Найдем решение задачи Коши на некотором конечном интерва­ ле времени Г. Разобьем его на достаточно малые интервалы т. Рас­ смотрим решение с постоянным шагом интегрирования т. На к-и шаге интегрирования в момент времени tk = kz функции y,(t) считаются известными. Для определения функций в момент време­ ни (i+l = (к + 1)т запишем производные у-, в конечно-разностном виде, ограничиваясь членами первого порядка в разложении функ­ ций у, (f*+i):

Подставляя сюда вместо у,- правые частив системы (2.19), взя­ тые при t — tk (явная схема), получим схему Эйлера пошагового ин­ тегрирования:

Полагаем к = 0,1,2,.... При к = 0 получаем t0= 0, и тогда функ­ ции у,(0) берутся из начальных условий (2.20). Найденные из (2.22) значения у,<^) используются в качестве начальных условий На шаге к = 1 и т. д. Таким образом, получается последовательность решений У/(0), у,(х), (2т) ..., которая с точностью до малых 1-го Порядка аппроксимирует решение задачи Коши (2.19), (2.20).

Схема Эйлера удобна для реализации на компьютере и может применяться для решения как учебных, так и практических задач. Однако в больших задачах для сокращения времени счета желатель­ но использовать методы интегрирования с более высоким порядком точности и переменным шагом интегрирования. На практике 1цироко используется метод Рунге — Кутта — Мерсона 4-го порядка точно­ сти с определением погрешности счета у, на каждом шаге.

2.3.1. Пример. Динамика мяча для игры в пастольш,,й теннис

Определить, под каким углом а к горизонту должен в^шететь теннисный шарик для достижения максимальной дальности полета по горизонтали. Масса шарика m = 2,3 г, диаметр d = 3,8 см> на_ чальная скорость о 0 = 30 м/с, коэффициент аэродинамичес^ого со_ противления шара с = 0,45. Вращение шарика не учитывать

Решение. Вовремя полета теннисного шарика на него действу­ ет сила тяжести Р и сила аэродинамического сопротивления R , чис­ ленно равная рсЛ>2/2 и направленная противоположно скорости шарика о (рис. 2.6). Для упрощения записи дифференциальных уравнений силу сопротивления представим в виде

падении шарика (см. пример 2.2.2.1). Площадь миделя S = nd2/4.

По заданным условиям задачи получим =8,5 м/с. Итак, коэф­ фициент сопротивления к определен и сила R является известной функцией скорости шара. Запишем силу сопротивления как вектор­ ную величину, учитывая ее направление:

R = —mgk2vv.

Тогда по II закону Ньютона

та = Р + R,

та —Р — mgk1ои.

Проектируя обе части уравнения на оси, получим

ах = - g k 2oux,

ау = - g ( l + £ 2ии,),

или в дифференциальной форме

x = —gk2\yx,

v = -Jx2 + у 2

Используя обозначения (2.17), запишем (2.23) в виде системы дифференциальных уравнений 1-го порядка:

Задача Коши (2.24)-(2.26) решалась численно методом Эйлера. Шаг интегрирования х = 1СГ5 с. На рис 2.7 приведены траектории полета шарика при различных значениях угла а. При угле ai = 32° (кривая 1) дальность полета максимальна (Lm= 13 м). Кривые 2 и 3

обеспечивает невысокий полет лыжника над горой приземления и безопасную скорость приземления. Отталкиваясь от стола отрыва, лыжник влияет на направление вектора начальной скорости прыжка. В определенной степени эта задача-является обратной задаче призем­ ления, которая в простейшей постановке рассмотрена в главе 3.

В. Полет над горой приземления. Задача лыжника — пролететь как можно дальше и устоять при приземлении. Последнее обеспе­ чивается в том случае, если нормальная к поверхности составляю­ щая скорости приземления невелика. Дальность прыжка зависит от массы лыжника, силы лобового сопротивления и подъемной силы. Важную роль играет обтекаемость воздухом комбинезона. Этот во­ прос требует специального исследования.

Г. Приземление. Как показывает тензометрирование, лыжник при приземлении испытывает перегрузки, близкие к пятикратным. Необходимо рассчитать, как влияет на перегрузки скорость призем­ ления.

В этом примере рассмотрим постановку только задачи В. Зада­ ча Г обсуждается в следующей лекции.

Рассмотрим фазу прыжка лыжника (рис. 2.9), который отрыва­

ется от опоры в точке О со скоростью о 0, направленной под углом а

к горизонту. При полете на лыжника действует сила тяжести Р = mg, сила лобового сопротивления воздуха/? = mgk2и 2 и подъ­ емная сила N , направленная перпендикулярно вектору скорости и. Во время прыжка рассматриваем лыжника как материальную точку массой т. По сравнению с примером 2.3.1 здесь добавляется подъ­ емная сила, обусловленная углами наклона лыж и лыжника к каса­ тельной к траектории. Природа этой силы такая же, как и силы ло­ бового сопротивления воздуха. По сути, силы/? и N , складываясь, создают полную реакцию воздушной среды. Поэтому силу N при­

где коэффициент /показывает, какую долю лобового сопротивле­ ния составляет подъемная сила. Вектор N найдем с помощью орта

ё0 OCHZ:

II закон Ньютона запишется в виде

та = Р +R + N ,

(2.29)

та = mg — mgk 2v v — fmgk 2ё0 хи.

Сокращая т и проектируя обе части уравнения на оси, получим дифференциальные уравнения движения прыгуна с трамплина

* — ~ g k 2 (•*—fy)v.

Коэффициент лобового сопротивления к = l/о , а предельная скорость о оо была получена из равенства предельной силы лобово­ го сопротивления весу лыжника с лыжами (см. пример 2.2.2.1). При = 60 м/с результаты расчета близки к реальным. Коэффициент подъемной силы / был принят линейно зависящим от расстояния s,

проходимого по траектории,