Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Рабочая тетрадь 1 «Комплексные числа» (90

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

1.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

z1 ________________________________________________________________

z2 _________________________________________________________________

Изобразите на комплексной плоскости (на рисунке 15) корни уравнения.

Рисунок 15

Ответ.

																								3				3
а) z				2 cos				isin						;		z	2 cos										isin			;		z		2	;
а) z				2 cos		5		isin						;		z	2 cos							5			isin			;		z		2	;
		0				5				5						1								5					5				2
					7					7															9				9
z3 2 cos							isin							;		z4		2 cos									isin				,
z3 2 cos					5		isin			5				;		z4		2 cos						5			isin				,
					5					5														5					5
											1											1	i
б) z				i,z					3		1		i,z							3		1
б) z				i,z									i,z					2
		0		1		2				2					2			2			2
				Задание 10
				Изобразить									на				комплексной плоскости																		С	множество точек,
удовлетворяющих следующим условиям:
а)	z		3; б)			z 2 3i						5; в)							z 4 i							3; г)		argz						; д)	arg(z 1 2i)		5	;
а)	z		3; б)			z 2 3i						5; в)							z 4 i							3; г)		argz						; д)	arg(z 1 2i)		5	;
																																	6			6
																																	6			6

	3		z	1,
е) arg(z 3 4i)		; ж) 3 Imz 4; з) 1 Rez 5; и)
					3

4				argz		;
					4
		4

z i

1 z z 4,

к)

л)

z i

z 2

; м) argz

3 Imz 0;

arg(z 1 i)

Решение.

а) z 3;

Так как r z x2 y2 , то x2 y2 3 и x2 y2 9. Мы получили уравнение окружности с радиусом R 3 с центром в начале координат (рисунок 16).

Рисунок 16

б) z 2 3i 5;

Так как z 2 3i x iy 2 3i (x 2) i(y 3) (x 2)2 (y 3)2 ,

то(x 2)2 (y 3)2 5 и (x 2)2 (y 3)2 25. Решением данного неравенства являются точки лежащие внутри окружности с радиусом R 5 с центром в

точке (-2;3) без точек окружности (рисунок 17).

Рисунок 17

в) z 4 i 3;

_____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

Изобразите на рисунке 18 множество точек удовлетворяющих данному условию

Рисунок 18

г) argz ;

	6
argz	- главное значение аргумента, заключенное в промежутке 0; 2 или
; ,	то есть точки z лежащие на комплексной плоскости,	аргумент которых
равен	лежат на луче выходящем из точки O(0; 0) под углом	к действительной

6	6

оси (рисунок 19).

Рисунок 19

д) arg(z 1 2i) 5 , 6

arg(z 1 2i) arg(x yi 1 2i) arg((x 1) i(y 2)) 5 . Точки z лежащие на 6

комплексной плоскости, на лучах выходящих из точки( 1;2) аргументы которых

больше чем	5	и меньше чем 2 .Точки лежащие на луче	5	не принадлежат
			6
6

данному множеству, а точки лежащие на луче2 принадлежат этому множеству.

Изобразите на рисунке 20 множество точек удовлетворяющих данному условию.

Рисунок 20

е) arg(z 3 4i) 3 ; 4

___________________________________________________________________

Изобразите на рисунке 21 множество точек удовлетворяющих данному условию.

Рисунок 21

ж) 3 Imz 4;

Так как Imz y, то 3 y 4. Точки удовлетворяющие данному неравенству будут лежать между двумя горизонтальными прямыми y 3, y 4.

Причем точки прямой y 3удовлетворяют неравенству, а точки прямой y 4 не удовлетворяют.

Рисунок 22

з) 1 Rez 5;

____________________________________________________________________

Изобразите на рисунке 23 множество точек удовлетворяющих данному условию

Рисунок 23

	z	1,
и)
		argz	3	;

			4
4

_____________________________________________________________________

Изобразите на рисунке 24 множество точек удовлетворяющих данному условию

Рисунок 24

1 z z 4,

к)

3 Imz 0;

Так

как z

x iy (x iy) x2

y2 , а

Imz y, то данную систему

1 x

неравенств можно записать в виде:

3 y 0.


		Неравенства 1 x2 y2 4 задают кольцо между окружностями, включая их
границы радиусов			R 1		и	R 2 с центром в начале координат. Неравенства
		y 0 определяют горизонтальную полосу между прямыми					y		и y 0,
	3							3
включая прямые			y		и	y 0. Искомое множество точек	заштриховано на
				3
рисунке 25

Рисунок 25

л) z i z 2

z i ______________________________________________________________

z 2 _____________________________________________________________

____________________________________________________________________

Изобразите на рисунке 26 множество точек удовлетворяющих данному условию

Рисунок 26

Ответ: y 2x 3- прямая

				2

	z i	1,

м) argz				,
			4


arg(z 1				i)	.

				4

____________________________________________________________________

Изобразите на рисунке 27 множество точек удовлетворяющих данному условию

Рисунок 27

Многочлены на множестве комплексных чисел.

Алгебраическое уравнение Pn(z) anzn an 1zn 1 ... a1z a0 0

положительной степени с коэффициентами ai из множества комплексных чисел С имеет хотя бы один корень, принадлежащий данному множеству С.

СЛЕДСТВИЯ

Алгебраическое уравнение n-й степени Pn(z) 0 имеет ровно n корней, в

общем случае комплексных и, возможно, кратных.

Корни многочлена Pn(z) 0 в общем случае комплексные и кратные.

Рассмотрим теперь многочлен с действительными коэффициентами:

Pn(z) anzn an 1zn 1 ... a1z a0 0,ai R

Справедливо утверждение: если комплексное число z1 является корнем многочлена, то и сопряженное число z1 также является его корнем.

Если z1 является корнем многочлена кратности m, то и сопряженное ему z1

также является корнем той же кратности m. Отсюда следует, что в разложении

многочлена с действительными

коэффициентами

наряду с

множителями

вида

(z z )m

обязательно имеются

множители

вида

)m.

Это

означает,

что

многочлен можно представить в виде: P (z) (z z

)m (z

(z).

n 2m

Любой многочлен с действительными коэффициентами можно разложить на множители первой и второй степени относительно z, причем первые соответствуют действительным, а вторые – комплексно сопряженным корням многочлена, и это разложение единственно.

Задание 11

Найдите корни уравнение на множестве комплексных чисел:

а) z2 2z 5 0; б) z2 6z 25 0.

Решение.

а) z2 2z 5 0. Решим квадратное уравнение относительно переменной z,

тогда D 4 4 5 16 16i2 , z		2 4i	1 2i.
тогда D 4 4 5 16 16i2 , z			1 2i.
1,2	2
	2
б) z2 6z 25 0.

_____________________________________________________________

Ответ. а) z1,2 1 2i б) z1,2 3 4i.

Задание 12

Решить биквадратное уравнение на множестве комплексных чисел:

а) z4 18z2	81 0; б) z4 16 0.
Решение.
а) z4 18z2	81 0;
Введем переменную z2 t, получим		квадратное уравнение t2	18t 81 0
(t 9)2 0 t 9 0 z2 9 0 z		2 9i2 0 z2 9i2 z		3i.
		1,2

б) z4 16 0.

______________________________________________________________

Ответ. а) z1,2 3i; б) z1,2 2.

Задание 13

Решить уравнение на множестве комплексных чисел:

а) z z 1 2i; б) z z 8 12i.

Решение.

а)

z 1 2i.

x2 y2 x iy 1 2i.

y 2,

x 1,

4 x 1,

4 1 x,

y 2,

2i.

x2 4 1 2x x2

, 2x 3,

б) z z 8 12i.

________________________________________________________________________

Ответ. а) z 3 2i; б) z 5 12i

Задание 14

Разложить на сумму простейших дробей над полем :

а)	( 1 i)z 11 5i	; б)	(1 i)(z 5)	.
	z2 2z 5		z2 2z 5
Решение.

а)

( 1 i)z 11 5i

z2 2z 5

Разложим на множители квадратный трехчлен, для этого решим квадратное

уравнение: z2 2z 5 0. D 4 4 5 4 20 16 16i2 z

1 2i.

1,2

( 1 i)z 11 5i

A(z 1 2i) B(z 1 2i)

(z 1 2i)(z 1 2i)

z 1 2i

z2 2z 5

Az A 2Ai Bz B 2Bi

z(A B) A B 2Ai 2Bi

z2 2z 5

A B 1 i,

A 1 i B,

A B 2Ai 2Bi 11 5i,

A 1 i B,

( 1 i B) B 2i 1 i B 2Bi 11 5i,

A 1 i B,

1 i B B 2i 2 2Bi 2Bi 11 5i,

A 1 i B,

4Bi 8 4i, / i 4B 8i 4, /:4

B 2i 1,

A 1 i 2i 1,

A 3i 2,

B 2i 1,

B 2i 1.

Таким образом,

( 1 i)z 11 5i

3i 2

1 2i

z2 2z 5

z 1 2i

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]