28

№28

Непрерывность функции на отрезке. Первая и вторая теорема Больцано-Коши.

Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Функция  называется непрерывной справа в точке , если  .

Функция  называется непрерывной слева в точке , если  .

Функция  называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция  называется непрерывной на отрезке , если она является непрерывной в интервале , непрерывной справа в точке , то есть  и непрерывной слева в точке , то есть  .

Первая и вторая теорема Больцано-Коши (с доказательством)

 

Теорема (первая теорема Больцано-Коши) Если функция непрерывна на I и в 2 его точках a иbпринимает значения разных знаков, то по крайней мере в одной точке c между a и b функция обращается в нуль, т.е. f(c)=0

Геометрический смысл: График непрерывной на промежутке и принимающей в двух точках этого промежутка значения разных знаков пересекает ось абсцисс по крайней мере в одной точке.

f(a)<0,f(b)>0,f(c)=0

В теореме лишь утверждается существование нуля функции такой точки c, гдеf(c)=0, но не показывает метода нахождения точки.

Доказательство: опирается на теорему Кантора и следствие.

Разделим отрезок [a;b] точкой 2a+b на 2 равных отрезка, если f(2a+b)=0 , то теорема доказана и с=2a+b, если же f(2a+b)/=0 , то на концах по крайней мере одного из частичных отрезков функция f принимает значения разных знаков.

Обозначим этот сегмент через [a1;b1]. Сегмент [a1;b1] разбиваем точкой c=2a1+b1на две равные части. Если f(2a1+b1)=0 , то теорема доказана и с=2a1+b1, если же f(2a1+b1)/=0 , то обозначим через [a2;b2] тот частичный сегмент на концах которого функция принимает значения разных знаков. И т.д.

Продолжив этот процесс либо при некотором k∈N будем иметь f(2ak+bk)=0  и тогда теорема доказана (здесь с=2ak+bk), либо ни при каких k∈N условие f(2ak+bk)=0  не выполнится.

При этом будет построена посл. ([an;bn]стягиванием сегментов

1)[a;b]≥[a1;b1]≥...≥[an;bn]≥...

2)limn→∞(b−nan)=2b−a=0

Поэтому существует единственная точка C содержащаяся во всех сегментах. Функция f непрерывна в точке C∈I и поскольку c=limann→∞=limbnn→∞, то в любой окрестности точки C функция f принимает значения разных знаков. По следствиюf(c)=0. ч.т.д.

 

Замечание. Доказанная теорема играет важную роль и при решении неравенств.

 

Теорема (вторая теорема Больцано - Коши) Если f непрерывна на I и в двух его точках a иbf(a)=A>B=f(b), то для всякой точки C∈[B,A] между точками a и b найдется хотя бы одна точкаc, чтоf(c)=C.

Доказательство: Основано на первой теореме Больцано-Коши.

Рассмотрим вспомогательную функцию φ(x)=f(x)−C она непрерывна на I (как разница 2 непрерывных функций) и т.к.B0, ϕ(b)=f(b)−C=B−C<0 , тогда по теореме между a и b найдется точка с, такая что f(c)=ϕ(c)−C=0 , т.е. f(c)=C. ч.т.д.

 

Геометрический смысл этой теоремы: всякая прямаяy=C, где B<C<A, пересечет график функции fпо крайней мере в одной точке. Замечание. Если f - непрерывна и непостоянна на I, то образом этого промежутка I при отображении fбудет также промежуток (т.е. непрерывным образ f(I)промежутка I есть промежуток). В самом деле, по теореме из того, что B,A∈E(f)следует, что интервал (B;A)⊂E(f), т.е. E(f)⊂f(I)- промежуток.