Принципы и практика решения задач по общей физике Часть 2. Электромагн

угольника расстояние между крайними шариками не будет дальше уменьшаться, а начнет возрастать. Таким образом, относительная скорость шариков в этот момент обращается в нуль, т.е. все шарики имеют одну и ту же скорость, равную скорости центра инерции системы vc . Из закона сохранения импульса следует

Обратимся теперь к закону сохранения энергии:

Здесь Wj - энергия взаимодействия шариков, когда они были на одной прямой; W2 - энергия взаимодействия шариков, об­ разующих равносторонний треугольник. На практике, если число образующих систему зарядов не очень велико, полную

энергию системы W = —Х<?,ф, представляют как сумму

энергий взаимодействия каждой пары зарядов, на которые можно разбить систему. Необходимо только проследить, чтобы каждая пара зарядов встречалась только один раз. На­ пример, для нашего случая

Решая систему уравнений (1)—(3), находим минималь­ ную скорость

V - C E I '

у 8пе0т1

1.6.2. Электрон внутри проводящей сферы. В центр заземленной проводящей сферы радиусом R поместили электрон и толчком сообщили ему небольшую скорость. Ка­

кой скоростью он будет обладать на расстоянии х = r\R, где

0<т|<1?

Так как внутри незаряженной проводящей сферы нет никакого электрического поля, то сразу появляется вопрос: а почему электрон должен изменить скорость? Вначале, ко­ гда электрон был в центре сферы, поля на самом деле не бы­ ло. И хотя электрон индуцирует заряды на поверхности сфе­ ры, они располагаются равномерно и не создают поля. Изме­ нение положения электрона приводит к перераспределению индуцированных зарядов (их плотность возрастает в направ­ лении движения электрона), что является причиной появле­ ния электрического поля внутри сферы и соответственно увеличения скорости электрона.

Обратимся к решению задачи 1.3.10 (взаимодействие точечного заряда и металлического шара). В ней было пока­ зано, что точечный заряд q , находящийся вне проводящей сферы, индуцирует на ее поверхности заряд, эквивалентный точечному заряду-изображению q ', располагающемуся внут­ ри сферы. Кроме того, заряды q и q' обладают свойством взаимности: если q является электрическим изображением заряда q , то справедливо и обратное - заряд q является изо­ бражением заряда q' Таким образом, наша задача сводится

к нахождению величины и положения электрического изо­ бражения электрона, находящегося внутри сферы. И если за-

тем определить их силу взаимодействия, то мы всегда можем рассчитать скорость электрона. Весь этот анализ был нами проделан в задаче 1.3.10, поэтому приведем только готовое выражение для силы взаимодействия:

Здесь q - заряд, находящийся за пределами сферы, на расстоянии I от ее центра (рис. 1.60). Величина зарядаизображения q , находящегося внутри сферы, связана с заря­ дом q соотношением

дем полагать, что нам задана величина q = -е (заряд электрона). Тогда из (2) на­ ходим

el

Положение электрона будем задавать через его рас­ стояние от центра сферы х . Из рис. 1.60 нетрудно найти связь х и I :

1 = R2

4тео R(R2- x 2)2 '

Это и будет выражением для силы, действующей на электрон, находящийся внутри сферы, на расстоянии х от ее центра.

И теперь для определения закона изменения скорости электрона воспользуемся тем, что работа силы F идет на изменение его кинетической энергии. Для этого вначале рас­ считаем работу силы F :

(3)

Используя последовательную замену переменных и - х2

и £ = R2- и , перепишем выражение (3)

Этот интеграл выражается через элементарные функ­

ции:

Осталось только приравнять это выражение кинетиче­

ской энергии электрона mv212. Таким образом, в итоге для скорости электрона, находящегося на расстоянии х от цен­ тра сферы, получаем

где ц = х / R . Это выражение нельзя использовать при x —>R

(т.е. при т) —) 1), так как скорость обращается в бесконеч­

ность (изображение электрона приближается к нему самому, и сила взаимодействия стремится к бесконечности). В этом заключается один из недостатков модели точечного заряда.

1.6.3. Энергия индуцированных зарядов. Точечный заряд q находится на расстоянии I от бесконечной прово­ дящей плоскости. Найти собственную энергию индуциро­ ванных зарядов на плоскости.

Так как индуцированные заряды распределены по плос­ кости с некоторой поверхностной плотностью а ', то их соб­ ственную энергию запишем в виде

( 1)

Распределение индуцированных зарядов по проводящей плоскости при нахождении около нее точечного заряда q мы рассматривали в задаче 1.3.7, и для него было получено вы­ ражение

а '(0 ) = — ~ r-c o s 3 0 ,

О/тт/^

2л/

где 0 - угол между перпендикуляром к плоскости и направле­ нием от заряда q на данную точку плоскости (см. рис. 1.33). Предполагая в дальнейшем интегрирование по плоскости, удобно выразить а' через расстояние х от основания перпендикуляра до данной точки плоскости. Так как

cosQ =l/yjx2+ /2 , то

Формула (1) требует также знания распределения по­ тенциала по проводящей плоскости. В общем случае это дос­ таточно трудная задача, но в нашей ситуации положение уп­

рощается. В соответствии с идеологией метода изображений все индуцированные заряды плоскости эквивалентны точеч­ ному заряду q' =- q , расположенному на расстоянии I по другую сторону плоскости от заряда q Это значит, что по­ тенциал любой точки плоскости, на которой находятся инду­ цированные заряды, просто равен потенциалу, создаваемому зарядом q в данной точке:

С учетом симметрии задачи элемент dS удобно взять в виде тонкого кольца радиусом х и толщиной dx :dS =2nxdx. Тогда для энергии взаимодействия запишем

W = —f------- —------------------ ---------- 2nxdx.

2 о 2%{l2+ х2)3/2 4яе0 {l2+ х2 )Ш

Взять этот интеграл не составляет труда, и окончательно получаем

W=-

16яе0/

1.6.4. Складывание треугольника. Равномерно заря­ женный лист, имеющий форму прямоугольного равнобед­ ренного треугольника, сложили по диагонали вдвое (рис. 1.61). При этом была совершена работа А против сил электрического поля. Какую работу А' нужно совершить, чтобы еще раз также сложить по­

лученный треугольник?

При сгибании треугольника внешние силы производят работу против кулоновских сил отРис 1.61 талкивания. Прямой расчет этой работы явля­

ется сложной в техническом плане задачей. Поэтому разумно определить работу через изменение энергии взаимодействия зарядов системы. Главным свойством энергии взаимодейст­ вия является ее независимость от пути перехода в данное со­ стояние. Поэтому будем считать, что мы не согнули тре­ угольник пополам, а всесторонне сжали его, уменьшив пло­ щадь в 2 раза. Как при этом изменится собственная энергия зарядов полученной фигуры? Для ответа на этот вопрос разо­ бьем заряженную поверхность на бесконечно малые элемен­ ты с зарядом 5q. и запишем выражение для энергии их взаи­ модействия

£ i

Представим теперь это выражение так, чтобы в него яв­ но вошли геометрические параметры системы. Входящее сю­ да значение ф, представляет собой потенциал в месте нахо­ ждения заряда 5<7,, созданный всеми остальными зарядами системы. В соответствии с принципом суперпозиции его можно представить в виде

Ч

Ф/=Е

j* 4яе0 ij - гА

где |г - гу| - расстояние между зарядами 5<у, и 4 . Теперь энергия взаимодействия может быть записана как

щ>\г{-г л

Каждое слагаемое этой двойной суммы обратно рас­ стоянию между любыми двумя бесконечно малыми элемен­ тами, на которые мы разбили систему. При сжатии треуголь­

dV = 2nh[a + h)dh. Тогда для энергии поля запишем

Такой интеграл нетрудно взять с использованием заме­ ны переменных, и в итоге получаем

W = Я2 32т1£0а

1.6.6. Заряд внутри проводящего слоя. Точечный за­ ряд q находится в центре сферического незаряженного про­ водящего слоя, внутренний и внешний радиусы которого равны соответственно а и Ъ (рис. 1.64). Какую работу со­ вершат кулоновские силы при пе­ ремещении заряда через малое от­ верстие на очень большое расстоя­ ние от сферического слоя?

Эта задача похожа на рас­ смотренную ранее задачу 1.6.2.

ний, однако более целесообразно исходить из того, что рабо­ та кулоновских сил при перемещении заряда должна быть равна убыли энергии системы. Под энергией следует пони­ мать энергию электрического поля. Вначале, когда заряд q

находился в центре сферического слоя, поле существовало во всех точках пространства кроме сферического проводящего слоя с радиусами а и Ъ. После удаления заряда в бесконеч­ ность электрическое поле появится во всех точках, так как проводящий слой находится бесконечно далеко от заряда

ивлиянием этого слоя можно пренебречь. Таким образом, электрическое поле изменится только в сферическом слое

итогда работа кулоновских сил при перемещении заряда q

будет равна энергии поля в пределах сферического слоя со знаком минус

A =- \ — E2dV

1 2

Подставляя сюда E =q/4Ttz0r2 и dV =4nr2d r, получим

после интегрирования по г от а до Ъ:

A =s L s z l <о.

8та0 a b

Можно использовать и несколько иную трактовку рабо­ ты А . После удаления точечного заряда q в бесконечность

исчезнут индуцированные заряды на внутренней и внешней поверхностях проводящего сферического слоя. А так как их поле было направлено против поля точечного заряда q , то

вцелом энергия электрического поля во всем пространстве возрастет, и изменение энергии поля будет равно энергии по­ ля индуцированных зарядов.

1.6.7.Стержень внутри расширяющегося канала. Вдоль оси длинного цилиндрического канала, вырезанного

впроводнике, пролетает тонкий стержень, линейная плот­