчитанные ранее с помощью первого метода (p_опт.1). Таблица 4

p0	pопт.1	pопт.2
4000	10000	9891
6400	11000	11091
8500	12000	12141
11000	12500	13391
12000	14000	13891

Вывод: оптимальные цены незначительно отличаются как в большую, так и в меньшую сторону от тех, которые мы нашли в начале.

• Степенная аппроксимация

Оценка параметров степенной аппроксимации проводится аналогичным образом с той лишь разницей, что для нее мы используем величину, называемую логарифмом спроса.

Рассмотрим следующую модель:

- не является линейной по параметрам. Логарифмируем ее:

. Произведем замену переменных:

; . Получили следующее выражение:

– модель, линейная по параметрам.

Результаты расчетов показаны в Таблице 3, где использованы указанные выше параметры (p_i ; f_i ; D_i). На их основе посчитаны средние значения, как средневзвешенные:

Таблица 3.

i	Ni	ti	yi	Ni * ti	Ni * yi	Ni * ti2	Ni * ti * yi			D**(pi)	(D**(pi)-D(pi))2*Ni
1	4	8,99	3,91	35,95	15,65	323,08	140,63	4,36	-1,77	77,92	3117,09
2	5	9,1	3,83	45,52	19,14	414,5	174,3	3,95	-0,63	52,16	189,77
3	8	9,21	3,71	73,68	29,71	678,64	273,63	3,60	0,95	36,43	167,16
4	4	9,31	3,5	37,22	13,99	346,38	130,15	3,27	0,90	26,33	178,06
5	2	9,35	3,37	18,7	6,73	174,85	62,97	3,12	0,50	22,63	81,21
6	6	9,39	3,3	56,36	19,78	529,33	185,74	2,97	1,93	19,57	330,91
7	4	9,43	3,04	37,73	12,18	355,96	114,88	2,84	0,84	17,03	62,98
8	6	9,47	2,83	56,84	17,0	538,39	161,03	2,70	0,79	14,90	26,42
9	1	9,51	2,4	9,51	2,4	90,45	22,81	2,57	-0,17	13,10	4,43
10	2	9,55	2,30	19,09	4,61	182,28	43,96	2,45	-0,29	11,58	4,97
11	2	9,58	2,08	19,16	4,16	183,63	39,85	2,33	-0,50	10,27	10,32
12	6	9,62	1,8	57,7	10,75	554,78	103,38	2,21	-2,53	9,15	59,59
	50			467,46	156,1	4372,27	1453,33		0,00		4232,92
				9,35	3,12	87,45	29,07

k – число групп, k = 12; 50.

Средние значения:

.12

Оценка параметров а*, b* произведена по формуле с учетом посчитанных значений:

После подстановки:

Восстановленная зависимость:

Рассчитаны восстановленные значения спроса при наших значениях цены с помощью операции потенцирования значения:..

Произведена проверка правильности решения по следующему критерию:

= 0 – все расчеты верны.

Также рассчитана остаточная сумма квадратов:

= 4232,9

Расчет оптимальной цены для восстановленной степенной зависимости

Аналогично линейному случаю, определим оптимальную розничную цену p_опт. при различных значениях издержек. А именно, решим задачув случае степенной зависимости:

(p – p_0.)с^*p^α*→ .

Точка, в которой достигается максимум, не меняется при умножении максимизируемой функции на константу. Поэтому переходим к задаче:

(p – p_0.)p^α* = f(p)→ .

Для нахождения максимума функции продифференцируем ее и приравняем производную к 0:

.

Продифференцируем f(p), используя правило дифференцирования произведения функций:

^α* + (p – p₀)(α^*)p^{α* -1} =0.

Итак, необходимо решить линейное уравнение относительно неизвестного p:

p – α^*p + p_0.α^* = 0.

Получим оптимальное значение розничной цены:

Таблица 4

p0	pопт.1	pопт.3
4000	10000	5666,7
6400	11000	9066,7
8500	12000	12042
11000	12500	15583
12000	14000	17000

Общий вывод:На основании того, что SS₁<SS₂ можно сделать вывод, что предпочтительней работать с линейной моделью для дальнейшей оценки, т.к. она более точно приближает исследуемую функцию спроса.

Библиография

1. Орлова Л.А. Методическая разработка «Функция спроса и метод наименьших квадратов», электронная версия, М.: Лаборатория экономико-математических методов в контроллинге, 2007 (электронный вариант). – 21 с.

2. Орлов А.И. Прикладная статистика. Учебник. - М.: Издательство «Экзамен», 2004. - 656 с.

3. Орлов А.И. «Эконометрика» http://www.orlovs.pp.ru