Компьютерное исследование линейных систем автоматического управления. В 3 ч. Ч. 2. Частотные характеристики (90

точка годографа смещается вниз от оси абсцисс в силу того, что мнимая ЧХ

падает с началом координат. Учет всего вышеизложенного позволяет заключить, что годограф апериодического звена при изменении ω от 0 до +∞ пред-

щую в четвертом квадранте.

Согласно (9) АЧХ рассчитывается как

В программной среде VisSim формулы (15) … (19) реализуются с использованием блоков Выражение expression (приложение 1.1), группы арифмети-

ческих блоков Arithmetic Blocks (приложение 1.2) и блоков группы Преобра-

зователи Transcendental. Структурные схемы и результаты моделирования ЧХ А-звена представлены на рис. 5. Построение ЛАЧХ обеспечивается соответствующими настройками блока Осциллограф Plot (рис. 6).

11

Рис. 5. Моделирование А-звена

12

Обеспечение логарифмической разметки оси частот

Перерасчет АЧХ в ЛАЧХ [дб]

Рис. 6. Настройка параметров осциллографа для получения графика ЛАЧХ

Поверхностный анализ ЧХ можно осуществить и без моделирования, используя асимптотические ЛАЧХ. Согласно общему выражению (11) ЛАЧХ апериодического звена описывается уравнением

В этом выражении 20lgk – константа, не зависящая от частоты ω. В то же время второе слагаемое зависит от частоты, причем на малых и больших частотах эта зависимость совершенно разная. Поэтому можно сделать некоторые допущения. Для этого выделим участки:

малые частоты 0 0 . Здесь можно считать, что величина T 2 2 значи-

тельно меньше 1, следовательно ей можно пренебречь: 20lg T 2 2 1 20lg1 0 . Поэтому асимптотическая ЛАЧХ на этом участке La 20lg k представляет собой прямую, параллельную оси частот. Иными словами, при частотах, не пре-

вышающих сопрягающую частоту ω0= T1 , апериодическое звено ведёт себя как пропорциональное, оно просто усиливает входной сигнал;

13

большие частоты 0 . Здесь можно считать, что T 2 2 значительно

Ошибка по сравнению с истинной ЛАЧХ на малых частотах

1 ( ) L( ) La ( ) 20lg k 20lg 1 T 2 2 - 20 lg k = 20lg 1 T 2 2 ,

ана больших – 2 ( ) L( ) La ( )

причем она не зависит от параметров Т и k. Малая величина данной ошибки позволяет сделать первичную оценку звена (определить частоту среза ωс и диапазон частот, где происходит усиление входного сигнала) по его параметрам элементарным построением асимптотической ЛАЧХ (рис. 7). Для этого:

на оси частот находится сопрягающая частота ω0;

на участке 0 проводится прямая, параллельная оси частот на рассто-

янии 20lgk;

на участке ω>ω0 через точку с координатами (ω0; 20lgk) проводится прямая под наклоном (-20 дб/дек).

14

1.5.Интегрирующее звено (И-звено)

1.5.1.Идеальное интегрирующее звено (астатическое звено)

тельно, действительная ЧХ R(ω)=0 , а мнимая I(ω)= - k . Очевидно, что A(ω)=

сигнал отстает от входного на угол 2 . Очевидно, что годограф данного звена

совпадает с отрицательной мнимой полуосью. А ЛАЧХ описывается выражением

15

Это прямая с наклоном ∆L на 1 декаду, рассчитываемым как

L 20lg k 20lg10 1 20lg k 20lg 1 20 дб/дек.

Ось абсцисс ЛАЧХ пересекает на частоте среза ωс при выполнении условия

L( с ) 0 , откуда согласно (16) 20lg k 20lg c . Следовательно, для идеального И-звена c k . Таким образом, построение его ЛАЧХ сводится к построению прямой с наклоном -20 дб/дек в точке с координатами ( c ; k) (рис. 8). Прямую1 ЛАЧХ пересекает в точке

рицательные) знаки. Следовательно, точки годографа располагаются в третьем квадранте. Этот факт учитывается добавлением слагаемого π:

Анализ последнего выражения позволяет сделать вывод, что на малых ча-

стотах сдвиг фаз реального И-звена практически совпадает с ( 2 ), то есть со

сдвигом фаз, обеспечиваемым идельным И-звеном. С ростом ω сдвиг фаз увеличивается до ( ) .

16

L [дб] 20 lg k

40

-20

Рис. 8. Моделирование идеального И-звена и построение его асимптотической ЛАЧХ

17

Согласно общей формуле (12) с учетом (23) ЛАЧХ реального И-звена описывается уравнением

Применив допущения для малых и больших частот, сделанные для А-звена, построим асимптотическую ЛАЧХ реального И-звена по участкам:

малые частоты 0 T1 :

La 20lg k 20lg

совпадает с ЛАЧХ идеального И-звена, имеет наклон –20 дб/дек. Иными сло-

вами, при частотах, не превышающих сопрягающую частоту ω0= T1 , реальное И-звено ведёт себя как идеальное;

большие частоты T1 :

La ( ) 20 lg k 20 lg 20 lg T 2 2 20lg k 20lg 20lgT 20lg 20lg Tk 40lg .

Найдем наклон асимптотической ЛАЧХ на одну декаду

L 20lg Tk 40lg 10 1 20lg Tk 40lg 1 40lg10 40lg 1 40lg 1 - 40 дб/дек.

Ошибка по сравнению с истинной ЛАЧХ на малых частотах

1 ( ) L( ) La ( ) 20lg k 20lg 20lg 1 T 2 2 - 20 lg k 20lg = 20lg 1 T 2 2 ,

на больших –

2 ( ) L( ) La ( )

20lg k 20lg 20lg 1 T 2 2 - 20lg k 20lgT 40lg = 20lgT 20lg 1 T 2 2 .

Максимальная ошибка будет иметь место на сопрягающей частоте

Таким образом, как и для апериодического звена, первичную оценку ЧХ реального И-звена по его параметрам можно осуществить с помощью построения асимптотической ЛАЧХ (рис. 9):

18

на оси частот находится сопрягающая частота ω0= T1 ;

на участке 0 проводится прямая под наклоном (-20 дб/дек) через точ-

ку (ω=1; 20lgk) до пересечения с прямой ω=ω0;

вправо от полученной точки, на участке ω>ω0, проводится прямая под наклоном (-40 дб/дек).

-20

Рис. 9. Построение асимптотической ЛАЧХ реального И-звена

Структурная схема ЧХ реального И-звена с результатами моделирования представлена на рис. 10.

1.6. Дифференцирующее звено (Д-звено) 1.6.1. Идеальное дифференцирующее звено

ПФ данного звена описывается простейшим уравнением [1, выражение (15)] W ( p) kp . АФЧХ при этом W j j K . Отсюда его ЧХ -

19