Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лабораторные работы и методические указания по теме Функции многих переменных (110

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

552.81 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Подставим x, y, yx0 ; yxx00 в исходное уравнение:

1 + tg2 t 2

cos2 t (u00

cos t + u cos t) =

;

¢2

cos t

¶ ¢ cos2 t ¢ (utt00

cos t + u cos t) =

;

cos2 t

cos t

¢ cos

2 t

¢ (

u00

cos

;

cos4 t

cos t

tt cos

) =

¢ (utt00

cos t + u cos t) =

;

j ¢ cos2 t

cos2 t

cos t

utt00

cos t + u cos t = u cos t;

utt00 ¢ cos t = 0;

utt00

= 0:

Задание 3. Приняв u и v за новые независимые переменные функции z, выразить через них частные производные zx0 ; zy0 :

а) u = ln px2 + y2; v = arctg xy .

Решение:

= zu0 ¢

+ y2

zx0 = zu0 ¢ ux0 + zv0 ¢ vx0 =

1 y 2 ¢

³¡x2 ´

¢ 2 x2

+ y2 ¢ 2x + zv0 ¢ 1 +

2 p

zu0 +

¢ ³¡

´zv0 =

¢ zu0 ¡

¢ zv0

x2 + y2

z0 = z0

+ z0

= z0

2y + z0

y u

¢ p2 x + y

¢ 2px + y

¢ 1 +

2 2

= x2 + y2 ¢ zu0 + x2 + y2 ¢ x ¢ zv0 = x2 + y2 ¢ zu0 + x2 + y2 ¢ zv0

б) x = uv; y = 12 ¡u2 ¡ v2¢.

Решение:

8zu0

= zx0 ¢ xu0 + zy0 ¢ yu0

= z0

z:0

v + z0

< v0

= z

+ z

8 u

x ¢

y ¢

j ¢

: z0

v = z0

v + z0

= z

y ¢

j ¢

8 u ¢

x ¢

= 0

+ 0

v0 ¢

= z

x0 ¢

¡=

¢z0

+¢

zx0

+ v2

= zu0

v + zv0

u2 + v2

Подставим значение zx0 в первое уравнение системы:

zu0 =

zu0 +

zv0 + zy0 ¢ u

+ v2

zy0 ¢ u =

µ1 ¡ u2 + v2 ¶zu0 ¡ u2 + v2 zv0

= u2 + v2

y ¢

u ¡ u2 + v2

zy0

zu0 ¡

zv0

u2 + v2

Задание 4. Приняв u и v за новые независимые переменные, пре-

образовать следующие уравнения:

x2 ¢

@2z

¡ ¡x2

+ y2¢

@2z

+ y2 ¢

@2z

= 0;

если u = x + y; v =

@x2

@x@y

@y2

Решение. Так как z = z(u(x; y); v(x; y)), то

или

zx0

= zu0 ¢ ux0 + zv0 ¢ vx0

¢ 1 +

µ¡

¶ =

= @u ¢ 1 + @v ¢ µ¡y12 ¶

= @u ¡ y12 @v

@x2 =

µ@u

¡ x2 @v¶x

= µ@u

¶x ¡

µx2

¶x =

@2z

1 @z

µ@u2

¢@x+

@u@v¢@x¶¡

µ¡x3 ¢@v+x2

µ@v@u¢@x+@v2 ¢@x¶¶

@2z

@u @

2z @v

2 @z 1

2z @u @

2z @v

¶¶=

= µ@u2 ¢1+@u@v¢ µ¡x2

¶¶+x3

@v¡x2

µ@v@u¢1+@v2 ¢

µ¡x2

@2z

@z 1

@2z

1 @2z

@u2

@u@v

@v@u

@v2

@2z

2 @z

1 @2z

@u2

@u@v

@v2

@2z

¶y =

¶y ¡

¶y =

@x@y

@2z @u

@2z

@u @2z

= µ

¶ ¡

¶ =

@u2

@u@v

@v@u

@v2

= µ@u2 ¢ 1 + @u@v ¢ µ¡y2

¶¶ ¡ x2

µ@v@u ¢ 1 +

@v2

µ¡y12

¶¶ =

@2z

1 @2z

@2z

@u2

@u@v

@v@u

x2y2

@v2

@y2 = µ

@u ¡ y12 ¢ @v¶y

= µ

¶y ¡ µy12

¢ @v

¶y =

@2z

= µ@u2 ¢@y +@u@v¢@y¶¡ µ¡y23

¢@v+y12

µ@v@u¢

+@v2 ¢@y¶¶

@2z @u @2z @v

2z @u @2z @v

¶¶=

µ@u2

¢1+@u@v¢ µ¡y12

¶¶+y23 ¢@v¡y12

µ@v@u¢1+@v2 ¢ µ¡y12

@2z

2 @z

1 @2z

@u2

@u@v

@v@u

@v2

@2z

@u2

@u@v

@v2

Подставим найденные производные в исходное уравнение:

@2z

2 @z

1 @2z

x2 ¢ µ

¶¡

@u2

@u@v

@v2

x2 + y2

¢ µ

@2z

¶+

@u2

@u@v

@v@u

x2y2

@v2

@2z

+y2 ¢

¶ = 0;

@u2

@u@v

@v2

2 @2z

@2z

2 @x

@2x

2 @2z

@2z

¡ 2

¡ x

@u2

@u@v

@v2

@u2

@u@v

@2z

2 @2z

@2z

y2 @2z

¡ y

@u@v

@v2

@u2

@u@v

@v@u

1 @2z

2 @2z

@2z

2 @z

@z2

+ y

¡ 2

= 0;

@v2

@u2

@u@v

@v2

@2z

¡ 2

+ µ

= 0;

@u@v

@2z

+ µ

¡ 2¶

= 0;

@u@v

2v ¢

+ µ

@2z

= 0:

@u@v

Выразим µ

через u и v:

8u = x + y

>v = 1 + 1 )

>v = x + y )

>xy = u

µy

¡ x¶

x y

¡ y2

2 =

(x ¡ y) (x + y)

2 =

= 0(x ¡uy) ¢ u

= (v (x y))2 = v2 u2

4 v =

¢ ³

¡ ¢

¡ @

2z¡

= u2v2

4uv = v u2v

4u ;

u v

= 0;

@2z

2¢

@u@v @z

;

@2z

@u@v

u v

= 2@v

@u@v

u (4

uv)

Задание 5. Перейдя от функции z (x; y) к функции W (u; v), пре-

образовать к новым переменным уравнение:

x2 ¢

+ y2 ¢

= z2; если u = x; v =

; w =

Решение:

Пусть u(x; y; z); v(x; y; z);

w(x; y; z).

Воспользуемся следующей формулой:

8wu0 (ux0 + uz0 ¢ zx0 ) +wv0 (vx0 + vz0 ¢ zx0 ) = wx0 + wz0 ¢ zx0

u0 ¡

z0 ¢

y0 ¢

+ u

+ v

+ w

+w v

= w

8 wu0 (1 + 0 ¢ zx0 ) + wv0

µx2 + 0 ¢ zx0 ¶ = x2 ¡

z2 ¢ zx0

µ¡y

¡ z

> w0 (0 + 0

) + w0

+ 0

= 0

¡ z2 ¢ zx0

8 wu0 1+ x2

¢ wv0 =1 x2

wv0

zy0 :

> ¡y

¡z

8	1	¢ zx0				1		1		¢ wv0 ¡ wu0
				2=				¡
	z2			2=			x2	¡	x2
<			z	2
> zy0		=	z		¢	wv0
> zy0		=				wv0
>		y
:

Выразим x; y; z через u; v; w:

x22 ¡ x2 ¢

v ¡

> z0

< y

8 u =	1		1
> v =	x
>
>		1	1
<		1	1
>		y	¡	x
>
>
>
:
> w = z			¡ x:

1 =

8 x = u u

> y

uv + 1

= v +

y =

> z = w + x

> z = w + u

> z = uw + 1

Подставим значения x; y; z; zx0 ; zy0 в исходное уравнение:

u2 µ

¢ wv0 ¡

¢ wu0

¶ +

¢ wv0 ¶ =

(uw + 1)2

(uv + 1)2

(uw + 1)2

u2(uv + 1)2

¢wv0

¢wu0 +

¢wv0 =

(uw + 1)2

(uv + 1)2

(uw + 1)2u2

(uw + 1)2

Умножим обе части равенства на (uw + 1)2 : u2

1 ¡ wv0 ¡ u2wu0 + wv0 = 1;

¡u2wu0 = 0;

wu0 = 0:

Лабораторная работа № 4

Экстремум функции многих переменных

Задание 1. Найти экстремумы функции, заданной следующим

уравнением:

а) u = x3 + 3xy2 ¡ 39x ¡ 36y + 26:

Решение. Используем следующий алгоритм определения экстре-

мума функции двух переменных:

1. Находим область определения функции.

2. Находим стационарные точки функции, т.е. точки, для которых

< uy0

(x0

; y0) = 0

8 ux0

(x0

; y0) = 0;

(необходимое условие

экстремума), и точки, в которых производные не

существуют.

3. Пусть (x0; y0) стационарная точка. Находим производные zxx00 ,

zxy00 , zyy00 и их значения в точке (x0; y0). Обозначим

A = zxx00 (x0; y0); B = zxy00 (x0; y0); C = zyy00 (x0; y0);

zxx00 (x0

; y0) zxy00 (x0; y0)

= ¯

A B

= AC B2:

zxy00 (x0

; y0) zyy00 (x0; y0)

B C

4. В зависимости¯

от знаков A и M¯

делаем¯

вывод:¯

1)Если M> 0, A > 0, то (x0; y0) точка минимума

2)Если M> 0, A < 0, то (x0; y0) точка максимума.

3)Если M= 0, то (x0; y0) может как быть, так и не быть точкой экстремума, поэтому требуется дополнительное исследование.

4)Если M< 0, то (x0; y0) не является точкой экстремума.

Определим точки экстремума рассматриваемой функции (опреде-

лена при всех x и y). Найдем частные производные 1-го порядка

@u@x = 3x2 + 3y2 ¡ 39, @u@y = 6xy ¡ 36.

Согласно необходимым условиям экстремума получаем систему урав-

нений 8

<x2 + y2 = 13

:xy = 6:

Решив эту систему, найдем все стационарные точки: (3; 2), (¡3; ¡2),

(2; 3), (¡2; ¡3). Вычислим частные производные 2-го порядка:

@2u		= 6x;	@2u	= 6y;	@2u	= 6x:
@x2			@x@y		@y2

В данном случае A = 6x,
4	=	¯	6x	6y	¯	= 36(x2	¡	y2):
4		¯	6y	6x	¯		¡
		¯			¯
		¯			¯
		¯			¯
		¯			¯

Рассмотрим каждую точку, как указано в п.4 приведенного выше алгоритма.

1)В точке (3; 2): A = 6 > 0, 4 = 36 ¢ 5 > 0; следовательно, в этой точке функция имеет строгий минимум u(3; 2) = ¡100.

2)В точке (¡3; ¡2): A = ¡6 < 0, 4 = 36 ¢ 5 > 0; следовательно, в этой точке функция имеет строгий максимум u(¡3; ¡2) = 152.

3)В точке (2; 3): A = 4 > 0, 4 = ¡36 ¢ 5 < 0; следовательно, в этой точке экстремума нет.

4) В точке (¡2; ¡3): A = ¡4 < 0, 4 = ¡36 ¢ 5 < 0; следовательно, в этой точке экстремума нет.

б) u = 3x3 + y2 + z2 + 6xy ¡ 2z + 1.

Решение. Здесь используем следующий алгоритм определения экстремума функции трех переменных (применяется также и для любого количества переменных).

1)Необходимое условие экстремума: @u@x = 0, @u@y = 0, @u@z = 0.

2)Достаточное условие экстремума.

Пусть (x0; y0; z0) стационарная точка.

²Если второй дифференциал d2u(x0; y0; z0) > 0 при любых dx, dy, dz, не равных одновременно нулю (т.е. является положительно-опреде- ленной формой переменных dx, dy, dz), то (x0; y0; z0) точка минимума.

²Если второй дифференциал d2u(x0; y0; z0) < 0, то (x0; y0; z0) точка максимума.

Для определения знака d2u(x0; y0; z0) используется критерий Сильвестра: пусть 41, 42, 43 главные миноры соответственно первого,

второго и третьего порядков матрицы

@2u

@ u

@x2

@x@y

@x@z

@2u @

2u @2u

@2u

B @y@x

@y@z

@z@x

@z@y

(производные вычислены в точке (x0; y0; z0)). Тогда

d2u(x0; y0; z0) > 0	()	41 > 0; 42 > 0; 43 > 0;
d2u(x0; y0; z0) < 0	()	41 < 0; 42 > 0; 43 < 0:

Замечание. Если d2u(x0; y0; z0) знакопеременная квадратичная форма (иное чередование знаков), то экстремума в точке (x0; y0; z0) нет. Если d2u(x0; y0; z0) ¸ 0 (· 0), экстремум может как быть, так и не быть (требуется дополнительное исследование).

Для рассматриваемой функции найдем частные производные пер-

вого порядка:

= 9x2 + 6y;

= 2y + 6x;

= 2z ¡ 2:

Решив систему

3x2 + 2y = 0;

>y + 3x = 0;

>z ¡ 1 = 0;

(2;

6; 1)

(0; 0; 1)

найдем стационарные точки>

Вычислим частные производные второго порядка:

@2u

@2u @2u

= 18x;

= 2;

= 6;

= 0:

@x2

@y2

@x@y

@x@z

@y@z

Матрица производных в данном случае имеет вид

B	18x	6	0	C	:
B	6	2	0	C	:
B				C
B				C
@				A

00 2

В точке (2; ¡6; 1) её главные миноры: 41 = 18x = 36 > 0;

4	2	=	¯	18x	6	¯	= 36x			¡	36 = 36 > 0;
4			¯	6	2	¯				¡
			¯			¯
			¯	18x	6	¯
			¯	18x	6	¯0
			¯			¯		¯
4			¯					¯			¡
4			¯					¯			¡
			¯	0	0		2	¯
	3	=	¯	0	0		2	¯	= 72x 72 = 72 > 0:
	3	=	¯	6 2			0	¯	= 72x 72 = 72 > 0:
			¯					¯
			¯					¯
			¯					¯
			¯					¯

Следовательно, в этой точке функция имеет минимум u(2; ¡6; 1) = ¡12. В точке (0; 0; 1) нельзя использовать критерий Сильвестра, так как

41 = 0. Легко видеть, что в этой точке экстремума нет. В самом деле, u(0; 0; 1) = 0, а в сколь угодно малой окрестности точки (0; 0; 1) функция принимает как положительные, так и отрицательные значения. Например, u("; 0; 1) = 3 "3 > 0, если " > 0, и u("; 0; 1) = 3 "3 < 0, если " < 0.

Задание 2. Исследовать функцию на условный экстремум: u = 6 ¡ 5x ¡ 4y, x2 ¡ y2 ¡ 9 = 0.

Решение. Используем метод Лагранжа (см. [4], стр. 114). Функции u(x; y) и '(x; y) = x2 ¡ y2 ¡ 9 дважды непрерывно дифференцируемы. Матрица Якоби в данном случае имеет вид ('0x; '0y) = (2x; ¡2y), и ее ранг равен единице во всех точках, удовлетворяющих уравнению связи

'(x; y) = 0. Следовательно, метод Лагранжа применим. Запишем функцию Лагранжа (L(x; y) = u(x; y) + ¸'(x; y)):

L(x; y) = 6 ¡ 5x ¡ 4y + ¸(x2 ¡ y2 ¡ 9):

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]