Принципы и практика решения задач по общей физике Часть 2. Электромагн
.pdfность |
заряда |
которого |
X |
(рис. 1.65). Длина стержня |
/ |
||
много |
больше |
радиусов /?, |
и |
/?2. Вдали от области сужения канала справа скорость стерж ня равна v0. Найти скорость стержня вдали от области су жения канала слева. Масса стержня т.
Попытаемся вначале понять причину изменения скоро сти стержня. Заряженный стержень своим полем формирует индуцированные заряды на внутренней поверхности цилинд рической полости. И если стержень достаточно длинный, то индуцированные заряды не создают поля внутри полости. Но так обстоит дело вдали от области сужения полости. В этой области поле индуцированных зарядов имеет составляющую вдоль оси полости. Иначе говоря, индуцированные заряды, располагающиеся на склоне области сужения полости, нач нут притягивать движущийся стержень, что и приводит к за медлению его движения. Конечно, если бы нас интересовал характер движения стержня, то нам пришлось бы провести детальный анализ динамики движения, опираясь на второй закон Ньютона. Но нам требуется только сравнить скорость стержня вдали от области сужения справа и слева от нее. В этом случае самым рациональным будет энергетический подход.
Вместе с движущимся стержнем перемещается и об ласть пространства, заполненного электрическим полем. Причем объем этого пространства слева и справа от области сужения различен. Следовательно, различна и энергия элек трического поля. Ее изменение &W как раз и равно убыли кинетической энергии движущегося стержня
mv2 |
|
=AW |
(1 ) |
2 ~2~ |
|
где W =
J 2
Так как стержень длинный, то напряженность электри ческого поля, созданного им, нетрудно найти из теоремы Гаусса
2яе0г
Для цилиндрической области dV = 2%rldr Тогда энер гия электрического поля, созданного стержнем толщиной 28 (он все-таки обладает какой-то толщиной) в цилиндрической полости радиусом R ,
|
lX22nrdr |
IX2 |
, |
R |
|
||
|
4п2е02г2 |
------ In— |
|
||||
|
4яе0 |
б |
|
||||
При изменении радиуса полости от |
R2 до |
энергия |
|||||
поля изменяется на величину |
|
|
|
|
|
||
|
AW =W2 |
- ц = |
IX2 |
|
|
|
|
|
4яе0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
И тогда из (1) находим |
|
|
|
|
|
||
|
[, |
гх2 |
Г~кГ |
|
|
||
|
V= V o jl-------------- 5-ln— |
|
|
||||
|
V |
2яe0m v 2 |
R2 |
|
|
||
1.6.8. |
Переключения в системе конденсаторов. Сколь |
||||||
ко теплоты выделится при переключении ключа К из поло жения 1 в положение 2 в цепи, показанной на рис. 1.66?
При переключении ключа К емкость всей цепи не из меняется (в обоих случаях к конденсатору емкости С под соединяется последовательно параллельное соединение
конденсаторов емкости С и С0). |
‘Х |
Т Г а |
* |
Напряжение на системе конденса- |
С |
0 ) - _ |
---- С |
торов также неизменно и равно % |
|
К " |
|
Следовательно, полная энергия сис- |
|
|
|
темы не изменяется, и выделение |
|
|
|
теплоты может быть связано только |
|
|
|
с перемещением зарядов по цепи. |
|
|
|
Для подсчета этой теплоты необхо |
|
Рис. 1.66 |
|
димо определить заряд, прошедший |
|
|
|
|
|
|
через источник тока. Проще всего это сделать, проследив за изменением заряда каждого конденсатора системы (полный заряд всей системы не изменяется). До переключения, как нетрудно убедиться, заряды конденсаторов имели значения
с 2 |
ССп |
с { с + с 0) |
2С + С„ % ““{ |
2С + Сп |
Яг=% 2С +Сп |
После переключения |
|
|
,_ „ с (с + с „ ) |
ссп |
|
Ч \ - ® * 2С + Сп |
2С + Сп |
2С + Сп |
Отсюда видно, что изменился заряд только крайних кон денсаторов
С С^0п__
Д?,=«Г- =-Aq2.
2С + С0
Таким образом, через источник тока прошел заряд
Aq =&СС0/(2С + С0) и, следовательно, была совершена ра бота <СА(} . Тогда выделившееся тепло
СС0
Q=i
2С + Сп
Заметим, что если бы изменился полный заряд системы с одновременным изменением емкости, то нужно было бы
учесть и изменение электрической энергии системы
W—q212С .
1.6.9.Энергетические превращения в конденсаторе.
Внутри плоского конденсатора с площадью пластин S и рас
стоянием между ними d находится пластинка из стекла с диэлектрической проницаемостью е , целиком заполняю щая пространство между пластинами конденсатора. Как из менится энергия конденсатора, если удалить стеклянную пластинку? Удаление производится при условиях: 1) конден сатор вначале заряжается от батареи с ЭДС, равной U , затем отключается, и только после этого пластинка удаляется; 2) конденсатор все время остается присоединенным к бата рее. Какую работу совершают внешние силы по удалению пластинки в том и другом случае?
Рассмотрим вначале первый вариант, когда перед тем как вынуть пластинку, конденсатор отсоединяется от источ ника. В этом случае в дальнейшем заряды на пластинах кон денсатора не могут изменяться. Поэтому для энергии конден сатора W следует взять выражение
.2
2С |
( 1) |
|
После удаления диэлектрической пластинки емкость конденсатора уменьшается в е раз ( С = ее05 Id ), г. его энер
гия в соответствии с (1) вырастет в е |
раз: W' =гУ/ Тогда |
|
изменение энергии |
|
|
,2 |
_2 |
|
AW(,,= 3 ------2 _ = (е-1)-2— . |
||
2С0 |
2С0 |
2С0 |
Выражая заряд q через напряжение U , получаем
д „ т . < ^ 2 а г 1 > о.
где С0 = е05 Id - емкость конденсатора без диэлектрической пластинки.
Так как источник напряжения отключен, то единствен ной причиной увеличения энергии может быть только рабо та, совершаемая внешними силами при вытягивании диэлек трической пластинки. Откуда же берется сила, стремящаяся втянуть пластинку в конденсатор? Диэлектрическая пластин ка в целом электронейтральна. В электрическом поле каждый элемент объема пластинки становится подобным диполю, ориентированному вдоль поля (т.е. перпендикулярно пласти нам конденсатора). В тех местах, где поле однородно, дейст вующие на диполи силы равны нулю. Но в тех местах, где электрическое поле неоднородно (это край конденсатора), сила уже не равна нулю и направлена в сторону усиления по ля (т.е. внутрь конденсатора). Работа этой силы должна быть равна изменению энергии электрического поля конденсатора:
J L W 1 .
2
Перейдем теперь ко второму варианту. Сейчас целесо образно воспользоваться другим выражением для энергии конденсатора:
2
(в этом случае остается неизменным напряжение на обклад ках конденсатора). Так как при вытягивании диэлектриче ской пластинки емкость конденсатора уменьшается в е раз, то во столько же раз уменьшается и энергия конденсатора. И теперь ее изменение
л и ,»> с «Уг |
с *Уг - |
(е-1 )С0и 2 <0 |
2е |
2 |
2е |
С чем связано уменьшение энергии конденсатора? Ведь при вытягивании диэлектрической пластинки внешние силы
совершают положительную работу, и энергия системы при этом должна вырасти. Она и действительно возрастает, но только система в этом случае кроме конденсатора содержит еще и источник напряжения. При вытягивании диэлектриче ской пластинки уменьшается заряд конденсатора. Это умень шение заряда сопровождается его прохождением через ис точник в обратном направлении, т.е. источник совершает от рицательную работу. Если источник представляет собой аккумулятор, то он при этом заряжается и его энергия повы шается.
Нетрудно показать, что работа источника тока равна уд военному изменению энергии конденсатора при любых про исходящих процессах. Если заряд конденсатора изменился на Aq, то изменение энергии конденсатора
2
При прохождения заряда Aq через источник питания последний совершает работу Д,ст = AqU . Поэтому
A,CT=2AW
Теперь согласно закону сохранения энергии можно за писать для полной работы внешних сил А и работы источ ника тока Д1СТ:
A + A,CT=AW
Отсюда находим
A =A W -A K„ = -A W
или
Л(2 > (е-1)С0 { / 2
2е Эта работа в е раз меньше, чем работа в первом случае.
Связано это с тем, что по мере выдвижения диэлектрической
пластинки при отключенном источнике напряженность элек трического поля внутри конденсатора возрастает при сохра нении его заряда, в то время как во втором случае при неиз менном напряжении уменьшается заряд конденсатора.
1.6.10. Капиллярный вольтметр. Капиллярный вольт метр состоит из капиллярной стеклянной трубочки с метал лизированной полупрозрачной внутренней поверхностью, служащей одной из обкладок цилиндрического конденсатора (рис. 1.67). Второй обкладкой является тонкая металлическая проволока, коаксиальная с внутренней цилиндрической по-
верхностью |
трубочки. |
Опреде |
X |
||
лить поднятие мениска воды h |
|
||||
в вольтметре при наложении на |
^ d \ |
||||
обкладки |
напряжения |
U , |
если |
—— |
|
внутренний |
диаметр |
капилляра |
d j - * |
||
h |
|||||
d x, диаметр проволоки d 2 , плот- |
~~8 — |
||||
ность воды р . |
|
|
|
||
Эта |
задача является |
пре |
|
||
красной иллюстрацией энергети- |
Рис. 1.67 |
||||
ческого подхода к расчету сил, действующих на диэлектрик или проводник в электрическом
поле. Наиболее просто дело обстоит в случае, когда заряжен ные проводники отключены от источников напряжения. В этом случае заряды на проводниках остаются постоянны ми, и можно утверждать, что работа всех внутренних сил системы при малых медленных перемещениях проводников и диэлектриков совершается целиком за счет убыли электри ческой энергии системы:
( 1)
Здесь символ q подчеркивает, что убыль энергии системы вычисляется при постоянных зарядах на проводниках. Пусть на интересующее нас тело действует сила Fx. Тогда работа
этой силы при малом перемещении тела 6А = Fxd x. Сравни вая это с (1), получаем
№ |
(2) |
F' = - |
Так как сила зависит только от положения тел и распре деления зарядов в данный момент, то она не может зависеть
от того, как будет развиваться процесс, если система при
дх <7 дет в движение под действием данных сил. А это означает,
что для вычисления силы нет необходимости реального выполнения условия постоянства заряда. Нужно только ис кать приращение энергии dW при формальном условии q = const, а это чисто математический прием.
В нашем случае электрическую энергию системы удоб но рассчитывать по формуле
(3)
И хотя при подъеме жидкого диэлектрика оказывается постоянным напряжение, а заряд конденсатора меняется, расчет силы подъема будем проводить в предположении q = const, т.е. по формуле (2). Дифференцируя (3), получаем
д\У |
|
q2 дС/дх _ U2 дС |
|
Р ,= - |
|
2 С2 |
(4 ) |
дх |
о |
2 дх |
|
|
|
||
Отсюда видно, что для определения силы подъема ди электрика необходимо знать, как изменяется емкость систе мы при различной высоте подъема диэлектрика. В данном случае мы имеем дело с цилиндрическим конденсатором, ем кость которого мы находили ранее:
с2паее0
InJ,/d 2
где а - длина конденсатора. Пусть диэлектрик вдвинут
в конденсатор на высоту х. |
Тогда емкость составного кон |
денсатора |
|
С = - 2ле0 |
(ех + а - х ) . |
После подстановки этого выражения в (4) получаем зна чение силы, втягивающей диэлектрик в конденсатор:
Ц2 2яе0(е-1)
F' =
2 Ind./d-,
Процесс втягивания закончится, как только сила Fx ста
нет равной силе тяжести поднятого слоя диэлектрика mg :
|
n(di2-di2)phg |
|
mg = --------- ---------- • |
|
4 |
Таким образом, для высоты подъема диэлектрика |
|
получаем |
|
h |
4t/2e0(e -l) |
|
{d 2- d ^ g \ n { d j d 2) |
Заметим, что мы нашли установившуюся высоту подъ ема. На самом деле, если пренебречь силами трения, макси мальная высота подъема будет в 2 раза больше из-за возни кающих колебаний. Подробно это обсуждалось в части 1 настоящего пособия (см. о подъеме жидкости в капилляре). В нашей задаче мы пренебрегли капиллярными явлениями, но их функции взяли на себя электрические силы.
2. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК 2.1. Закон Ома
В изотропных проводниках плотность тока j связана
с напряженностью электрического поля Ё в данной точке соотношением
] = - Ё =оЁ, |
( 1) |
Р |
|
где р - удельное электрическое сопротивление, |
а = 1/р - |
удельная электропроводимость среды. Для постоянных токов выполняется уравнение непрерывности
V/ = 0 или jdS = 0.
Соотношение (I) выражает собой закон Ома в локальной форме. Его интегральная форма имеет вид
Здесь I - сила тока, протекающего по однородному провод нику; U - напряжение (разность потенциалов); R - сопро тивление проводника. Хотя уравнение (2) и носит название закона, однако оно не отражает какого-либо фундаменталь ного закона природы (как, например, закон Кулона) и выполняется, вообще говоря, не для всех проводников. Из выражений (1) и (2) следует, что в простейшем случае одно родного цилиндрического проводника длиной I и площадью поперечного сечения S его сопротивление
(3)
Существует несколько способов расчета сопротивления, и все они, так или иначе, основаны на использовании соот