Компьютерное исследование линейных систем автоматического управления. В 3 ч. Ч. 2. Частотные характеристики (90
.pdf
31
Их анализ позволяет сделать вывод, что при уменьшении коэффициента затухания ξ годограф приближается к действительной оси, а у консервативного звена (при ξ=0) он совпадает с ней (I(ω)=0) и претерпевает разрыв на сопрягающей частоте. На малых частотах, меньших ω0, действительная ЧХ консервативного звена, описываемая уравнением
R( ) |
k(1 T 2 2 ) |
|
k |
, |
(41) |
(1 T 2 2 )2 |
1 T 2 2 |
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
безусловно положительна и будет увеличиваться по мере приближения ω к ω0. На сопрягающей частоте R(ω0)=+∞. При дальнейшем росте частоты ω знак знаменателя в дроби (41) становится отрицательным, поэтому годограф претерпевает разрыв и продолжается из -∞ до начала координат при ω=+∞.
1.7.3. Влияние соотношения постоянных времени на вид АЧХ
Согласно общей формуле (7) АЧХ данного звена будет рассчитываться по формуле:
A( ) |
R |
2 |
( ) I |
2 |
( ) |
k 2 (1 T12 2 )2 k 2T22 2 |
= |
k 2 (1 T12 2 )2 T22 2 |
= |
|||
|
|
(1 T12 2 )2 T22 2 2 |
|
(1 T12 2 )2 T22 2 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
= |
k |
|
|
. |
|
(42) |
|
|
|
|
|
|
(1 T 2 2 )2 T 2 2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
Очевидно, что А(0)=k, поэтому независимо от постоянных времени T1 и T2 графики АЧХ начинаются в точке с координатами (0; k). Влияние параметров звена на вид АЧХ показано на рис. 15б; 16б и 17б. При уменьшении коэффициента затухания ξ максимум АЧХ возрастает, а у консервативного звена (при ξ=0) АЧХ претерпевает разрыв.
1.7.4. Влияние соотношения постоянных времени на вид ФЧХ
Согласно общей формуле (8) ФЧХ данного звена будет рассчитываться по формуле:
|
I ( ) |
|
|
kT2 |
|
|
T2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
( ) arctg |
|
arctg |
|
|
|
arctg |
|
; |
R( ) |
k(1 T 2 2 ) |
(1 T 2 2 ) |
||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
окончательно –
32
|
|
|
( ) arctg |
|
T2 |
|
. |
(43) |
|
|
|
(1 |
2 2 |
) |
|||
|
|
|
|
T |
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Анализ выражения (43) позволяет сделать вывод, что независимо от посто- |
||||||||
янных времени T1 и T2 (0) 0 , а ( ) . Иными словами, ФЧХ начинается из |
||||||||
точки (0; 0), а на больших частотах асимптотически приближается к углу |
–π. |
|||||||
Кроме того, ( |
1 |
) |
. Влияние параметров звена на вид ФЧХ показано на рис. |
|||||
|
||||||||
|
T |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
15,б; 16,б и 17,б. При уменьшении коэффициента затухания ξ изгиб ФЧХ на сопрягающей частоте ω0 возрастает, а у консервативного звена (при ξ=0) на сопрягающей частоте ФЧХ изменяется скачком, от 0 до –π, что соответствует разрыву годографа.
1.7.4. ЛАЧХ звена 2 порядка
Согласно общей формуле (9) истинная ЛАЧХ данного звена будет рассчитываться по формуле:
L( ) 20 lg A( ) 20 lg k 20 lg 
(1 T12 2 )2 T22 2 . (44)
Влияние всех параметров звена на вид ЛАЧХ представлены на рис. 15в; 16в и
17в.
Очевидно, что на малых частотах, когда 1 , подкоренное выражение в
T1
(44) будет определяться в основном первым слагаемым, получаемым при раскрытии скобок:
L |
a |
( ) 20 lg k 20 lg |
(1 2T 2 2 |
T 4 4 |
T 2 2 ) 20 lg k 20 lg1. |
|
|
1 |
1 |
2 |
Поэтому окончательно асимптотическая ЛАЧХ на первом участке будет рассчитываться как
La ( ) 20 lg k , |
(45) |
что позволяет утверждать, что на малых частотах колебательное звено ведет себя как усилительное.
33
|
На больших частотах, когда |
|
1 |
, подкоренное выражение будет опре- |
||
T |
||||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
деляться в основном слагаемым T14 14 , по сравнению с которым остальные пре- |
||||||
небрежимо малы: |
|
|
|
|
||
L |
( ) 20 lg k 20 lg (1 2T 2 2 ) T 4 4 T 2 2 |
20 lg k 20 lg T 4 4 20 lg k 40 lgT 40 lg . |
||||
a |
1 |
1 |
2 |
|
1 |
|
Следовательно, уравнение асимптотической ЛАЧХ на втором участке будет иметь вид:
L |
a |
( ) 20lg |
k |
40lg . |
(46) |
|
T 2 |
||||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
Очевидно, что наклон La ( ) на этом участке частот составит -40дб/дек. Определим частоту среза, для которой La ( c ) =0, решив уравнение:
|
|
|
|
20lg |
k |
40lg |
c |
0 . |
|
|||||
|
|
|
|
T 2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получим lg |
k |
2 lg |
|
. Следовательно, |
|
k |
|
|
. Отсюда окончательно |
|
||||
T 2 |
|
|
T 2 |
|
|
|||||||||
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
k |
. |
(47) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 |
|
|
|
Таким образом, асимптотическая ЛАЧХ колебательного звена не зависит от постоянной времени Т2. Её построение сводится к осуществлению следующей последовательности действий (рис. 18):
|
прежде всего находится частота среза c |
k |
; |
|
|||
|
|
T1 |
|
далее через эту точку на оси частот проводится прямая под наклоном
-40дб/дек до сопрягающей частоты 0 1 ;
T1
затем из точки пересечения наклонной прямой и прямой 0 1 влево па-
T1
раллельно оси абсцисс проводится вторая прямая La ( ) 20 lg k .
34
|
|
|
L [дб] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
1 участок |
|
|
|
|
|
2 участок |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
20 lg k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
-40 дб/дек |
|
|
|
|
|
-40 дб/дек |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
-1 |
0 |
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
k |
|
lg |
||||||||
|
|
|
T1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
c |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
1 |
10 |
100 0 |
|
1000 |
|
10000 |
|
|||||||||||
|
T1 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-20
Рис. 18. Построение асимптотической ЛАЧХ звена 2 порядка
Погрешность, вносимую асимптотической ЛАЧХ, можно рассчитать по
следующим формулам. На малых частотах, когда 1 :
T1
1 ( ) L( ) La ( ) 20 lg k 20 lg |
(1 T12 2 )2 T22 2 - 20lg k , |
|
||
окончательно |
|
|
||
1 ( ) 20 lg |
(1 T12 2 )2 T22 2 . |
(48) |
||
На больших частотах, когда |
1 |
, уравнение погрешности имеет вид: |
|
|
|
|
|||
|
T |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 ( ) L( ) La ( ) 20 lg k 20 lg (1 T12 2 )2 T22 2 20 lg k 40 lg T1 40 lg , |
|
|||
а окончательно погрешность здесь определяется как |
|
|||
2 ( ) = 20 lg (1 T12 2 )2 T22 2 40 lgT1 40 lg . |
(49) |
|||
Анализ (48) и (49) показывает, что независимо от частоты: |
|
|||
величина погрешности не зависит от коэффициента усиления k;
как и для рассмотренных ранее звеньев, ощутимое значение ошибки бу-
дет иметь место в окрестностях сопрягающей частоты 0 1 .
T1
35
Наиболее наглядно влияние постоянной времени Т2 на величину погрешности просматривается при неизменных k и Т1 (рис. 19).
0.05
0.1
0.15
0.2
0.5
1
2.5
Рис. 19. Погрешность ЛАЧХ звена 2 порядка.
В прошлом, в силу отсутствия мощной вычислительной техники, расчет истинной ЛАЧХ оказывался затруднительным, данные графики служили лекалом, накладываемым на график асимптотической ЛАЧХ. При геометрическом сложении графика асимптотической ЛАЧХ и графика погрешности
20lg |
(1 |
T 2 2 )2 |
T 2 2 |
при |
0 |
|
|
|
1 |
2 |
|
(50) |
|
( ) |
|
T 2 2 )2 |
T 2 2 |
40lgT |
40lg ,если |
|
20lg |
(1 |
0 |
||||
|
|
1 |
2 |
1 |
|
получали график истинной ЛАЧХ для конкретного значения коэффициента затухания ξ. Моделирование данной функции представлено на рис. 20. Показанные здесь результаты получены при k=const, T1=const и T2=var.
При реализации последней структурной схемы используются блок «Меньше или равно» группы Логические функции Boolean (приложение 1.4) и блок
Переключатель Merge из группы Нелинейные функции Nonlinear (приложе-
ние 1.5). Их выбор осуществляется из меню Блоки Blocks.
36
Рис. 20. Моделирование погрешности между асимптотической и истинной ЛАЧХ звена 2 порядка.
37
Приложение 1
О исание блоков по категориям
Приложение 1.1
Блок Выражение Expression
Блок Выражение Ex pression служит для написания математического выражения в соответствии с синтаксисом язы а Си. Ссылки на входные сигналы в математическо м выражении след ует осу ествлять посредством предопределенных переменных: $1, $2, $3, $4, ..., где ц фра в имени переменной указывает порядковый номер входа блока Выражение Expre ssion, начиная с верхнего. Для реализации блока осуществите следующ ую последовател ьность действий:
выберите меню Блоки Blocks выраж ение Expression. При этом на ра-
бочем п ле VisSi m появится блок с одним входом и одним вых одом;
увеличьте при необходимост и число входов бл ка Выражение Expres-
sion с помощью кнопки |
панели инструментов Главная Ma in; |
||
|
щелчком ПКМ вызовите диалоговое о но свойств Expre ssion Properties |
||
(рис. П- |
); |
|
|
|
за |
олните поле ввода Expression Text текстом математического ыраже- |
|
ния. |
|
|
|
Поле ввода формулы
Поле вывода сообщения об ошибках при вводе формул
Рис. П-1. Диалоговое окно свойств блока Выражение
|
|
|
|
|
Приложение 1.2 |
|
|
|
|
Арифметические блоки |
|
||
Название и кноп- |
Описание |
|
Примечание |
|||
ка |
|
|
|
|
|
|
Обратная |
величина |
Возвращает обратную |
Обратная величина находится для |
|||
1/X Invert the input |
входному сигналу величину. Ра- |
каждого элемента матрицы инди- |
||||
|
|
|
ботает и с обычными, и с шин- |
видуально |
|
|
|
|
|
ными проводниками |
|
|
|
Инверсия |
-X |
Ne- |
Инвертирует |
входной |
Работает и с обычными, и с шин- |
|
gates the input |
|
ными проводниками |
||||
|
|
|
сигнал |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Умножение * |
|
|
|
Если на часть входов сигналы не |
||
Multiplies all |
|
Перемножает |
входные |
поданы, то на них подается еди- |
||
inputs |
|
|
сигналы как для обычных, так и |
ничное значение |
|
|
|
|
|
для шинных проводников |
|
|
|
Деление / |
|
|
|
|
Возможно выполнение операции |
|
Divide |
|
|
|
|
для шинных проводников. При |
|
|
|
|
Делит сигнал на верхнем входе |
этом матрицы-шины одинакового |
||
|
|
|
xl на сигнал на нижнем входе xr |
размера будут поделены поэле- |
||
|
|
|
|
|
ментно. Можно делить все сигна- |
|
|
|
|
|
|
лы в шине на один масштабиру- |
|
|
|
|
|
|
ющий сигнал или выполнять об- |
|
|
|
|
|
|
ратную операцию |
|
Абсолютное значе- |
|
|
Возможно выполнение операции |
|||
ние Abs |
|
|
|
|
для совокупности сигналов в |
|
|
|
Возвращает абсолютное значе- |
шинных проводниках |
|||
|
|
|
||||
|
|
|
ние входного сигнала |
|
|
|
Коэффициент |
Уси- |
Масштабирует |
вход- |
Это безынерционное звено, по- |
||
ления Gain |
|
ную величину пропорционально |
этому его нельзя охватывать це- |
|||
|
|
|
задаваемому коэффициенту |
пью отрицательной обратной свя- |
||
|
|
|
зи, так как при этом получается |
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
алгебраическая петля |
|
Возведение в |
Масштабирует сигнал |
Матрицы-шины одинакового раз- |
||||
|
|
|
мера возводятся в степень поэле- |
|||
степень Pow |
|
x1, возводя его в степень, значе- |
ментно. Можно возводить в одну |
|||
|
|
|
ние которой определяет пара- |
степень все сигналы в шине или |
||
|
|
|
метр или сигнал x2. Если пока- |
один сигнал возвести во множе- |
||
|
|
|
затель степени x2 должен опре- |
ство степеней |
|
|
|
|
|
делять сигнал, а не постоянный |
|
|
|
|
|
|
параметр, то необходимо доба- |
|
|
|
|
|
|
вить второй вход |
|
|
|
Сумматор |
|
Sum- |
|
|
Матрицы-шины суммируются по- |
|
mingJunction |
|
Суммирует |
входные |
элементно. При |
необходимости |
|
|
сигналы. Для вычитания, удер- |
меньшая матрица |
увеличивается |
|||
|
|
|
||||
|
|
|
живая клавишу CTRL, нужно |
дополнением ее нулями. Можно |
||
|
|
|
щелкнуть ЛКМ по входу сумма- |
суммировать сигналы в шине с |
||
|
|
|
тора, когда вид указателя сме- |
одним сигналом |
|
|
|
|
|
нится на стрелку |
|
|
|
39
Приложение 1.3
Преобразователи Transcendental
Данная группа функций реализована в выпадающем списке блоков, вызыва-
емых выбором меню Блоки Blocks категория Преобразователи Transcendental. Они сведены в таблицу. В соответствующих диалоговых окнах свойств блоков можно определить их метки.
Блок |
Описание |
Область |
Область |
|
|
|
определения |
значений |
|
|
Возвращает значение арккосинуса в радианах |
от -1 до 1 |
от 0 до π |
|
|
Возвращает значение арксинуса в радианах |
от -1 до 1 |
от до |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
Преобразует отношение двух входных сигна- |
от -∞ до +∞ |
от –π до π |
|
|
лов, возвращая значение его арктангенса в |
|
|
|
|
радианах. Итоговое значение учитывает знак |
|
|
|
|
каждого сигнала |
|
|
|
|
Возвращает значение косинуса входного сиг- |
от -∞ до +∞ |
от -1 до 1 |
|
|
нала, который должен быть представлен в ра- |
|
|
|
|
дианах |
|
|
|
|
Возвращает значение синуса входного сигна- |
от -∞ до +∞ |
от -1 до 1 |
|
|
ла, который должен быть представлен в ради- |
|
|
|
|
анах |
|
|
|
|
Возвращает значение гиперболического ко- |
от -∞ до +∞ |
от 1 до +∞ |
|
|
синуса входного сигнала |
|
|
|
|
y = ch x = (e +x + e -x) / 2, |
|
|
|
|
представленного в радианах |
|
|
|
|
Возвращает значение гиперболического си- |
от -∞ до +∞ |
от -∞ до +∞ |
|
|
нуса входного сигнала |
|
|
|
|
y = ch x = (e +x - e -x) / 2, |
|
|
|
|
представленного в радианах |
|
|
|
|
Возвращает число e=2.718282, возведенное в |
от -∞ до +∞ |
от 0 до +∞ |
|
|
степень, которую задает входной сигнал x |
|
|
|
|
Возвращает натуральный логарифм входного |
от 0 до +∞ |
от -∞ до +∞ |
|
|
сигнала |
|
|
|
|
Возвращает десятичный логарифм входного |
от 0 до +∞ |
от -∞ до +∞ |
|
|
сигнала |
|
|
|
|
Возвращает корень квадратный из входного |
от 0 до +∞ |
от 0 до +∞ |
|
|
сигнала |
|
|
|
|
Возвращает значение тангенса входного сиг- |
от -∞ до +∞ |
от -∞ до +∞ |
|
|
нала, который должен быть представлен в ра- |
|
|
|
|
дианах |
|
|
|
|
Возвращает значение гиперболического тан- |
от -∞ до +∞ |
от -1 до +1 |
|
|
генса входного сигнала |
|
|
|
|
y = th x = (e +x - e -x) / (e +x + e -x), который дол- |
|
|
|
|
жен быть представлен в радианах |
|
|
|
40