Теоретические основы переработки полимеров (механика процессов)
..pdf
где
____ аД____
.4p.0Wl+l/n sin ф
Разделяя переменные в уравнении (VIII. 117), получим:
е Ь (Г—Го) |
dT = |
ц„ЛГ|+ |/п Л |
(VIII. 120) |
|
~ т гиг |
||||
|
Qpcp |
|
Основное уравнение политропической экструзии получается в результате интегрирования уравнения (VIII. 120) при заданных значениях температуры на стенках корпуса и коэффициента тепло отдачи. Задача сводится к определению функции Т(1) из выра жения:
y aN x+VnAl _ |
Г _________еь (Г~Го> dT_________ |
|
(VIII. 121) |
Q P CP |
J 1 + а , ( Г 6 + Г 5 - 2Г) е 6 ( Г - Г ») |
|
То |
Стоящий в правой части выражения (VIII. 121) определенный интеграл не сводится к квадратурам. Поэтому при необходимости получить его точное значение приходится прибегать к численным методам решения. Однако при построении математической модели экструзии нами используется метод ступенчатого расчета, при ко тором поля температур и давлений последовательно рассчиты ваются для участков червяка малой длины (например, для уча стка с длиной равной половине шага червяка). При таком шаге расчета хорошие результаты дает использование приближенного
решения. Воспользуемся подстановкой R = e biT~To) и обозначим
|
________ dR__________ |
(VIII. 122) |
|
+ 2«(« + i t a i - ) « |
|
|
|
|
где |
|
|
с = |
0,5(7’6 + Г5 - 2 Г 0) |
|
|
Использование разложения In \/R ж 1//?— 1 дает: |
|
Ф = |
( Я - 1)/bk |
(VIII. 123) |
где |
|
|
k = |
1 +2ас |
(VIII. 124) |
|
Полученное решение справедливо, если /? ^ 1,3. |
Это условие |
означает, что приращение температуры в пределах одного шага расчета не должно превышать 20—25 К (если Ь ж 0,01 К-1). В дей ствительности приращение температуры в пределах одного шага расчета составляет ют 3 до 5 К. Следовательно, это условие всегда выполняется.
Уравнение |
(VIII. 124) |
отражает воздействие основных внеш |
них факторов |
на особенности процесса экструзии. Так, при малых |
|
значениях коэффициента |
теплообмена существование перепада |
|
температур между корпусом и расплавом не оказывает никакого влияния на коэффициент политропичности, и процесс протекает в
адиабатическом |
режиме (k = \). Если |
же а велико, то при ма |
лых R и больших с (когда средняя разность температур положи |
||
тельна) процесс |
идет с подводом тепла |
извне (k > 1); напротив, |
если R велико и средняя разность температур отрицательна, про цесс идет с отводом тепла (k < 1).
Из уравнения (VIII. 124) следует, что коэффициент политро пичности сильно зависит от среднего значения перепада темпера туры, определяемого выражением с — (In R)/b. Если этот перепад положителен, то в результате дополнительного подвода тепла от стенок корпуса коэффициент политропичности оказывается боль ше единицы. Если же средний перепад температур отрицателен, то вследствие отвода тепла в окружающую среду величина коэф фициента политропичности оказывается меньше единицы.
В обоих случаях существенное влияние на характер оказывае мого воздействия имеет коэффициент а, определяющий относитель ную долю подводимой извне (или отводимой) энергии по сравне нию с энергией, диссипируемой вследствие вязкого трения. Чем меньше а, тем больше степень термоизоляции системы и тем ближе рабочий режим к адиабатическому.
Продольное распределение температур описывается соотноше нием:
г (/) = То + А * = То + 1 In [1 + VoAbN'+^kl/iQpcp)] (VIII. 125)
где / — продольная координата нормального сечения, изменяющаяся в пределах
О ^ / < /д.
Температура расплава на выходе из червяка также подсчиты вается из выражения (VIII. 125) только в этом случае вместо те кущей координаты / подставляется значение фактической длины зоны дозирования /д. Для ее определения необходимо вычислить длину зоны плавления, используя изложенный ниже метод. При этом каждому значению производительности при фиксированном значении частоты вращения червяка будет соответствовать своя длина зон плавления и питания. Поэтому фактическая длина зоны дозирования определяется как разность между общей длиной чер вяка и суммарной длиной зон питания и плавления.
Производительность червяка. Уравнение (VIII. 121) позволяет получить выражение для определения объемной производительно сти червяка с постоянными размерами канала, работающего в политропическом режиме:
р _ k(D ц0А1„ЫУ'+ 11п
R — I |
рср |
(VIII. 126) |
|
Интересным следствием уравнения (VIII. 126) |
является вывод |
о постоянстве множителя lk(l)/(R— 1): |
|
k (/)/(/? —I) = const |
(VIM 127) |
273
Из последнего уравнения следует, что коэффициент политропичности при постоянной температуре стенок корпуса постепенно уменьшается. Очевидно, что если экспериментально определить продольное распределение температур, то используя уравнение (VIII. 127) для вычисления k(l), можно рассчитать изменение коэффициента теплообмена а и исследовать процесс теплоотдачи
на стенке корпуса.
Распределение давлений по длине зоны дозирования. Получен ные в разделе VIII. 7 результаты показывают, что с достаточно хо рошим приближением при y/z <С 1 можно принять, что продольный градиент давлений в канале чер'вяка описывается выражением:
дР _ |
ДгцО |
Г nD (п + 1) COS Ф 1 |
А,|щ |
(VIII 128) |
|
dz |
R (z) |
L |
hn+' |
J |
|
При этом величина Bz для червяка с постоянной глубиной остает ся неизменной по всей длине. Таким образом, определив значение Bz по заданному расходу, можно определить и значение продоль ного градиента давлений в любом сечении канала.
На основании результатов, |
полученных в разделе VIII. 6 [урав |
|
нение |
(VIII. 79)], можно показать, что в случае цилиндрического |
|
червяка давление на выходе описывается выражением: |
||
4Р» |
i 'j(C” ^ |
' - + X(s‘.9>№l' ^ ] ( . + I)1'" |
0 < х < |
w |
(VIII. 129) |
|
||
Из уравнения (VIII. 129) следует, что в червяках с короткой зоной дозирования неизбежно возникают пульсации давления. По мере удлинения зоны дозирования эти пульсации уменьшаются, и у червяков с достаточно большой длиной эффективной зоны до зирования ими можно пренебречь. В последнем случае приращение давления в зоне дозирования определяется упрощенным выраже нием:
ДРд — |
НоВг Гл DN (п + 1) cos qp "11/я |
(VIII. 130) |
||
hn+1 |
J |
|||
|
д |
|||
Описанный метод расчета давления на выходе из червяка осно ван на предположении, что глубина винтового канала по всей длине зоны дозирования неизменна. На самом деле это условие почти никогда не выполняется. В большинстве случаев червяки современных экструдеров состоят из двух участков с резко различ ной глубиной винтового канала, соединенных ступенью сжатия — коротким участком с переменной глубиной винтового канала дли ной от половины до одного шага.
Некоторые экструдеры оснащаются червяком с ярко выражен ной зоной плавления, представляющей собой участок червяка с коническим сердечником, располагающийся между зоной питания и зоной дозирования,
Рис. VIII. 17. Типичные эпюры давлений при экструзии термопластов при Q/ < QKp
(кривая /) и Q2 > QKp (кривая 2); /—/ и
II—II — фактические границы зоны плав-
п а н н о
Изменение длины фактиче ской зоны дозирования, вызы ваемое изменением длины зон питания и плавления, приводит к тому, что реально существую щая зона дозирования оказы вается образованной двумя уча стками червяка с различной глу
биной винтового канала. Поскольку объемный расход
через поперечное сечение канала остается везде одинаковым (утеч ками пренебрегаем), изменение глубины канала приводит к тому, что безразмерный локальный градиент давления по мере
умрнцшоотлп г |
,. |
уменьшения глубины канала |
объемных пя/м я РИС' |
(кривая /)], а при очень больших |
|
гоалиентя п |
°Да* даже изменяет знак. Условие перемены знака |
|
нии уравне!1ияЛ5viIl4S \ 'п к ™ |
чер.вяка Формулируется на основа- |
|
в участи ол Я |
^У111*°4). Объемный расход, при котором на входе |
|
давленый к ЯЫ ДОЗИРования с наиболее мелкой нарезкой градиент давлении меняет знак, равен:
Фкр > a 0/VFdcl |
(VIII. 131) |
резкой. 3||ачение коэффициента а для участка канала с наиболее мелкой на-
Дальнейшее увеличение производительности приводит к тому, что давление проходит через максимум. При этом эпюра давлений приобретает вид, подобный изображенному на рис. VIII. 17 (кри вая 2). Фактическое приращение давления в пределах зоны дози
рования определяется соотношением:
к
АР = £ ДPt |
(VIII. 132) |
i=i
В этом соотношении ДРг- — локальное приращение давления, определенное для участка червяка, в пределах которого геометри ческие размеры его постоянны или меняются в очень незначитель ной степени. Если червяк имеет конический сердечник, то можно принять, что это участок винтового канала длиной в один шаг.
Очевидно, что если производительность участков канала, рас положенных ближе к загрузочной воронке, оказывается чрез мерно велика, возникающий положительный градиент давления приводит к ее уменьшению. Совершенно аналогично, при недоста точной объемной производительности участка червяка с кониче ским (или цилиндрическим) сердечником наличие избыточного
расхода приводит к возникновению отрицательного градиента дав лений.
V III.9. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О МЕХАНИЗМЕ РАБОТЫ ЗОНЫ ПЛАВЛЕНИЯ
Математическая модель зоны плавления была предложена Тадмором [37], исходившим из механизма плавления, описанного в ра ботах Маддока [34] и Стрита [36] (см. раздел VIII. 2). В соответ ствии с этим механизмом процесс плавления гранулированного материала начинается на поверхности контакта материала с горя чей стенкой корпуса. На поверхности стенки образуется тонкая пленка расплава. Постепенно толщина этой пленки увеличивается, и в тот момент, когда она оказывается больше радиального зазора между червяком и корпусом, передняя кромка стенки винтового канала начинает соскребать слой расплава, который и собирается у толкающей стенки [70]. По мере продвижения пробки гранул по каналу ее ширина уменьшается; процесс плавления заканчивается в тот момент, когда пробка совершенно исчезает.
Модель процесса плавления строилась в предположении, что движение материала в зоне плавления можно считать установив шимся и что, следовательно, поля скоростей и температур в каж дом сечении канала не зависят от времени^ Предполагалось также, что область расплава отделяется от области гранул четкой грани цей, иначе говоря, что полимер имеет четко выраженную темпе
ратуру |
плавления. Дальнейшее упрощение состоит в том, что |
|
пробку |
гранул считают гомогенной, |
однородной и непрерывной, |
а поперечное сечение области расплава |
и пробки — прямоугольным |
|
(рис. VIII. 18).
За счет процесса теплопередачи в результате наличия перепада температур тепло к твердой пробке 4 передается от внутренней поверхности корпуса 1 через движущуюся пленку расплава 2. До полнительное тепло генерируется в пленке расплава вследствие работы вязкого трения. Теплопередачей от вращающегося у тол кающей стенки слоя расплава пренебрегаем, поскольку на боль шей части зоны плавления ширина твердой пробки много больше, чем ее высота. Теплопередачей в направлении оси развертки вин тового канала (ось z) также пренебрегаем.
При расчете процесса теплопередачи считаем, что толщина слоя гранул бесконечно велика. Это допущение можно считать приемлемым, поскольку коэффициент теплопроводности гранул очень мал. Поэтому температура гранул быстро снижается от температуры поверхности раздела (температура плавления) до температуры слоев пробки, достаточно удаленных от зоны плав
ления.
Скорость плавления на поверхности раздела в любом попереч ном сечении определяется мощностью теплового потока, подводи мого к поверхности раздела и отводимого от нее. Как экспери менты, так и теория показывают, что толщина пленки расплава на внешней поверхности пробки невелика — порядка 0,02 см. Ско рость относительного движения поверхности корпуса на практике
|
|
|
|
составляет |
примерно 10—100 см/с. |
|||||
|
|
|
|
Учитывая |
большую |
относитель |
||||
|
|
|
|
ную |
скорость |
корпуса, |
можно |
|||
|
|
|
|
считать, что течение в этом тон |
||||||
|
|
|
|
ком |
слое |
аналогично вынужден |
||||
|
|
|
|
ному течению между двумя бес |
||||||
|
|
|
|
конечными |
параллельными плос |
|||||
|
|
|
|
костями. |
Верхняя |
плоскость — |
||||
|
|
|
|
это внутренняя |
поверхность раз |
|||||
|
|
|
|
вертки |
корпуса, |
движущаяся со |
||||
|
|
|
|
скоростью иь и имеющая темпе |
||||||
|
|
|
|
ратуру Ть, а нижняя плоскость — |
||||||
|
|
|
|
поверхность раздела |
фаз, темпе |
|||||
|
|
|
|
ратура |
которой |
равна |
темпера |
|||
Рис. VIII. |
18. |
Теоретическое |
распределе |
туре |
плавления |
Tg |
(эта |
поверх |
||
ние температур в расплаве и пробке: |
ность движется |
вдоль по каналу |
||||||||
/ — внутренняя |
поверхность |
корпуса; |
с постоянной скоростью vsz). |
|||||||
2— расплав; |
3— поверхность раздела фаз; |
|||||||||
4— пробка. |
|
|
|
Для |
дальнейшего упрощения |
|||||
|
|
|
|
принимаем, что |
расплав |
являет- |
||||
ся псевдопластичной жидкостью, и все его физические характеристики не зависят от температуры [ив].
ТОЛЩИНА СЛОЯ РАСПЛАВА И СКОРОСТЬ ПЛАВЛЕНИЯ
Распределение температур для установившегося плоско-парал лельного вынужденного течения вязкой жидкости рассмотрено в работах [71, 72].
В соответствии с полученными результатами, распределение безразмерной температуры в потоке, определенное при граничных условиях
T - = T g |
при у = 0; Т = |
Т Ь |
при |
У = 6 |
(VIII. 133) |
|
описывается выражением: |
|
|
|
|||
Т~ ТЯ |
Рд(Доь)- |
« (, _ |
, I |
(VIII. 134) |
||
T b - T g |
2km ( Т b — Т g ) |
6 V |
б / + |
в |
||
|
||||||
где Дс/6 = |
|V6 — va | — модуль разности |
вектора относительной скорости корпуса |
||||
и вектора скорости движения пробки; До* = [ ( v bz — v sz) |
+ vl хТ*' б — толщина |
|||||
слоя расплава, зависящая от продольной координаты г. |
|
|||||
Тепловой поток от слоя расплава к поверхности раздела опре деляется выражением:
\.qfy]y=Q ~ |
= - t ( Tb - Tg)) |
26 |
(VIII. 135) |
В твердой пробке, движущейся с постоян^рй скоростью, v
навливается свое распределение температур: |
у |
|
<V*U. 136) |
где Г0 — температура середины пробки; v,v — проекция скорости ДвЦя™.,,, пробки на ось у\ а — коэффициент температуропроводности нерасплавде материала (в см2/с).
Соответственно тепловой поток от поверхности |
раздела \ в |
тренним областям пробки равен: |
у |
- К Л - о = * * ( ^ ) , . 0 |
,V1H. 137) |
где ks — коэффициент теплопроводности гранул в пробке. |
|
Теоретическое распределение температур, установившее^ в слое расплава и твердой пробке, показано на рис. VIII. 18. р аз. ность между количеством тепла qfv, подводимого к поверх^ости раздела, и количеством тепла qsy, отводимого от нее в тверДуЮ пробку, — это тепло ^Пл, расходуемое на плавление материала на единице поверхности раздела:
= 4 f y - qsy |
|
|
(VHI.138) |
|
Используя выражение (VIII. 135) и (VIII. 136), получим: |
||||
«V»/—аг(г*-г,)- |
М ^ » )2 |
- W e s V g - T o ) ”, |
(VIII. 139) |
|
26 |
||||
б |
||||
sy |
|
|||
где К— теплота плавления материала; |iQ— эффективная вязкость при градиенте скорости Дць/б.
Уравнение теплового баланса (VIII. 139) связывает толщину слоя расплава б со скоростью движения пробки vsy-
Рассмотрим продольное сечение канала единичной длины пло скостью, нормальной к оси у. Для такого сечения количество мате риала, которое проходит через поверхность раздела фаз со сто роны твердой пробки, должно быть равно объемному расходу в жидком слое, причем оба эти расхода должны быть равны скоро сти плавления на единичной длине канала со:
о = vsyXps = 0,5uSJCбр |
(VIII. 140) |
где X — нормальная ширина пробки (см. рис. VIII. 3); р — плотность расплава.
Это уравнение материального баланса описывает зависимость между толщиной слоя расплава, скоростью движения пробки п шириной пробки X.
Уравнения (VIII. 139) и (VIII. 140) позволяют получить выра жения, определяющие 6 и © как функции X, физических характе ристик полимера и режима экструзии:
Г |
№m{Tb - T g) + \ia{bvbY\X |
(VIII. 141) |
|
б " 1 |
VbxP [Cps (Tg — TQ) + Я] |
||
J |
|||
о, = ФХ,/г |
(VIII. 142) |
||
гДе |
|
|
|
( |
°ЬхР [*т (Т Ь - Т я) + 0,5jla (Д^)2| |
||
Ф= { (VIII. 143)
ЧсрАти - Ч + Ч
Суменьшением X и б и м уменьшаются пропорционально корHj0 квадратному из X. Следовательно, обе эти величины макси
мальны в начале зоны плавления, когда X = и убывают до нуля в ее конце, где X = 0.
Ширина твердой пробки. Для определения ширины твердой пробки воспользуемся дифференциальным уравнением материаль ного баланса. При составлении уравнения не будем принимать во внимание количество материала, находящегося в тонком слое рас плава, а скорость движения пробки будем по-прежнему считать постоянной [73]:
*/'РЛг 1г - |
*ЛРЛг \z+dz = ® dz |
<VlIL И4) |
где Л — глубина канала, которую считаем равной толщине |
пробки. |
|
Преобразуя уравнение (VIII. 144), получим |
следующее урав |
|
нение: |
|
|
-£-(ХА) = |
-----— |
(VIII. 145) |
dz |
V o |
|
|
szys |
|
Червяки для переработки термопластов в зоне плавления обычно имеют конический сердечник. Поэтому для описания зави симости глубины канала от продольной координаты можно вос пользоваться уравнением:
h * * h o - x z |
(VIII. 146) |
где и — тангенс половины угла конусности.
Подстановка уравнений (VIII. 146) и (VIII. 142) в уравнение (VIII. 145) дает:
(ha — хг) dz |
— у.Х = |
Х'кФ |
(VIII. 147) |
|
°*Р* |
||||
|
|
|
||
Интегрируя уравнение (VIII. 147) |
и определяя постоянную ин- |
|||
тегрирования из условия, что плавление начинается еще до попа дания в зону плавления (z = 0, X = Хх\ z = z, X = X), получим:
£
щ
где |
Н — отношение удельной производительности зоны плавления, |
отц сенной |
к единице длины, к удельному расходу твердого материала, отнесенному0 |
||
нице глубины на входе в зону плавления; |
д ' |
|
н |
ф да'/з |
/ V |
" |
7 ТГу/Г1 Г |
(ми. 149) |
Vw ) А0
G — массовый расход; G = vszwhaps-
Необходимую длину зоны плавления г„ можно рассчитВть из уравнения (VIII. 148), положив в нем X = 0. Разрешая это урав. нение относительно г, получим:
|
|
|
|
|
(VIII |
15С) |
Подстановка |
уравнения |
(VIII. 150) |
в |
уравнение |
(VIIJ |
1 4 3 ) |
дает: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(v tll. 151) |
|
Средняя производительность зоны |
плавления, приходя(даяся |
|||||
на единицу длины канала, равна: |
|
|
|
|
||
0 |
|
Н/к- 1 |
dz = __^'u |
|||
|
|
|
||||
|
|
[1 ~ zlz° ( 2~Т/ |
|
"З-х/Я |
||
|
|
|
(VIII. 152) |
|||
|
|
|
|
|
||
Если плавление начинается в начале зоны плавления, величину |
||||||
Х{ в уравнениях |
(VIII. 148), |
(VIII. 149) |
и |
(VIII. 151) |
надо заме |
|
нить на w. |
|
|
|
|
|
|
Другой, более общий подход к определению длины зоны плав ления основывается на замене участка червяка с уменьшающейся глубиной канала (конический сердечник) серией последовательно расположенных цилиндрических ступеней, длина каждой из кото рых равна Д/, а глубина дискретно уменьшается каждый раз на величину Дh = хД/.
В этом случае длина зоны плавления определяется методом последовательного расчета ширины твердой пробки, уменьшаю щейся по мере удаления от начала зоны плавления. За начало зоны плавления принимают сечение, в котором толщина слоя рас плава на стенке равна радиальному зазору. Как будет показано ниже, обычно это сечение отстоит от сечения, в котором темпера тура стенки корпуса равна температуре плавления, на (2-r-3)Z).
Расчетная формула, полученная интегрированием уравнения (VIII. 145) при условии h = const в пределах участка интегриро вания, имеет вид:
<&wh\ А/ V 2Qp/». + , sin фу