Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Рабочая тетрадь 1 «Комплексные числа» (90

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

1.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

			x yi, где a 5,b 12. Тогда x									5	25 144		2,
	5 12i											5	25 144	4
	5 12i												2	4
													2
x 2 y					b			12		3 x y i 2 3i;
x 2 y					2x					3 x y i 2 3i;
1		1			2x		4				1 1
				1
x2		2 y2				b			12		3 x2 y2i 2 3i.
x2		2 y2									3 x2 y2i 2 3i.
						2x2 4

Таким образом, 5 12i 2 3i .

б) 3 4i

____________________________________________________________________

___________________________________________________________________

Ответ. а) 2 3i; 2 3i; б)2 i; 2 i

Задание 5

Комплексное число представить в тригонометрической форме:

а)z 1 i3; б)z 1 i; в)z 1 3i.

Решение.

а)z 1 i 3
											и tg		y	. Тогда при x 1, y
Так как z x iy , то r							x2	y2											получим
																		3
																		3
													x
										,		. Тригонометрическая форма комплексного
	z	r		2, tg		3
	z	r	1 3	2, tg		3			3
					1			3
					1			3

числа имеет вид: z r(cos isin ), следовательно															z 2 cos		isin			.
числа имеет вид: z r(cos isin ), следовательно															z 2 cos	3	isin			.
																3		3

Рисунок 1

б)z 1 i;

и tg

Так как z x iy, то

x 1 и

y 1,r

x2 y2

1 1

tg	1	1,		. Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид:
			4
1


z r(cos isin ), тогда z					2	cos		isin		.

							4		4

Рисунок 2

в)z 1 3i.

________________________________________________________________________

Изобразите на комплексной плоскости (на рисунке 3) точку z 1 3i.

Рисунок 3

Ответ.

										2		2

а)z 2 cos		isin	; б)z	2	cos		isin		; в)z 2 cos		isin		.
	3					4		4		3
		3									3

Задание 6

Возведите в степень комплексное число:

а) 1 i3 15 ; б) 2 2i 42 .

Решение.

а) 1 i3 15 ;

Запишем число z 1 i3 тригонометрической форме: z r(cos isin ).

																		и tg	y	.
Так как z x iy,					x 1 и y						, то r					x2 y2
									3
									3
					tg														x
												,			2
	z	r		2,				3									т.е. тригонометрическая форма имеет
			1 3					3		3
			1 3							3
						2	( 1)						2	3
							( 1)							3


вид: 1 i 3 2 cos								isin						.
вид: 1 i 3 2 cos						3		isin					3	.
						3							3

				Рисунок 4
По	формуле Муавра:		zn r(cos isin ) n rn(cosn isinn ) возведем в
		15		2			2	15

степень, тогда 1 i 3			2 cos		isin
				3			3

215	cos( 10 ) isin( 10 ) 215 1 0i 215					32768.

б) 2 2i 42 .

Запишем число z 2 2i тригонометрической форме. Так как

z x iy, то x _______________________, y _________________________

z r _____________________, tg _______________, _______________, z 2 2i=__________________________________________________________.

2 2i 42 =__________________________________________________________

___________________________________________________________________

Изобразите на комплексной плоскости (на рисунке 5) точку z 2 2i.

Рисунок 5

Ответ. а) 32768 б) i (821)

Задание 7

Даны два комплексных числа. Записать комплексные числа в тригонометрической форме, вычислить их произведение и частное:

а) z1 1 i3 и z2 3 i; б) z1 1 i и z2 1 i.

Решение.

а) z1 1 i3 и z2 3 i

По известным действительным и мнимым частям строим на плоскости OXY

точки, соответствующие этим числам, и определяем их модули и аргументы. Затем по найденным r и записываем z1 и z2 в тригонометрической форме:

		r				3 1 2,
z			2
z	2				arctg			1
	2			2				1				;


								3		6
								3		6
		r					2,
		r				1 3	2,
z			1


1					arctg				3		;
					arctg				3		;
			1							3
										3



z1	2 cos			i sin
		3
			3

z2	2 cos			i sin	.
		6
			6

Рисунок 7 Теперь найдем произведение и частное, используя алгебраическую и

тригонометрическую формы:

z1 z2			1 i									i					i (3 1) 4 i,
z1 z2			1 i				3				3	i		3		3	i (3 1) 4 i,
			r1 r2 cos 1								2 i sin 1							2 4
z1	z2																					cos			i sin					4 i,
z1	z2																					cos		2	i sin					4 i,
																								2		2
z1		1			i			(1		i											i (3 1)							i			1	,
z1		1			i	3		(1		i			3) (		3 i)				3	3	i (3 1)						3				1
z2																										2
z2					3 i				( 3 i) ( 3 i)											4						2				2
z			r																													1
z			r																										3			1
1			1	cos 1			2 i sin 1 2 1 cos																i sin							i			.
z2				cos 1			2 i sin 1 2 1 cos																i sin							i			.
z2		r2																		6				6		2						2

б) z1 1 i и z2 1 i.

По известным действительным и мнимым частям строим на плоскости OXY

точки, соответствующие этим числам, и определяем их модули и аргументы. Затем

по найденным r и записываем z1 и z2			в тригонометрической форме:
z	r	_____________________	z		r		____________________
	1	____________________		2	2		___________________
1						2
	1
z1	___________________________		z2		_________________________

Изобразите на комплексной плоскости (на рисунках 8 и 9) точки z1 1 i и z2 1 i соответственно.

	Рисунок 8	Рисунок 9
	Теперь найдем произведение и частное, используя алгебраическую и
тригонометрическую формы:
z1 z2	_____________________________________________________________
z1 z2	_____________________________________________________________

z1 _______________________________________________________________

Ответ. а) z z	2	4 i,	z1	3	i	1	; б)	z z	2	2,	z1	i.

1			z2	2	2			1			z2

Задание 8.

Вычислить z4 и 4z , если:

а)z 1 i 3 ; б) z 1 i 3 .

Решение.

а)z	1	i	3
			2
2

Запишем комплексное число z в тригонометрической форме и используя формулы: zn r cos i r sin n rn cosn i sinn ,n Z.

	2 k	2 k

w n z n r cos		i sin		,k 0,1,...,n 1	, получим
	n		n

			1				3	r cos i sin						2					2
z					i						1 cos					i sin						,
z			2		i		2				1 cos			3		i sin						,
			2				2							3				3
											8				8			1
	4			4							8				8			1						3
z		r			cos4 i sin4 1 cos							i sin								i					,
z		r			cos4 i sin4 1 cos						3	i sin						2		i					,
											3			3				2					2
									2 k	2 k											k
									2 k	2 k											k
w 4				z 4		1 cos				i sin			1 cos										i			sin
w 4				z 4		1 cos			4	i sin	4		1 cos								2		i			sin	6
									4		4						6				2						6

k .

Меняя k от 0 до 3, получаем четыре значения w:															y
w	cos i sin						i	1,
w	cos i sin				3		i	1,						2
														2
1														3
1	6		6	2				2						3
	6		6	2				2
									1
									1			3
w2	cos		i sin							i			,
w2	cos		i sin			6			2	i			,
	6	2				6		2	2		2


										3	1							x
										3	1						1
w3	cos				i sin						i		,		7


		6					6			2	2
		6					6			2	2				6
				3					3	1
				3					3	1		3				10
w4	cos					i sin					i			.
		6						6	2
																3
			2							2	2					3

Рисунок 10

Вывод: все точки, соответствующие полученным значениям, располагаются

на окружности		радиуса R=1, причем аргумент первого равен			, а	аргументы

		6
остальных получаются из первого последовательным увеличением на						и образуют

		2
правильный четырехугольник.
	1	i		.
б) z			3

2		2

Запишем комплексное число z в тригонометрической форме

х ________________,

y _____________________,

r ___________________

z	1	i	3	____________________________
			2
2
				Рисунок 11

используя формулы: zn r cos i r sin n						rn cosn i sinn ,n Z.
		2 k	2 k

w n	z n r cos		i sin		,k 0,1,...,n 1, тогда
		n		n

z4 _______________________________________________________________

___________________________________________________________________

w 4z ____________________________________________________________

Меняя k от 0 до 3, получаем четыре значения w:

w1 ________________________________________________________________

w2 ________________________________________________________________

w3 ________________________________________________________________

w4 ________________________________________________________________

Изобразите на комплексной плоскости (на рисунке 12) четыре значения w.

Рисунок 12

Ответ.


а) z4	1		i	3			, w	3		i		1		,w		1	i			3		,w				3		i			1	,w			1		i		3		.
				2				2												2						2
2						1				2				2	2								3				2					4	2				2
		1					, w i				1		,w i		1						,w			1	i					,w						i		1		.
б) z4			i		3				3										3										3					3
				2											2												2
2						1		2		2				2				2		3			2									4	2				2

Задание 9

Решить уравнение на множестве комплексных чисел: а) z5 32 0; б) z3 i 0.

Решение.

а) z5 32 0;


Перепишем уравнение в виде z 5 32 . Число			( 32) представим в
тригонометрической форме: где, x 32, y 0 (рисунок 13).

Рисунок 13

Тригонометрическая форма имеет вид: 32 32 cos isin .

По формуле n z n r(cos isin ) n r cos

isin

ãäå k 0,1, 2, 3,..., n 1, находим
		2 k	2 k

z 5	32 cos isin 2 cos		isin	, где k 0,1, 2, 3, 4.
		5
			5

Полагая k 0,1, 2, 3, 4, получим пять различных значений, которые отмечены на комплексной плоскости, на окружности с центром в начале координат и радиусом равным 2, и образуют правильный пятиугольник с вершинами в данных точках:


z0	2 cos		isin				1,6180 1,1756 i,
z0	2 cos	5	isin				1,6180 1,1756 i,
		5	5
z		3		isin	3			0,6180 1,9021 i,
	2 cos
	2 cos	5				5
1		5				5

z2 2 cos isin 2,

z3		7		isin	7	0,6180 1,9021 i,
	2 cos
		5
			5
z4		9		isin	9	1,6180 1,1756 i
	2 cos
		5
			5

Рисунок 14

б) z3 i 0.

Перепишем уравнение в виде

z ___________________________________________________________________.

Число (___) представим в тригонометрической форме:

где x _________________________, y __________________________________.

____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

По формуле n z n r(cos isin ) n r cos

isin

где k 0,1, 2, 3, ..., n 1

находим z __________________________________________________ где k 0,1, 2.

Полагая k 0,1, 2, получим

z0 ________________________________________________________________

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]