Рис. 8.15. Трапецеидальный паз асинхронного двигателя
близком к единице, плотность тока в нижней части проводника становится близкой к нулю, величина тока ротора уменьшается, активное сопротивление проводника ротора увеличивается. Этот процесс эквивалентен введению в ротор дополнительного активного сопротивления. Индуктивность проводника, наоборот, при этом уменьшается, поскольку уменьшается потокосцепление рассеяния вследствие размагничивающего действия вихревых токов в проводнике.
Введение в цепь ротора активного дополнительного сопротивления при уменьшении индуктивного приводит к снижению пускового тока и возрастанию пускового момента.
По мере разгона двигателя частота тока в роторе уменьшается иэффект вытеснения становится менее сильным. Плотность тока по высоте проводника выравнивается, и его активное сопротивление уменьшается. В режиме, близком к номинальному, при малых скольжениях ток распределяется по сечению проводника ротора равномерно, а его активноесопротивлениепринимаетминимальновозможнуювеличину.
Для оценки влияния различных факторов на изменение активного и индуктивного сопротивлений глубокопазного ротора рассмотрим упрощенную математическую модель этого явления, используя одномерное приближение.
Будем считать, что напряжённость магнитного поля в пазу H на рис. 8.15 имеет лишь одну составляющую, совпадающую по направлению с координатой x – HX. Это допущение эквивалентно тому, что для пазов ротора различной формы стороны паза заменяются ломаной кривой, элементы которой совпадают по направлению с координатой z. Плотность тока в проводниках ротора имеет две компоненты. Одна из них, плотность стороннего тока J ст , обусловлена магнитным полем
в зазоре двигателя. Вторая компо-
нента – плотность вихревых токов J , обусловлена магнитным полем пазового рассеяния. Плотности сторонних и вихревых токов в проводнике ротора также имеют по одной составляющей, совпадающей с координатой y декартовой системы координат – JстY и JY. В дальнейшем индексы этих составляющих будут опущены. Магнитную проницаемость материала магнитопровода примем равной бесконечности, что не вносит существенной погрешности в расчёты и считается общепринятым допущением при рассмотрении этого вопроса.
Запишем уравнение закона полного тока для произвольного контура, изображённого на рис. 8.15:
(H X |
+ dH X )(bп + dbп ) − H X bп = ∫(J ст + J ) |
bп + dbп + bп |
dz . (8.72) |
|
|
2 |
|
Выполняя преобразования и пренебрегая членами второго порядка малости, получим
d |
(H X bп) = (J |
ст + J )bп . |
(8.73) |
|
dz |
|
|
Введём в рассмотрение векторный потенциал, определив его традиционным способом:
rot A = B .
Векторный потенциал, как и плотность тока, также имеет единственную составляющую, совпадающую по направлению с координатой y декартовой системы координат. Индекс этой составляющей
также будем опускать. С учётом принятых допущений составляющая напряжённости магнитного поля запишется в виде
H X |
= − |
1 |
|
dAY |
. |
(8.74) |
|
|
|
|
µ0 dz |
|
Плотностьвихревых токов выражается через векторный потенциал
Учитывая, что рассматривается стационарный процесс, подставляя полученные выражения в уравнение магнитного поля (8.72), в окончательном виде будем иметь
1 |
|
|
d |
( |
dA |
) − jωµ γA = −µ |
|
. |
|
(8.76) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bп |
dz |
0 |
0 J ст |
|
|
|
|
bп dz |
|
|
|
|
|
Полученное уравнение необходимо решать совместно с гранич- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ными условиями: |
dA |
= 0 при z = 0, т.е. на дне паза, и |
на гра- |
|
A = 0 |
|
dz
нице паза и воздушного зазора.
Одномерная задача решается конечно-разностным методом с использованием прогонки по координате z .
Для прямоугольного паза при постоянной ширине bп уравнение упрощается и записывается в виде
d |
dA |
|
− jωµ0γA = −µ0 J ст . |
|
|
|
|
|
(8.77) |
|
|
dz dz |
|
|
|
Это уравнение с учётом указанных граничных условий имеет аналитическое решение и будет использовано для оценки точности математической модели. Решение уравнения известно и приведено в ряде источников [2, 4, 10].
Возрастание активного сопротивления проводника и уменьшение индуктивного для прямоугольного паза описывается коэффициентами Ka и Kp, значения которых рассчитываются по выражениям:
|
Ka |
= ξ |
sh2ξ + sin 2ξ |
; |
(8.78) |
|
ch2ξ − cos 2ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
= |
3 |
|
|
sh2ξ − sin 2ξ |
. |
(8.79) |
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
2ξ ch2ξ − cos 2ξ |
|
|
В этих выражениях |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ = |
|
|
|
µ0ωγ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hп , |
|
|
(8.80) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где hп – глубина (высота) паза.
На рис. 8.16 и 8.17 представлены зависимости рассматриваемых коэффициентов от параметра ξ для паза прямоугольной формы при
глубине паза ротора hп = 0,05 м, постоянной ширине bп = 0,01 м, электропроводности алюминия γ= 34 106 (Ом м) –1 и частоте 50 Гц.
Значения коэффициентов Ka и Kр , рассчитанных с использова-
нием выражений (8.78) и (8.79) и полученных в результате моделирования (см. рис. 8.16 и 8.17), практически совпадают.
Полученные данные свидетельствуют о достаточно высокой точности работы математической модели и возможности её использования для расчёта влияния эффекта вытеснения на параметры асинхронного двигателя. Для получения большей точности краевая задача может быть решена методом конечных элементов.
Эффект вытеснения тока, как указывалось выше, приводит к неравномерности распределения тока по высоте паза. Это обстоятельство иллюстрируется графическими зависимостями, представленными на рис. 8.18.
Рис. 8.16. Зависимость коэффициента Kа от ξ для пазов прямоугольной формы (1 – аналитический расчёт; 2 – результат моделирования)
Рис. 8.17. Зависимость коэффициента Kp от ξ для пазов прямоугольной формы (1 – аналитический расчёт; 2 – результат моделирования)
Рис. 8.18. Зависимость плотности тока в проводнике ротора прямоугольной формы при различных величинах скольжения
(1 – s = 1,0; 2 – s = 0,5; 3 – s = 0,25; 4 – s = 0,1; 5 – s = 0)
255
Зависимости получены при решении уравнения (8.77) при указанных выше параметрах и размерах проводника паза ротора. Характер распределения плотности тока подтверждает рассмотренные ранее положения и соответствует данным работы [2].
Формы наиболее часто используемых на практике пазов представлены на рис. 8.19, а характер распределения тока по высоте проводников паза для них, полученный в результате моделирования, –
на рис. 8.20.
Рис. 8.19. Пазы ротора асинхронных короткозамкнутых двигателей
Ниже приведены активные и индуктивные сопротивления для пазов указанной формы:
1. Прямоугольный паз ротора (см. рис. 8.19, а):
Rп = 4,3367·10–5 Ом; Xп = 4,1582·10–5 Ом.
2. Клинообразный паз с расширением в направлении зазора
(см. рис. 8.19, б):
Rп =3,1292·10–5 Ом; Xп = 2,7465·10–5 Ом.
3. Клинообразный паз с расширением в направлении от зазора
(см. рис. 8.19, в)
Rп = 6,9692·10–5 Ом; Xп = 4,8145·10–5 Ом.
4. Фигурный паз (см. рис. 8.19, г)
Rп = 7,5271·10–5 Ом; Xп = 9,3299·10–5 Ом.
Приведённые данные показывают, что форма паза ротора существенно изменяет величины активного и индуктивного сопротивлений проводника ротора. При использовании пазов клинообразной формы с расширением в направлении зазора (см. рис. 8.19, б) величина активного сопротивления возрастает, а индуктивное сопротивление уменьшается в меньшей степени, чем в прямоугольном пазу.
Такое положение соответствует действительности, так как нижняя часть паза имеет малую площадь и эффект вытеснения из неё тока в верхнюю существенно ослаблен. Следует отметить, что близкие к этой форме пазы наиболее часто используются на практике. Увеличение активного сопротивления в них за счёт эффекта вытеснения практически не наблюдается.
Рис. 8.20. Распределение плотности тока по высоте проводника ротора для пазов различной формы (1 – прямоугольный паз; 2 – клинообразный паз; 3 – клинообразный паз; 4 – фигурный паз)
В проводниках клинообразной формы с противоположным направлением расширения (см. рис. 8.19, в) эффективность изменения параметров проводника вследствие вытеснения более существенна, чем в проводниках прямоугольной формы. Величина активного сопротивления проводника увеличена на ≈ 60 %, а индуктивного сопротивления уменьшена на ≈ 16 % по сравнению с пазом прямоугольной формы. Однако выполнение пазов такой формы требует увеличения габаритов асинхронного двигателя, так как увеличение ширины нижней части паза вызывает соответствующее уменьшение ширины зубца в этом сечении. А это вызывает увеличение величины магнитной индукции в зубце и его значительное насыщение.
Для асинхронных двигателей серии 4А нормального исполнения при высотах оси, превышающих 0,315 м, применяются фигурные пазы сзауженной верхней частью (см. рис. 8.19, г). Для пазов этой формы активное сопротивление возрастает ещё в большей степени, чем в предыдущем случае.
На рис. 8.21 и 8.22 изображены зависимости коэффициентов изменения активного и индуктивного сопротивлений от параметра ξ для пазов различной формы. На рис. 8.21 видно, что наибольший коэффициент активного сопротивления соответствует пазу клинообразной формы с расширением в нижней части паза (кривая 3).
Для фигурного паза этот коэффициент имеет уменьшенное значение, несмотря на максимальную величину активного сопротивления. Такое положение объясняется уменьшением площади паза при одной и той же его высоте. Минимальная величина коэффициента Ka соответствует пазу клинообразной формыс расширением его верхней части.
Величина изменения индуктивного сопротивления минимальна для паза прямоугольной формы (рис. 8.22, кривая 1) и максимальна для фигурного паза (кривая 4). Для клинообразных пазов степени уменьшения индуктивных сопротивлений примерно одинаковы, о чём свидетельствуют близкие значения коэффициентов Kp.
Для иллюстрации влияния эффекта вытеснения на характер пускового процесса асинхронного двигателя приведём пример расчёта характе-
ристиккороткозамкнутогоасинхронногодвигателя4A315S2У3 [42] .
Рис. 8.21. Зависимость коэффициента Ka от ξ для пазов различной формы (1 – прямоугольный паз;
2, 3 – клинообразный паз; 4 – фигурный паз)
Рис. 8.22. Зависимость коэффициента Kp от ξ для пазов различной формы (1 – прямоугольный паз; 2, 3 – клинообразный паз; 4 – фигурный паз)
259
При расчёте характеристик использованы параметры обмоток, геометрические размеры двигателя, геометрия пазов статора и ротора из справочника [42]. Для упрощения расчётов принято, что вследствие насыщения мостика закрытого паза ротора длина мостика равна ширине фигурной части паза. Эффект вытеснения учитывается увеличением активного сопротивления пазовой части обмотки ротора Rст в Ka раз при неизменной величине эквивалентного сопротивления клетка Rэк:
R2 = K a Rст + Rэк.
Величина коэффициента Ka определяется для каждого скольжения при решении полевой задачи, описанной выше.
Эффект вытеснения приводит к изменению индуктивного сопротивления ротора, причём уменьшение сопротивления также характерно лишь для пазовой части обмотки X ст . Индуктивное сопротивле-
ние клетки X эк остается неизменным:
X 2 = K p X ст + X эк .
Составляющие индуктивного сопротивления рассеяния ротора рассчитывались исходя из геометрии пазов по методике [5].
При расчёте рабочих характеристик асинхронного двигателя использовалась рассмотренная ранее программа (см. пример 8.1), которая дополнена фрагментом решения полевой задачи (8.78) с вычислением коэффициентов Ka и Kp. На рис. 8.23 представлены зависимости электромагнитногомоментаотскольжениядлякороткозамкнутогоасинхронного двигателя4А315S2У3, полученныеврезультатемоделирования.
Анализ результатов решения свидетельствует о том, что в зоне скольжений, меньших критического, эффект вытеснения тока практически не ощущается. При больших скольжениях влияние эффекта сказывается весьма существенно и неучёт вытеснения приводит к большим погрешностям расчёта. Величина пускового момента оказывается уменьшенной в примерно в 3 раза и не соответствует реальным значениям. Полученные при моделировании результаты весьма близки к данным справочника [42].
