1200

ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ

§ 1.1. Основные понятия*

Предметом статистической динамики является поведение механи­ ческих, электрических, радиотехнических, биологических и тому по­ добных систем при случайных внешних воздействиях и (или) случай­ ном изменении свойств системы. Представляется возможным развить общую теорию поведения таких систем, не прибегая к конкретизации их природы и свойств. При этом на первый план выходят такие вопро­ сы, как формулировка основных вероятностных задач и методы их ре­ шения. Этот путь позволяет придать более общую форму многим резуль­ татам, полученным в статистической теории связи, теории систем авто­ матического управления и других областях прикладной математики. Эта книга посвящена исключительно механическим системам. Тем не менее при изложении статистической динамики механических систем все же предпочтительнее общая точка зрения. Дело в том, что механи­ ческие системы отличаются большим разнообразием как структуры, так и вероятностных свойств. Например, мы встречаем здесь системы с конечным числом степеней свободы, одномерные, двухмерные и трех­ мерные распределенные системы. В настоящей главе осуществлена попытка изложить постановку задач статистической динамики и методы их решения в возможно более общей форме. Однако общие соображения проиллюстрированы исключительно на примерах из строительной ме­ ханики.

Рассмотрим некоторую систему, находящуюся во взаимодействии с окружающей средой. Для простоты вначале предположим, что как свойства системы, так и ее взаимодействие со средой являются чисто детерминистическими. Пусть внешнее воздействие характеризуется элементами q из пространства Q, а поведение системы — элементами и из пространства (/. Математическая природа элементов обоих про­ странств, вообще говоря, произвольна. Это могут быть числа, векторы, тензоры, функции одной или нескольких переменных и т. п. Структура и свойства системы характеризуются оператором Я, посредством ко­ торого каждой реализации внешнего воздействия q 6 Q приводится в соответствие реализация поведения и в U- Таким образом,

* Параграфы имеют двойную нумерацию, причем первая (римская) цифра обозначает номер главы. В пределах каждой главы для формул принята сплош­ ная нумерация; номер главы указывается лишь в ссылках на формулы из других глав.

Примером такой системы может служить любая упругая система, нагруженная внешними силами. Роль воздействия играют внешние силы, роль параметров поведения системы — перемещения, напряже­ ния и деформации. Оператор Н задается уравнениями теории упругос­ ти, строительной механики и т. п., а также соответствующими началь­

процессами). Эту терминологию полезно сохранить и при более общем изложении. Таким образом, операторное соотношение (1) устанавли­

Необходимо отметить, что выбор пространств Q и U и, следователь­ но, оператора Н не является единственным. Это порождается многи­ ми причинами. Одна из причин заключается в том, что понятия систе­ мы и окружающей среды являются в значительной степени условными. Это вызвано не только неодно­ значностью при выборе схематизации системы. Даже при заданном уровне схематизации ^ одни и те же факторы могут быть отнесены как к самой системе, так и к окружающей среде. В зависимости от того, где проходит граница между окружающей средой и системой, будет меняться содержание операторного соотношения (1).

Поясним сказанное на примере из строительной механики (рис. 2). Рассмотрим упругий прямолиней­ ный призматический стержень длиной /, нагружен­ ный осевой силой Р и распределенной поперечной нагрузкой, интенсивность которой равна q. Эти силы,

вообще говоря, являются функциями времени. Поведение стержня описывается функцией w(x, t) координаты л; и времени /, равной попе­ речным смещениям точек, которые лежат на оси стержня. При неко­ торых дополнительных предположениях функция w(x, f) удовлетво­ ряет уравнению

на единицу длины; к — коэффициент демпфирования.

Кроме того, должны быть поставлены начальные и граничные ус­ ловия. Например, это могут быть условия:

Дифференциальное уравнение (2) и условия (3) представляют собой конкретную реализацию операторного соотношения (1). По физичес­ кому смыслу взаимодействие системы с окружающей средой характе­ ризуется силами P(t) и q(xyt)yкоторые играют роль входных процессов. Выходным процессом является функция перемещений w(x, t). Итак,

вится параметром системы и входит в определение конкретной реа­

Имеется еще одна важная причинЯТвызывающая неоднозначность операторного соотношения (1). Дело в том, что выходные параметры можно выбирать различными способами. В зависимости от этого вы­ бора будет меняться форма оператора Я. Пусть пространство U яв­ ляется исчерпывающим в том смысле, что при помощи его элементов можно описать любое возможное поведение системы. Очевидно, что для каждой системы, вообще говоря, существует бесконечное множест­ во исчерпывающих пространств. Все они эквивалентны, поскольку каж­ дое из них может нести полную информацию о поведении системы. Опе­ раторы Я, соответствующие различным исчерпывающим пространст­ вам, должны выражаться один через другой определенными соотноше­ ниями.

Пусть пространство — исчерпывающее, причем по каждому его

Заметим, кстати, что задачи строительной механики, теории упругос­ ти, теории колебаний и т. п. обычно ставятся именно в виде (5), т. е в форме, не разрешенной относительно элементов пространства U. Об­ ращение оператора L составляет одну из основных задач расчета ме­ ханических систем.

Далеко не всегда целью расчета или исследования служит получе ние исчерпывающей информации о поведении системы. В прикладных задачах часто бывает достаточно ограничиться сведениями о значениях

некоторых параметров в отдельных точках или звеньях системы. На­ пример, при статическом расчете конструкции часто ограничиваются определением напряжений лишь в наиболее ответственных элементах, перемещений лишь в тех точках, где ожидается, что они будут макси­ мальными, и т. д. Это вносит еще большее разнообразие в выбор про­ странства U и, следовательно, оператора Я. Для пространств {/, кото­ рые не являются исчерпывающими, операторы Я, вообще говоря, не бу­ дут выражаться друг через друга, хотя и могут быть выражены через один из операторов, соответствующих исчерпывающему пространству.

Хотелось бы еще на одном примере проиллюстрировать условность отделения системы от окружающей среды. Пусть тонкая упругая плас-

( ^ 4a)dx, с1хг

£

тинка, нагруженная нормальной нагрузкой интенсивностью q, совершает колебания в потоке газа (рис. 4). При вполне определенных пред­ положениях уравнение колебаний этой пластинки можно представить в виде

где w(xlt х 2, /) — нормальное перемещение точек, лежащих на средин­ ной поверхности пластинки; т — ее масса, отнесенная к единице пло­

(6) должно решаться при некоторых'начальных и граничных условиях, например при условиях:

производная от перемещения по нормали к контуру. Взаимодействие пластинки с газом учитывается давлением последнего qjx^x^t), кото­ рое входит в правую часть уравнения (6). Существенно, что это давле­ ние является функционалом от искомого перемещения w(xltx 2l t)> Так, в одном из простейших случаев, когда обтекание пластинки происхо-

дит с большой сверхзвуковой скоростью К, а вносимые ею возмущения достаточно малы, можно положить,

Здесь х — показатель политропы; ^иС оо — соответственно давление и скорость звука в невозмущенном потоке. Рассматриваемая система является типичной системой с обратной связью (рис. 5). Поскольку давление газа qa зависит от перемещения, то целесообразно трактовать его не как входной параметр, а как оператор от поведения системы.

До сих пор мы полагали, что как свойства системы, так и характер внешних воздействий являются чисто детерминистическими. Пред­ метом статистической динамики, как уже было указано, является по­ ведение системы при случайных воздействиях и (или) при случайном изменении свойств системы. Введенные выше понятия о пространст­ вах входных и выходных параметров и об операторном задании си­ стемы полностью сохраняют смысл и при рассмотрении вероятностных задач. Однако изменяется способ описания указанных параметров, а в случае стохастических систем — и способ описания системы.

Пусть входной параметр q является стохастическим, т. е. представ­ ляет собой случайное число, случайную функцию и т. п. Тогда каждо­ му элементу q 6 Q приводится в соответствие некоторая вероятност­ ная мера. Например, если входной параметр есть случайное число, то оно характеризуется функцией распределения (плотностью вероят­ ности). Если входной параметр — случайный вектор, то он задается многомерным совместным распределением для компонентов. Случай­ ная функция времени может быть задана, например, через полную систему совместных функций распределения ее значений в произволь­ но выбираемые моменты времени. Вместо полного вероятностного опи­ сания путем задания меры в функциональных пространствах нередко используется частичное описание. При этом широко применяются ин­ тегралы по вероятностной мере: математические ожидания, дисперсии и другие моменты от случайных величин, моментные и корреляционные функции от случайных процессов и т. д.

На вопросе об описании стохасттеску[Х^1ЖЗШ.меобхоА1то остановитьс'я'подробногБ теорий "вероятностей и ее приложениях обычно используется статистическое истолкование вероятности. При этом ве­ роятность случайного события интерпретируется как объективная ме­

ра, эквивалентная эмпирической частоте. В соответствии с законом больших чисел в форме Бернулли вероятность случайного события есть предел, к которому стремится (по вероятности) эмпирическая частота, когда число наблюдений неограниченно возрастает. В свою очередь, применение понятия эмпирической частоты предполагает, что случай­ ное событие является массовым, т. е. что оно допускает многократное воспроизведение в статистически однородных условиях. Отсюда следует, что статистическое истолкование вероятности может быть распростра­ нено лишь на такие системы, которые осуществляются в большом ко­ личестве статистически однородных, сопоставимых экземпляров. Толь­ ко имея достаточно представительный ансамбль систем, мы можем по­ лучить статистические оценки вероятностных свойств системы. С дру­ гой стороны, только при этих условиях можно дать статистическое истолкование вероятностным выводам, которые следуют из решения задач статистической динамики.

Такой подход чрезвычайно бы сузил область применения вероят­ ностных методов. Выпали бы из рассмотрения не только уникальные (и часто наиболее дорогие и ответственные) системы, но и системы, из­ готовляемые в относительно небольшом количестве сопоставимых эк­ земпляров. Как уже говорилось, вероятность есть объективная мера возможности наступления события независимо от того, является ли оно массовым или нет. В повседневной жизни мы постоянно (хотя и полуинтуитивно) применяем вероятностные оценки к событиям, кото­ рые заведомо не являются массовыми, принимаем на основе этих оце­ нок решения и добиваемся успеха. При этом вероятность приобретает смысл некоторой меры доверия к тем или иным утверждениям. Анализ этого вопроса является не технической, а скорее философской, логи­ ческой и психологической проблемой. Чтобы избежать связанных с нею затруднений, можно воспользоваться понятием мыслимого ансамбля, т. е. наряду сданной системой рассматривать множество воображаемых сопоставимых систем.

Однако при этом сохраняются существенные трудности, имеющие практический характер. Для получения вероятностных характерис­ тик системы необходимо иметь соответствующую статистическую ин­ формацию, а ее, вообще говоря, можно получить только из рассмотре­ ния представительного ансамбля. Этот ансамбль, разумеется, должен быть реальным, а не мыслимым. Аналогичное затруднение возникает даже в том случае, когда система является массовой. В распоряжении экспериментатора очень редко находится количество экземпляров, до­ статочное для того, чтобы делать надежные статистические выводы. К счастью, многие вероятностные свойства систем обладают эргодич­ ностью. Эти свойства проявляются не только в ансамбле реализаций, но и во времени и (или) в пространстве. Такие вероятностные свойства можно изучать, наблюдая за поведением одного экземпляра во време­ ни или изучая, как эти свойства меняются при переходе от одной точки к другой. Примером реализации этого подхода служит предсказание прочности крупного сооружения из бетона или железобетона на осно­ вании большого числа испытаний малых лабораторных образцов.

Под четвертой задачей статистической динамики мы будем понимать отыскание "системыь которая при заданных внешних воздействиях об­ ладает заданными свойствами. Примером может служить задача о син­ тезе оптимальной системы, тг^- системы, которая обладает наилучши­ ми в некотором смысле свойствами. Обычно критерий оптимальности формулируется в виде условия максимума (или минимума)~нёкоторых функционалов от свойств системы и ее реакций на внешние воздействия при дополнительных ограничениях, накладываемых на другие функ­ ционалы или параметры системы. Так, при оптимальном проектиро­ вании конструкции ставится требование о том, чтобы стоимость конст­ рукции (или ее вес) была минимальна при ограничении снизу несущей способности (или надежности) конструкции.

Задачи синтеза весьма трудны, хотя имеются примеры эффектив­ ного решения некоторых классов. Укажем на теорию оптимальных ли­ нейных систем связи и управления, обеспечивающих отработку задан­ ного сигнала при минимальной средней квадратической ошибке [62, 97]. При расчете механических систем задачи синтеза в столь общей форме возникают очень редко. Из чисто функциональных соображе­ ний часто бывает задана не только структура системы, но и ряд ее па­ раметров. В этих случаях задача сводится к отысканию оптимальных значений остальных параметров системы.

Часто условие оптимальности заменяется более простыми требова­ ниями. Например, условие минимума веса конструкции заменяется более простым условием равнопрочное™ ее элементов. Поэтому в даль­ нейшем, говоря об оптимальных системах, критериях оптимальности ит. п., мы будем трактовать эти понятия в широком смысле. А именно, будем называть систему оптимальной, если она удовлетворяет заранее сформулированным условиям, при которых, по мнению проектиров­ щика, система будет «наилучшей». Подчеркнем, что выбор критерия для оптимизации не входит в задачу статистической динамики. Этот критерий выбирается на основе функциональных, экономических, тех­ нологических и тому подобных соображений и притом выбирается не единственным образом. Один из путей для выбора критерия оптималь­ ности открывает теория надежности [65, 95].

Если основная задача статистической динамики решена, то, как правило, результаты могут быть использованы для решения остальных задач. В самом деле, решение основной задачи дает соотношения между вероятностными характеристиками на входе и выходе системы, а также вероятностными характеристиками системы. В зависимости от того, какие характеристики по условиям задачи известны, мы найдем из этих соотношений решения второй и третьей задач. Пусть далее постав­ лена четвертая задача, причем критерий оптимальности сформули­ рован в виде условия минимума некоторого функционала от поведе­ ния системы. Тогда решение основной задачи предоставляет необхо­ димую информацию и для решения четвертой задачи. Таким образом, целесообразно сосредоточить внимание на решении основной задачи.

Выбор метода для решения задач статистической динамики в су­ щественной степени зависит от характера системы. Классификацию

систем можно провести по различным признакам. Остановимся на некоторых из них.

В зависимости от того, как ведет себя система при одновременном приложении двух или нескольких воздействий, будем различать ли­ нейные,и нелинейные, системы. Система, описываемая операторным уравнением (1), называется линейной, если оператор Я удовлетворяет

Здесь а — произвольное число; qt и q2 — внешние воздействия. Если оператор Я условиям (7) не удовлетворяет, то система называется нелинейной. К линейным системам применим принцип суперпозиции: реакция системы на сумму внешних воздействий может быть най­ дена как сумма реакций, вычисленных от каждого воздействия в от­ дельности.

Необходимо указать, что из линейного характера дифференциаль­ ных уравнений относительно выходного параметра еще не следует ли­ нейность оператора Я. В качестве примера рассмотрим задачу, которая описывается уравнением (2) при дополнительных условиях (3). Диф­ ференциальное уравнение (2), а также начальные и краевые условия линейны относительно функции перемещений w(x, (). Соответствующий оператор Я является линейным, если входным параметром служит ин­ тенсивность поперечной нагрузки q(xt /), а величина продольной силы Р трактуется как параметр системы. Если же продольная сила Р от­ носится к числу внешних параметров, то соответствующий оператор становится нелинейным: принцип суперпозиции к операторному урав­ нению (4) неприменим. Таким образом, система, линейная по отноше­ нию к одним воздействиям, может оказаться нелинейной по отношению к другим воздействиям. В частности, по отношению к параметричес­ ким воздействиям любую систему следует трактовать как нелинейную.

Другой признак для классификации получим, рассматривая поведе­ ние свойств системы во времени. Система называется стационарной, если ее свойства неизменны во времени. Оператор Я для стационарных систем инвариантен относительно смещения начального момента вре­ мени. Оператор Я нестационарной системы этим свойством не облада­ ет. Отметим, что одна и та же физическая система в зависимости от уровня схематизации может рассматриваться как стационарная или нестационарная. Как правило, расширяя систему за счет окружающей среды, мы можем добиться того, что система станет стационарной. В самом деле, самые общие уравнения механических, физических, хи­ мических и тому подобных явлений инвариантны относительно *сме­ щения начального момента времени. Неинвар1рнтность возникает лишь из-за того, что некоторые процессы рассматривают как внешние, автономные по отношению к системе. В качестве примера рассмотрим конструкцию из бетона, в котором еще не закончился процесс времен­ ного упрочнения. Пусть ползучесть конструкции происходит при по­

стоянных нагрузках. Поскольку свойства бетона меняются во времени, то уравнения ползучести будут явно содержать время. Дополним урав­ нения ползучести кинетическими уравнениями, описывающими физи­ ко-химические процессы в бетоне. Если температура бетона постоянна, то расширенная таким образом система уравнений уже не будет содер­ жать времени явно. В случае переменной температуры следует доба­ вить уравнение теплопроводности, учитывающее тепловыделение в бе­ тоне, и т. д.

Можно предложить несколько классификаций систем, основанных на рассмотрении аналитических свойств оператора Н. Эти свойства могут быть связаны со структурой пространств Q и U, а могут быть не связаны. Весьма целесообразно различать вырожденные и невырож­ денные операторы. Оператор Н называется вырожденным, если про­ странства Q и U суть конечномерные эвклидовы пространства и если соотношение между элементами этих пространств конечно.

С вырожденным оператором мы встречаемся каждый раз, когда и внешнее воздействие, и поведение системы описываются конечным чис­ лом параметров, причем связь между этими параметрами дается фор­ мулами, не содержащими ни дифференциальных, ни интегральных опе­ раций. В инженерных расчетах вырожденные операторы встречаются весьма часто, особенно если идет речь о неполном описании поведения системы. В качестве простого примера рассмотрим балку, которая на­ гружена п случайными силами Qlt Q2, Qn, которые прикладывают­ ся квазистатически. Предположим, что задача состоит в нахождении изгибающих моментов M lf М 2, ..., М т в т сечениях балки. При из­ вестных ограничениях связь между моментами и силами дается фор­ мулой

где г)jh — матрица коэффициентов влияния пор'ядка т Х п , элементы которой определяются известными методами. Формуле (8) соответст­ вует операторное соотношение (1) с вырожденным оператором.

Очевидно, что вырожденным оператором будет обладать любая си­ стема с конечным числом степеней свободы, если положить временные эффекты пренебрежимо малыми. В самом деле, для этой системы мы по­ лучим конечную связь между входными и выходными параметрами. В работах по статистической динамике систем автоматического управле­ ния такие системы называют безынерционными. Этот термин неудобен в общей статистической динамике, а также в статистической динамике механических систем, где встречаются как системы с конечным числом степеней свободы, так и распределенные системы. Если в дифферен­ циальных уравнениях движения распределенной системы опустить все члены, содержащие производные по времени, то мы получим все же невырожденную (хотя и безынерционную) систему.

Дополнительный аргумент против термина «безынерционная систе­ ма» вытекает из рассмотрения следующего примера. Пусть конструкция