1200
.pdfРешение уравнения (186) должно удовлетворять граниЧнбму условию 0(1, ^ = 0, а также условиям непрерывности и двукратной диффе ренцируемости внутри области. Этим условиям удовлетворяет разло жение
°(г>^ ) - 2 У 0 Л,1|)Л,, |
|
(187) |
/ Л |
|
|
где |
|
|
Фл = \ 0 - г *) г 2 (/- 1'>([ 1+ ( - 1 )*] г* sin + |
+ |
|
+ П —( — 1)*_ |] г*-1 cos |
-j- |
|
Ограничимся при вычислениях первыми четырьмя членами ряда (187): 0 = 0 ц (1 - Г 2)+
+ 0 12( 1 - г 2)г2 +
+021 (1—г2) r2s1*пф +
+ 022(! —г7) r2cosiJ).
Коэффициенты |
разложения |
определяются |
из системы |
уравнений типа |
(169). На |
рис. 79 показаны изохроны — геометрические места точек на фазовой плоскости, соот ветствующие равному сред нему времени достижения границы. Изохроны построе ны при следующих значениях параметров: р, = 5,0; Я=0,05;
а = |
—1,1; |
Р = |
0,26; а = 0,63; |
v0 = |
0,37; |
b = |
0,ЦЗ. Из гра |
фиков видно, что изохроны смещены в направлении биссектрисы вто рого квадранта фазовой плоскости. Отсюда следует, что среднее время достижения границы для изображаемой точки, находящейся при t = 0 во втором квадранте, превышает соответствующее время выхода на границу из точек, расположенных симметрично в других квадрантах фазовой плоскости.
§ II 1.12. Элементы теории надежности распределенных систем
Расчет надежности распределенных систем требует распростране ния теории случайных выбросов на случайные поля и случайные про странственно-временные процессы. Эта область теории случайных функ ций разработана весьма слабо. Обзор исследований, относящихся к статистике морского волнения, содержится в статье Лонге-Хиггинса [69]. Некоторые дополнительные результаты совсем недавно были по-
лучены Ю. К. Беляевым [6]. Ниже мы дадим вывод некоторых соотно шений теории выбросов случайных полей; этот вывод является обобще нием результатов, относящихся к одномерным случайным процессам.
Для определенности рассмотрим /г-мерное скалярное случайное поле ц(г), заданное в области G. Примером может служить поле пере мещений в тонкой пластине, поле интенсивности напряжений (второго инварианта девиатора напряжений) в трехмерном теле и т. п. Поле и(г)
будем считать |
дифференцируе |
||||
мым |
по каждой |
из |
координат |
||
хъ |
х2, |
хп. |
Предположим, |
||
что |
допустимые |
состояния |
удо |
||
влетворяют |
условию |
v(r) < |
v*, |
||
где |
v* — некоторая |
величина |
|||
из области возможных значений поля. Мера1надежности оказы вается в этом случае функцией
области G и вводится |
следую |
щим образом: |
|
P(G) = p [s u p ,( r ) < ^ ] |
(188) |
Для получения оценок надежности P(G) применим способ, аналогичный тому, который ис пользовался ранее в теории на дежности дискретных систем. Выделим в объеме G множество точек, для которых и(г) > и*. Совокупности этих точек обра
зуют подмножества Gi(u*), G2(u*),... множества G. Эти подмножества будем называть выбросами поля и(г) за уровень и* (рис. 80). Матема тическое ожидание числа выбросов за уровень v* в единице объема обозначим через v+(t;#; г). Математическое ожидание числа выбросов в объеме G вводится как
W+(».; G) = J v+ (t>«; г)dr, |
(189) |
rpxedr = dx1 dx2 dxn. Вычислив значение ЛЛ|_(а*, G), далее можем применить оценки типа (100), (106) и т. д. для функции надежности P(G). В самом деле, строгая оценка снизу выражается через матема тическое ожидание числа выбросов в объеме G следующим образом:
P ( G ) > l - t f + (o,;G). |
(190) |
Если поле о(г) достаточно перемешанное, а уровень к* достаточно вы сок, то выполняется асимптотическое соотношение
P (G )« e x p [— N+ (vt \ G)]. |
(191) |
В случае /1 = 1 среднее число выбросов определяется по формулам (49) и (50). Обобщение этих формул на случай 1 встречает затруд нения. Если поле и(г) является дважды дифференцируемым по любой из координат, то целесообразно заменить формулы (190) и (191) анало гичными формулами, содержащими математическое ожидание числа максимумов. Действительно, в пределах одного выброса за уровень v* содержится хотя бы один максимум. Отсюда математическое ожи дание Аммане(V- G) числа максимумов в объеме G, превышающих уро вень с1*, связано с числом выбросов Nл.(и*; G) соотношением
^максК; G) > (V.,. (У,; G). |
(192) |
Учитывая формулы (190) и (192), получим для надежности P(G) стро гую оценку снизу
P ( G ) > l - t f MaKC(0.;G). |
(193) |
Если уровень у* достаточно высок, то можно ожидать, что в преде лах каждого выброса будет, как правило, не больше одного максиму ма. При этих условиях приближенное равенство имеет вид
Аммане (»,; G) л N+(iy, G). |
(194) |
Это соотношение может быть использовано для вычисления функции
надежности высоконадежных систем. Из формулы |
(194) получаем |
|
P ( G |
) ^ l - y MaifC(y,;G). |
(195) |
Формула (191) принимает вид |
|
|
P{G) |
exp 1—WMaKC(iy, G)]. |
(196) |
В оценках (192) и (193), а также в приближенных формулах (195) и (196) в общее число максимумов включались максимумы, достигае мые на границе области G. Если поле однородно, а характерный размер выбросов Цч*) мал по сравнению с характерным размером об ласти R (рис. 80), то доля максимумов, достигаемых на границе, бу дет достаточно мала. В самом деле, математическое ожидание числа выбросов, расположенных в области G, имеет порядок отношения объема области к объему, приходящемуся на один выброс. Отсюда
*+(«.; G ) ~ ( ^ ) n
где г — характерное расстояние между выбросами; п — число измере ний пространства. В то же время математическое ожидание числа вы бросов, выходящих на поверхность S, имеет порядок отношения объе ма поверхностного слоя толщиной К к характерному объему одного вы
броса;
£ * + (* .; С).
При достаточно высоком уровне о* имеет Место соотношение h(v#) С Й, откуда W+(iv, S) « N+ (u*; S)*
В дальнейшем под N MaKC (v#; G) будем подразумевать математичес кое ожидание числа внутренних (аналитических) максимумов поля у(г) в объеме G. При таком истолковании строгие оценки (192) и (193), вообще говоря, утрачивают смысл. Однако сохраняют смысл прибли женная формула (194) для числа редких выбросов, а также основан ные на ней приближенные формулы (195) и (196) для функции надеж ности высоконадежных систем**
Дальнейшее содержание настоящего параграфа посвящено вычис лению среднего числа vM?1KC(и#; г) аналитических максимумов поля в
единице объема. Это число связано с Л^М1Ь.С(и*; G) формулой |
|
||
Лемане (».; G) = |
I vMaKC(t',; г) dr. |
(197) |
|
|
G |
|
|
Вычислим среднее число vM1KC(w!)1, г) максимумов в единице объема. |
|||
Получаем соотношение |
|
|
|
,(vt \ г) = |
Пш |
Р1 (*у. Дг) |
(198) |
|
Дг -*• О |
Дг |
|
аналогичное соотношению (70). Здесь |
Px{v^\ Дг) — вероятность |
слу |
|
чайного |
события, состоящего в том, что внутри параллелепипеда объе |
|
мом Дг |
= |
Д*2 ... Д*п окажется один максимум, превышающий |
уровень и*. Условие Дг-^ 0 следует понимать в том смысле, что длины
сторон |
параллелепипеда Д*ь |
Дл:2, ...» Д*п имеют одинаковый порядок |
||||||
Дг ->■ 0, т. е. равномерно стремятся к нулю. |
|
<р2, •••, Фп), |
где |
|||||
Введем обозначение для п-мерного вектора ср = (срь |
||||||||
Фj^dvldx/. Далее введем /г2-мерный вектор х = |
(хп , х12, |
хпп), |
где |
|||||
|
|
|
|
d2v |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
dXj dxk |
|
|
|
|
(часть компонентов этого вектора будет равна |
между |
собой |
попарно |
|||||
в силу симметрии матрицы |
xJh). |
Обозначим |
через |
К(+) множество |
||||
векторов х, |
которым соответствует положительно определенная |
мат |
||||||
рица |
Kjhi |
а через К(-) — множество векторов, |
которым соответствует |
|||||
* Предполагается, что характерные размеры выбросов по всем направле ниям имеют одинаковый порядок. Примером поля противоположного типа может служить совокупность плоских параллельных волн, т. е. поле с волновыми чис лами kx ф 0, /е2 = k n = = k n = 0. Если G — ограниченная область, то лю бой выброс этого поля выходит на поверхность S.
** В статье В. В. Болотина «О надежности распределенных систем» (Труды МЭИ, вып. 74, Изд. МЭИ, 1970) даны улучшенные оценки, связывающие сред нее число выбросов со средним числом критических точек поля.
отрицательно определенная |
матрица Хд. |
Вероятность |
Дг) за |
|
писывается следующим образом: |
|
|
||
|
|
у* — Ду < |
у (р )< оо- |
|
|
|
ф (р) 6 Дф |
1.. |
|
р 1 (у»; Дг) = р |
|
|||
|
|
*(р)£К<-) |
|
|
|
|
р 6 Дг |
|
|
Здесь Ду — О(Дл), |
Дф — параллелепипед в пространстве ф, включаю |
|||
щий точку ф = 0 и имеющий стороны |
|
|
||
|
П |
|
|
|
Дф,- = |
21 |
Д-гк + о(Дг); |
(/= 1, 2,.... //). |
|
Объем этого параллелепипеда, очевидно, будет |
|
|||
|
Дф = I det [y.jh] I Дг + о(Дгп). |
(200) |
||
Пусть задана совместная плотность вероятности для полей у(г), ф(г), х(г):
р (у, ф, х; г) = р (у; ф1( ф2, .... ф„; хп , х1г, .... хпп; г).
Вероятность (199) выражается через эту плотность вероятности сле дующим образом:
|
оо |
Pi (а*, Дг)= J dx j dtp |
j p(v, ф, x; г) da |
»еК(_) Дф |
v * - A v |
При достаточно малом объеме Дг и медленно меняющейся подынтег ральной функции правая часть этой формулы может быть упрощена. В самом деле, с учетом формулы (200) можем написать что
J Ф (ф) dy = Ф (0) | det [x;h]| Дг + о (Дгп).
Дф
Формула для вероятности обнаружения аналитического максимума принимает вид
оо
Рг ( у ,; Дг) = Дг ^dv |
5 Р(у>°> * 'г) ldet K' f t l 1 + 0(Дг")- |
<„ |
* е К(_ ) |
Подставляя это выражение в формулу (198) и переходя к пределу при Дг ->■ 0, получим окончательную формулуv
v MaKc (О.; г) = 5 dv |
5 |
Р (у , О, х; г) |det [хл ] | dx. |
(201) |
г* |
*ек(_) |
|
|
Из формулы (201) легко выводятся другие формулы, относящиеся к распределению максимумов случайного поля. Так, для полного числа максимумов в единице объема имеем формулу
оо
vMaiiC(— °°; г)= § dv 5 р (v, О, х; г) |det [хЛ|] | dx. |
(202) |
—оо ^
Плотность распределения максимумов определяется как
РмаксК; Г) |
VMilKC(v* \ r) |
(203) |
||
^макс ( |
143i г) |
|||
|
|
|||
Подставляя в (203) выражение (201), получим следующую формулу
Рмакс (»*; г) = |
---------- г ---------- |
г |
f Р К . 0, х; г) |det [хЛ] | dx (204) |
|
VMaifc( — ^ |
г) |
J |
|
|
|
*6К(_) |
и т. д. Аналогично выводится соотношение для минимумов случайного поля. Так, математическое ожидание числа минимумов в единице объе ма, превышающих уровень v%, дается выражением
оо |
|
|
|
VM..H К ; г) = $ dv |
$ |
Р (V, О, х; г) |det [xjk]| dx. |
(205) |
г* |
*ек(.|_) |
|
|
Формулы (201), (203) и (205) аналогичны по структуре формулам (71), (75) и (73) из теории одномерных случайных процессов.
Применим формулу (201) для вычисления среднего числа максиму мов двумерного случайного поля. Пусть п = 2. Тогда х£К(-~), если выполняются условия
|
хи < 0 , |
х22< |
0, det [xJh] = хп х22 — Xi2 > 0. |
|||||||
Формула (201) принимает вид |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
00 |
0 |
|
0 |
]ЛсцХ22 |
|
|
||
|
*макс(0*) = |
5 |
S d K U |
S d x 22 |
J |
___ |
( х 1ХХ22— Х?2) X |
|||
|
|
V* |
— ° ° |
|
|
— У Х ц Х 2 2 |
|
|
||
|
|
X p(v, 0, 0, xn , х22, x12)dx12. |
(206) |
|||||||
с |
Рассмотрим в качестве примера однородное гауссовское поле v(Xi,x2) |
|||||||||
математическим |
ожиданием, |
равным |
нулю, и |
спектральной плот |
||||||
ностью S v(klt k 2). |
Введем |
шестимерный |
вектор |
и = (у, ср1? ф^, хИ, |
||||||
х |
2 2 , х 1 2 ) . Совместная |
плотность |
вероятности |
компонентов этого век |
||||||
тора записывается в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
ехР |
/ |
1 |
6 |
6 |
|
\ |
|
р( и) = ------— |
V |
2 |
И |
2 |
L “PU“ UP |
||||
|
(2я)3 У det К |
<z=i e = |
i |
1 |
||||||
Здесь К — шестимерная квадратная матрица с элементами ТСар — (^а ^р)>
получаем |
|
9 |
|
|
|
f (*11> Х2г) = Х11 X22 ®1 |
V * n У-г-1 |
1—prs3 |
У*п *гг \ |
(216) |
|
|
) |
|
|
( ax„ ) |
|
Сучетом формулы (216) выражение для среднего числа максимумов
(210)принимает вид
1 |
00 |
о |
° |
vMa„c(y*) ^ 2ла |
о $ dv |
S |
$ f (хп- *ts) Pi (0. *11. x22) dxn dxss. (217) |
<Pi |
Фг |
—oo —oo |
|
Таким образом, определение среднего числа максимумов поля v(xly х2) сводится к вычислению кратных квадратур от произведения функ ции (211) на совместную плотность вероятности (212) поля и его вто рых производных. Эти вычисления уже не могут быть проделаны в об щем виде. Но при некоторых частных предположениях (например, при предположении об узкополосности поля) аналитические труднос ти могут быть преодолены. В дальнейшем остановимся подробнее на случае узкополосного поля.
Пусть спектральная плотность S v(ku k2) имеет вид |
|
S v(k1. *s) = T 6( l* i|- * i) e ( l* ,|- * 2 ) . |
(218) |
где k°\ и k2 — волновые числа, в окрестности которых сосредоточена энергия поля. Непосредственные операции со спектральной плотностью (218) приводят к матрице (213) с определителем, равным нулю. Поэтому для построения совместной плотности вероятности р^и, хи, х22) используем следующие соображения. Если поле v(xu х2) — узкопо лосное, то его реализации будут мало отличаться от двоякопериоди
ческого поля с длинами волн 2л/&? и 2ji/k%. Поэтому приближенно мож но принять, что
Хц |
k 1 V, |
Xoo |
k.2 |
V. |
|
Тогда совместную плотность |
вероятности |
рА(и, |
хп, х22) можно пред |
||
ставить В виде |
|
|
|
|
|
Pi(v, *11. x 22) ^ p ( v ) b ( x n |
+ k°[2 v ) b ( x , 2 + k°o2 v), |
(219) |
|||
где |
|
|
|
|
|
',(1,)=, ^ к ехр( - й ) ' |
<220) |
||||
Подставляя выражения (219) и (220) в формулу (217) и замечая, что
оо
^ I f (*п, *22) Pi (v>xn> x2i) dx„ dx22
—00—00
_ fp(v)f(— k f v , — k fv), если v^O ;
1 0, если y < 0 ,