Принципы и практика решения задач по общей физике Часть 2. Электромагн

С учетом того, что плотность тока j = I /п^а2- Ь 2>) , по­

лучаем окончательно для силы выталкивания стержня из электролита

(рис. 3.32), передняя и задняя стенки которой металлические, а остальные диэлектрические, налит электролит с удельной проводимостью Я . К металлическим стенкам приложено на­ пряжение U , и вся кювета помещена в вертикальное одно­ родное магнитное поле с индукцией В. Длина кюветы L, ширина Ь, плотность электролита р. Определить разность уровней электролита АЛ около непроводящих (правой и ле­ вой) стенок кюветы.

стью j (например, за чертеж). На этот проводник действует сила Ампера

5FA = j b S b - B .

Кроме этой силы есть также сила тяжести бm g (8т - масса тонкого проводящего слоя) и сила давления со стороны внутренних слоев 8N Из того, что сумма этих сил должна быть равна нулю, сразу следует

t g a = - ^ - . b m g

Силу тяжести bm • g нетрудно выразить через плотность

и объем bmg - p bS b - g , а для расчета силы Ампера bFA

необходимо знать плотность тока j . Воспользовавшись за­

коном Ома в дифференциальной форме и связью напряжен­ ности электрического поля Е с напряжением U нетрудно получить

j=XE=X— .

ленный в направлении тока элементарный участок жидкого металла площадью dS и длиной b действует сила Ампера dFA = jdS- b- B. Так как каждый участок находится в одно­ родном магнитном поле и плотность тока постоянна по сече­ нию (j = I / a b ), то, очевидно, полная сила, просуммирован­ ная по всем участкам,

FA = \dFA = jaLbB = IbB. Тогда давление можно найти как

3.2.11. Давление внутри жидкого проводника. Вдоль оси цилиндрического жидкого проводника радиусом R рав­ номерно по сечению течет ток / Найти давление Р(г), обу­

словленное взаимодействием тока с созданным им магнит­ ным полем.

В данной ситуации давление возникает из-за взаимодей­ ствия любого выделенного элемента тока с собственным

эта сила и вызывает давление на внутреннюю поверхность тонкого цилиндрического слоя. Для расчета этой силы нам необходимо знать величину индукции магнитного поля В

33. Магнитное поле в веществе. Сверхпроводники

При внесении магнетика в_магнитное поле изменяется как само поле, так и магнетик. Нечто подобное происходит и с диэлектриками. Однако наблюдается и существенное от­ личие: если в диэлектриках электрическое поле всегда ослаб­ ляется, то в магнетиках магнитное поле может как ослабить­ ся, так и усилиться.

Одним из фундаментальных утверждений для магнитно­

го поля является теорема о циркуляции вектора В :

Однако использование данной теоремы для расчета поля в магнетиках является неэффективным, так как циркуляция

вектора В определяется не только токами проводимости (/),

но и токами намагничивания (/'). Причем величина токов

намагничивания, причиной которых являются молекулярные

токи, явно зависит от неизвестного поля В . Это затруднение можно обойти, если ввести вспомогательный вектор напря­ женности магнитного поля

Но

где J - вектор намагниченности (намагниченность маг­ нетика)

Здесь суммирование производится по всем магнитным мо­ ментам молекул физически бесконечно малого объема ДУ

Поле вектора J обладает тем свойством, что его циркуляция

по произвольному контуру равна алгебраической сумме то­ ков намагничивания, охватываемых данным контуром:

деляется только токами намагничивания. Однако в некото­ рых случаях определенной симметрии это поле выглядит так, как будто оно определяется только токами намагничивания. Из соотношений (1МЗ) сразу следует теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля:

= / ,

полезная тем, что в нее входят только токи проводимости. Правило знаков для токов проводимости то же, что и в слу­ чае циркуляции вектора В .

Как показывает опыт, для однородного и изотропного магнетика и не слишком больших полей зависимость между

приимчивостью. В отличие от диэлектрической восприимчи­ вости ж, которая всегда положительна, магнитная воспри­ имчивость % может быть как положительной, так и отрица­

тельной. Для большинства магнетиков |х| незначительно

больше нуля, т.е. магнитные свойства выражены слабо. Но для ферромагнетиков X значительно больше единицы. Кро­ ме того, для них зависимость У(Я) имеет весьма сложный характер и наблюдается гистерезис (зависимость от предыс­ тории магнетика). Для магнетиков, которые подчиняются за­ висимости (4), выражение (2) приобретает вид

где ji = 1 + х - магнитная проницаемость среды. Следует пом­

нить, что соотношение (5) можно применять «без оглядки» только в том случае, если однородный магнетик заполняет все пространство, занятое полем.

Поле вектора Н зависит, вообще говоря, как от токов проводимости, так и токов намагничивания (как и поле век­

тора В ). Поэтому в общем случае решение задачи о резуль­

тирующем поле В невозможно, и универсальной формулы для его нахождения нет. Однако в некоторых случаях поле

вектора Н определяется только токами проводимости, на­ пример, когда однородный магнетик заполняет все простран­ ство либо объем, ограниченный поверхностями, образован­ ными линиями вектора индукции магнитного поля токов

проводимости. Именно для таких случаев вектор Й оказы­

вается весьма полезным. Тогда расчет поля В в магнетиках сводится к следующему. Вначале определяют поле вектора напряженности магнитного поля, а затем, используя связь

векторов В и Н , находят индукцию магнитного поля В (именно это поле имеет непосредственный физический смысл).

Наличие границ раздела магнетиков можно учесть за счет так называемых граничных условий. Эти условия выте­

кают из теоремы Гаусса для вектора В : <$BdS = 0 и теоремы

о циркуляции вектора Й ($ Йс11 = /

Очень интересно поведение сверхпроводников в маг­ нитном поле. При охлаждении сверхпроводника ниже кри­ тической температуры магнитное поле полностью вытесня­ ется из него (эффект Мейсснера-Оксенфельда). Так как в сверхпроводнике нет магнитного поля, то в его объеме

не могут течь и электрические токи, т.е. внутри сверхпровод­ ника всегда выполняются условия

Я = 0, 7 = 0 -

Все токи могут течь только по поверхности сверхпро­ водника. Эти поверхностные токи возбуждают магнитное поле, компенсирующее внутри проводника внешнее прило­ женное магнитное поле (оно вытесняется наружу).

33.1. Связь намагниченности J и поля В , Н маг­ нетика. Намагничивание вещества обусловлено преимуще­ ственной ориентацией или индуцированием магнитных мо­ ментов отдельных молекул в направлении, противоположном магнитному полю (диамагнетики) или совпадающем с ним (парамагнетики). Это в свою очередь приводит к упорядочи­ ванию молекулярных токов и, как следствие, ведет к появле­ нию макроскопических токов / ', определяющих собственное поле магнетика а Величина этого поля зависит не только от токов намагничивания /' и формы магнетика, но и от то­ го, как (в каком направлении) намагничен магнетик. Устано­ вим эту связь для тел наиболее простой формы - цилиндр, пластина и шар.

Рассмотрим вначале бесконеч­ ный цилиндр из однородного ферро­ магнетика, намагниченность которого

Jнаправлена вдоль оси цилиндра

иодинакова по сечению. Обратимся

крис. 3.35. Молекулярные токи в на­ магниченном магнетике ориентиро­ ваны перпендикулярно вектору на­

магничения J У соседних молекул молекулярные токи в местах их со­ прикосновения текут в противопо­

ложных направлениях и взаимно компенсируют друг друга за исключением токов, выходящих на боковую поверхность ци­ линдра. Эти токи образуют макроскопический поверхност­ ный ток намагничивания, циркулирующий по боковой по­ верхности цилиндра. Обозначим его линейную плотность как i . Этот ток возбуждает такое же макроскопическое магнит­ ное поле, что и все молекулярные токи вместе взятые. Значе­ ние i' нетрудно связать с намагниченностью J Для этого применим теорему о циркуляции вектора J к контуру, ука­ занному на рис. 3.35 (отмечен штриховой линией):

(|Jdl —/ —> У/ —i I —> I —У

(заметим, что векторы ? и У взаимно перпендикулярны). Таким образом, мы приходим к известной нам задаче

расчета индукции магнитного поля бесконечного соленоида с заданной линейной плотностью тока i' = J . В этом случае

Рассмотрим теперь бесконечную плоскую пластину из однородно намагниченного ферромагнетика, причем вектор