Дискретно-полевые модели электрических машин. Часть I II

Программа расчёта электромагнитного переходного процесса при пуске короткозамкнутого асинхронного двигателя:

n=240; om0=100.*pi; pr=90.e6; nn=1; mu0=4.*pi*1.e-7; r0=22.675e-3; hx=2.*pi/n; del=0.3025e-3; dli=0.0365; w=10.; q1=260.6; sig2=1.036; t=0.; dt=0.0002; tk=0.40;

ra=32.5; rb=ra; rc=ra; La=0.096; Lb=La; Lc=La; Lr=0.073; um=310.; om=0.; s1=mu0*pr*om*r0*r0*hx/2.; s2=mu0*pr*r0*r0*hx*hx/dt; s3=q1*r0*r0*hx*hx; s4=mu0*r0*hx*w/del; s5=w*dli; s6=2.*hx*r0*sig2; s7=del*dli*r0*hx; dpota=0.; dpotb=0.; dpotc=0.; y0(1:n)=0.; ia0=0.; ib0=0.; ic0=0.;

ia=0.; ib=0.; ic=0.; pota0=0.; potb0=0.; potc0=0.; a(1:n)=1.+s1; b(1:n)=1.-s1; c(1:n)=2.+s2+s3;

while t<tk

uab=um*sin(om0*t); ubc=um*sin(om0*t-2.*pi/3.); d11=La+Lb+2.*Lr/sig2; d12=Lb+Lr/sig2; d21=Lb+Lr/sig2; d22=Lb+Lc+2.*Lr/sig2; t1=uab*dt-dpota+dpotb-ia*(ra+rb)*dt-ic*rb*dt; t2=-ubc*dt-dpotc+dpotb-ia*rb*dt-ic*(rb+rc)*dt; delt=d11*d22-d12*d21; delt1=t1*d22-t2*d12; delt2=t2*d11-t1*d21;

dia=delt1/delt; dic=delt2/delt; ia=ia0+dia; ic=ic0+dic; ib=-ia-ic; ff(1:n)=0.; fa=s4*ia; fb=s4*ib; fc=s4*ic; f2(1)=s2*y0(1); f2(n)=s2*y0(n);

for j=1:40

f1(j)=fa; f1(j+40)=-fc; f1(j+80)=fb; f1(j+120)=-fa; f1(j+160)=fc; f1(j+200)=-fb; end

f2(2:n-1)=s2*y0(2:n-1); ff(1:n)=f1(1:n)+f2(1:n); alf(2)=b(1)/c(1); bet(2)=ff(1)/c(1); gam(2)=a(1)/c(1); for j=2:n

r=c(j)-alf(j)*a(j); alf(j+1)=b(j)/r; bet(j+1)=(a(j)*bet(j)+ff(j))/r; gam(j+1)=a(j)*gam(j)/r;

end

p(n-1)=bet(n); q(n-1)=alf(n)+gam(n); for j=n-2:-1:1

p(j)=alf(j+1)*p(j+1)+bet(j+1); q(j)=alf(j+1)*q(j+1)+gam(j+1); end

r1=bet(n+1)+alf(n+1)*p(1); r2=1.-alf(n+1)*q(1)-gam(n+1); y(n)=r1/r2; y(1:n-1)=p(1:n-1)+y(n)*q(1:n-1); pota=0.; potb=0.; potc=0.;

for j=1:40

pota=pota+s5*(y(j)-y(j+120))/sig2; potb=potb+s5*(y(j+80)-y(j+200))/sig2; potc=potc+s5*(y(j+160)-y(j+40))/sig2;

end

dpota=pota-pota0; dpotb=potb-potb0; dpotc=potc-potc0; br(1)=(y(2)-y(n))/s6; br(n)=(y(1)-y(n-1))/s6;

271

for j=2:n-1 br(j)=(y(j+1)-y(j-1))/s6;

end fm=0.; for j=1:n

r1=(y(j)-y0(j))/dt; r2=om*r0*br(j); tr(j)=-pr*(r1+r2); fem(j)=s7*tr(j)*br(j); fm=fm+fem(j);

end

em=fm*r0; n1(nn)=t; n2(nn)=ia; n3(nn)=ib; n4(nn)=ic; n5(nn)=em; y0(1:n)=y(1:n);

pota0=pota; potb0=potb; potc0=potc; ia0=ia; ib0=ib; ic0=ic; disp(t); disp(em); t=t+dt; nn=nn+1;

end plot(n1,n5)

На рис. 8.27 и 8.28 показаны соответственно зависимости фазных токов и электромагнитного момента двигателя от времени на начальном участке переходного процесса при пуске двигателя из неподвижного состояния.

Рис. 8.27. Зависимость фазных токов асинхронного двигателя от времени электромагнитного переходного процесса

272

8.8. ДВУМЕРНАЯ МОДЕЛЬ РАБОЧЕГО РЕЖИМА КОРОТКОЗАМКНУТОГО АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ

Одномерная модель позволяет рассчитывать электромагнитные процессы асинхронных короткозамкнутых машин наиболее простыми методами. При этом, однако, приходится вносить существенные упрощения, с тем чтобы упростить математическое описание электромагнитных процессов. Двумерные модели позволяют отказаться от ряда упрощений, что позволяет получать более точное решение задач по расчёту характеристик и параметров асинхронных машин, в частности, более строго учитывать характер распределения магнитного поля в пазах статора, ротора и в зазоре машины, которое определяет пазовое и дифференциальное рассеяние. Cчитается, что в машине существует единое магнитное поле, величина и характер распределения которого зависят от величины и пространственного распределения источников магнитного поля. Кроме того, решение двумерной задачи позволяет выявить реальный характер распределения магнитного поля в магнитопроводе статора, ротора и зубцахасинхронной машины.

Магнитное поле асинхронной машины определяется в результате решения краевой задачи, описываемой двумерным уравнением в частных производных и нулевыми краевыми условиями в радиальном направленииипериодическимиусловиямипотангенциальнойкоординате.

Система уравнений Максвелла для единственной составляющей векторного потенциала при плоскопараллельном рассмотрении задачи может быть приведена к следующему уравнению:

где µ′ – относительная магнитная проницаемость материала магни-

топровода.

Плотность тока ротора, так же как и для одномерной задачи, записывается в виде

275

однако в отличие от неё электропроводность γ является функцией двух координат.

Подставляя выражение для плотности тока ротора в уравнение

(8.99), получим

Для решения этого уравнения с периодическими краевыми условиями необходимо определить источники магнитного поля. Если задача решается конечно-разностными методами, определим правую часть уравнения для каждого двумерного интервала разбиения:

двумерному интервалу разбиения пространственных координат. Плотность тока статора отлична от нуля лишь на участках расположения проводников обмотки статора.

Для определения плотности тока статора необходимо знать пространственное распределение токов статора, определяемое схемой обмотки и их мгновенные значения, которые зависят от питающего напряжения, противоЭДС и сопротивления обмоток. Соотношения между этими величинами описываются уравнениями Кирхгофа (8.81)–(8.83).

Потокосцепления фаз в уравнениях Кирхгофа определяются суммарными величинами как основных потоков, так и потоков пазового рассеяния.

В тех случаях, когда обмотки статора соединены по схеме «звезда», величины фазных напряжений, входящих в эту систему, не определены. Здесь, как и в одномерной задаче, фазные напряжения необходимо выразить через линейные. Используя уравнения Кирхгофа и соотношения (8.84), получим следующую систему:

276

Потокосцепления фаз определяются суммированием потоков всех витков, принадлежащих рассматриваемой фазе (8.85). Однако, в отличие от одномерной задачи, суммирование потоков необходимо производить по двум координатам: по R и по ϕ в пределах площади тех пазов статора, где расположены проводники этой фазы:

где WR и Wϕ – количество проводников обмотки статора, расположенных по высоте и ширине паза.

В свою очередь магнитный поток витка, как и в одномерной задаче рассчитывается как разность векторных потенциалов точек, соответствующих пространственным координатам сторон витка. Исходя из этого, фазные токи асинхронной машины могут быть определены при решении системы уравнений (8.102)–(8.104).

Величины векторных потенциалов, необходимые для определения потоков фаз определяются при решении уравнения магнитного поля (8.100). Полученная при этом система уравнений оказывается определённой и позволяет рассчитать величины фазных токов, потокосцеплений фаз, векторного потенциала во всех точках исследуемой области при заданной системе линейных напряжений, известной геометрии электрической машины, схеме и параметрах обмотки статора. Определяя плотность токов статора по (8.101), подставляя полученные при этом выражения в уравнение магнитного поля (8.100), аппроксимируя временные и пространственные производные конеч- но-разностными выражениями, получим систему алгебраических уравнений, которая решается известными методами.

Проанализируем характер полученной системы алгебраических уравнений на отдельных участках рассматриваемой области.

В воздушном зазоре машины и за пределами магнитопровода токи отсутствуют, а среда является непроводящей. Уравнение магнитного поля на этих участках записывается в виде

277

Каждая строка матрицы системы на этих участках содержит не более пяти ненулевых коэффициентов.

Для участков магнитопровода, если считать его непроводящим, магнитное поле описывается уравнением с переменными коэффициентами

При аппроксимации дифференциальных операторов конечноразностными выражениями также получаются алгебраические уравнения, содержащие не более пяти ненулевых коэффициентов.

Уравнение магнитного поля участков, соответствующие проводникам ротора, имеют следующий вид:

Аппроксимируя временные и пространственные производные ко- нечно-разностными выражениями, также приходим к системе алгебраических уравнений, каждое из которых при (N1 – 1) (N2 – 1) неизвестных содержит лишь пять коэффициентов, отличных от нуля.

Наиболее сложную структуру имеют уравнения, соответствующие пазам статора с расположенными на них проводниками с током:

Поскольку фазная обмотка состоит из отдельных последовательно соединённых катушек, то величина ЭДС, наводимой в фазной обмотке, будет определяться суммой ЭДС отдельных катушек, расположенных в различных пазах статора. Следовательно, величина ЭДС обмотки и фазного тока определяется суммой значений векторного потенциала на пространственных интервалах нескольких пазов

278

статора. Поэтому число ненулевых коэффициентов при неизвестных в алгебраических уравнениях, получаемых при аппроксимации дифференциальных операторов, будет определяться схемой обмотки и степенью дискретизации пространственных координат.

Аппроксимируя дифференциальные операторы уравнения (8.100) конечно-разностными выражениями, получим систему алгебраических уравнений с (N1 – 1) (N2 – 1) неизвестными. Коэффициенты этой системы определяются величинами магнитной проницаемости и электропроводности отдельных участков. Магнитная проницаемость µi, j равна единице в воздухе и относительной проницаемости ферромагнитного материала в магнитопроводе статора и ротора. Электропроводность γ i, j равна нулю в непроводящих средах и электропроводности материала проводников ротора. Число проводников Wi, j равно нулю всюду за исключением пазов статора, заполненных проводниками с током. Правая часть системы алгебраических уравнений определяется величинами линейногонапряжения ипараметрами обмотки статора.

Полученная система алгебраических уравнений имеет высокий порядок, зависящий от степени дискретизации пространственных координат, является разреженной с малым числом ненулевых коэффициентов и в общем случае не симметричной. Для решения подобных систем рационально использовать методы, исключающие действия с нулевыми коэффициентами и позволяющие сократить при этом время решения краевой задачи.

Решение стационарных двумерных задач при синусоидальных напряжениях сети производится, обычно, с использованием комплексных величин и приведённой методики. Поскольку при этом исключается многократное повторение решения на временных слоях, общее время решения стационарных задач сокращается существенным образом.

После определения в исследуемой области значений векторного потенциала по известным выражениям рассчитываются магнитные индукции в магнитопроводах статора и ротора, в воздушном зазоре, плотность тока в проводниках ротора и величины фазных токов. Имея эти данные, можно рассчитать величину электромагнитного момента, потери в обмотках статора и ротора, коэффициенты мощности и полезного действия и другие необходимые характеристики и параметры асинхронного двигателя.

279

Если считать, что плотность сторонних токов и векторный потенциал магнитного поля образуют бегущую волну, то уравнение магнитного поля существенно упрощается и описывается уравнением эллиптического типа:

где µ′ – относительная магнитная проницаемость среды.

При сложной конфигурации исследуемой области для решения краевой задачи рационально использовать метод конечных элементов, позволяющий описывать границы сложной структуры с высокой точностью (см. часть I, гл. 6). Решение полевой задачи, описываемое указанным уравнением, с нулевыми краевыми условиями первого рода методом конечных элементов сводится к минимизации энергетического функционала

где S – исследуемая область на плоскости x, y.

В настоящее время разработаны эффективные программы для решения таких уравнений методом конечных элементов: пакет при-

кладных программ FEMM (Finite Element Method Magnetics) [43], па-

кет прикладных программ, интегрированный в систему MATLAB (Femlab), пакет расширения последних версий MATLAB Partial Differentia Equations Toolbox, предназначенный для решения уравнений в частных производных [29], и ряд других программ.

Все эти программы имеют сходные редакторы модели, позволяющие описывать геометрию исследуемой области, задавать параметры элементов модели, плотности пространственного распределения источников поля (рис. 8.31). Разбиение исследуемой области на совокупность конечных элементов производится автоматически или заданием густоты сетки. Густота сетки выбирается из условия получения необходимой точности решения: наиболее сильной в зонах с большими неоднородностями магнитного поля и более слабой в зонах с малыми градиентами поля. На внешних и внутренних границах исследуе-

280