Компьютерное исследование линейных систем автоматического управления. В 3 ч. Ч. 2. Частотные характеристики (90

Следовательно, чем больше частота входных колебаний, тем в большей степени они усиливаются звеном, а при малых частотах сигнал через идеальное Д-звено не проходит. При этом независимо от частоты ω выходной сигнал

опережает входной по фазе на 2 . Поскольку согласно (2) действительная ЧХ

равна нулю, а мнимая растет пропорционально частоте ω, годограф идеального Д-звена совпадает с положительной мнимой полуосью. При этом с ростом ω точка годографа перемещается вверх от начала координат.

ЛАЧХ данного звена описывается уравнением

Отсюда получаем простейшее уравнение lg k lg c , из которого определяем

частоту среза

c 1k .

Для построения ЛАЧХ идеального Д-звена на оси абсцисс находим с 1k и

проводим прямую с наклоном +20дб/дек. Очевидно, что если k<1, то с 1k >1,

следовательно, пересечение с осью = 1 (lg = 0) будет расположено в отрицательной полуплоскости, поскольку для указанных условий lgk<0. Иными словами, по размещению графика ЛАЧХ (в I-II-III или III-IV-I квадранте) можно оценить величину коэффициента усиления k (соответственно больше 1 или меньше 1).

Структурная схема ЧХ идеального Д-звена с результатами моделирования представлена на рис. 11.

21

Рис. 11. Моделирование идеального Д-звена: а - структурная схема и осциллограммы; б - построение его асимптотической ЛАЧХ; в - годограф

22

Применяя (8), получаем уравнение АЧХ

На больших частотах реальное Д-звено ведет себя как усилительное звено с коэффициентом k.

Из формул (30) и (31) следует, что его годограф располагается в первом квадранте. Получим уравнение годографа. Для этого осуществим следующие преобразования. Сначала сложим действительную и мнимую ЧХ:

Затем возведем в квадрат левые и правые части данного выражения:

Слагаемые 2R( )I ( ) в левой и правой частях уничтожаются:

23

(30)… (33) показывает, что:

поскольку R(0) 0 и I (0) 0 , годограф берёт своё начало в точке (0;0);

в силу того, что действительная ЧХ (30) положительна всегда, а мнимая (31) положительна при ω>0, при изменении ω от 0 до +∞ точка годографа смещается вверх по окружности (34);

конечная точка годографа при ω = +∞ находится в точке с координатами

(k; 0).

Структурная схема ЧХ реального Д-звена с результатами моделирования представлена на рис. 12.

Согласно (14) ЛАЧХ данного звена описывается уравнением

Как и в рассмотренных ранее случаях, построение асимптотической ЛАЧХ осуществляется по участкам (рис. 13):

малые частоты 0 0 . С применением тех же допущений уравнение

асимптотической ЛАЧХ реального Д-звена на этом участке приобретает вид

Lа( )=20lg(k) +20lg( ),

совпадающий с видом ЛАЧХ идеального Д-звена, имеющей наклон +20 дб/дек. Иными словами, при частотах, не превышающих сопрягающую частоту ω0 ,

24

реальное Д-звено ведёт себя как идеальное. Очевидно, если частота среза ωс

принадлежит данному отрезку частот, то она равна ωс= 1k ;

Рис. 12. Моделирование реального Д-звена

большие частоты 0 . В этом случае уравнение асимптотической ЛАЧХ на данном отрезке частот будет иметь вид:

25

Lа( )=20lgk +20lg -20lgT =20lgk+ 20lg -20lg -20lgT =20lg Tk –

прямая, параллельная оси абсцисс.

-20

Рис. 13. Построение асимптотической ЛАЧХ реального Д-звена

1.7.Звено 2 порядка

1.7.1.Основные частотные характеристики

ПФ данного звена описывается уравнением [1, выражение (19)]

Следовательно, действительная и мнимая ЧХ имеют вид:

26

Поскольку I( ) безусловно отрицательна при положительной частоте ω, а знак R( ) зависит от знака выражения (1 T12 2 ), то есть от величины ω, очевидно, что АФЧХ звена второго порядка располагается в нижней комплексной полуплоскости.

Тип звена второго порядка определяется соотношением его постоянных времени Т1 и Т2 [1, п. 3.1.6], характеризующимся, в свою очередь, через коэф-

фициент затухания

Этот коэффициент является столь исчерпывающей характеристикой, что в литературе часто вместо Т1 вводят постоянную времени Т= Т1 из [1, выражение (19)] . Тогда в силу справедливости выражения

вытекающего из (37), получаем еще оно представление ПФ звена второго порядка

Анализ (39) показывает, что:

если <1, то T22 4T1 0 . Следовательно, характеристическое уравнение

звена второго порядка имеет пару комплексных сопряженных корней, звено в этом случае колебательное [1, п. 3.1.6.2];

ное;

если же >1, то T22 4T1 0 , корни характеристического уравнения ве-

щественные, имеем апериодическое звено 2 порядка [1, п. 3.1.6.1];при Т1=0 ξ=∞, получаем апериодическое звено 1 порядка [1, п. 3.1.2].

На рис. 14 приведена схема моделирования ЧХ звена 2 порядка.

27

Рис. 14. Структурная схема моделирования ЧХ звена 2 порядка

1.7.2. Годограф звена 2 порядка

Анализ (36) показывает, что для любого соотношения постоянных времени при R(0)=k, I(0)=0. Иными словами, годографы будут начинаться в точке на действительной оси с координатами (k; 0). Определим, при какой частоте ω годограф пересекает мнимую ось. Иными словами, при какой частоте R( ) =0:

Очевидно, данное условие выполняется при 1 T12 2 0 . Решая это элементарное уравнение, получаем сопрягающую частоту звена 2 порядка

0 1 . (40)

T1

Таким образом, независимо от T2 годограф пересекает мнимую ось на сопряга-

ющей частоте 0 1 . При ω=+∞ согласно (36) R(+∞)= I(+∞)=0. Следователь-

T1

но, независимо от соотношения постоянных времени годограф заканчивается в начале координат (0; 0). Влияние параметров звена на вид годографа показано на рис. 15а; 16а и 17а.

28

Т1 =0,5 Т1 =1

Т1 =2

Т1 =3 Т1 =4

а)

Рис. 16. Влияние постоянной времени Т1 на вид ЧХ звена 2 порядка: k=5; T2=0,5

30