Лабораторные работы и методические указания по теме Функции многих переменных (110

которой точка (x; y) стремится к О(0,0)). Поэтому функция не является непрерывной в точке О(0,0).

Аналогично проверяется непрерывность в любой точке A(x0; y0).

Лабораторная работа № 2 Дифференцирование функции многих переменных

Задание 1. Исследовать, имеет ли функция u = u(x; y) частные производные в точке (0; 0) и дифференцируема ли она в этой точке:

p

u = 3 x3 + y3:

Решение: Вычислим сначала частные производные в точке (0,0) ([6],

Предположим, что функция u дифференцируема в точке О(0,0). Тогда,

21

Докажем, что этот двойной предел не существует.

(т.е. по различным траекториям получаем различные значения пределов). Значит, u(x; y) не дифференцируема в точке О(0,0).

Задание 2. Используя определение дифференциала, вычислить при-

p

Решение: Число (sin2 1; 55 + 8e0;015)5 есть частное значение функции f(x; y) = (sin2 x + 8ey)52 при x = 1; 55; y = 0; 015: Положим x =

¼

x0 + 4x; y = y0 + 4y, где x0 = 2 ¼ 1; 571, y0 = 0. Тогда

¼

4x = x ¡ x0 = 1; 55 ¡ 2 ¼ 1; 55 ¡ 1; 571 = ¡0; 021;

4y = y ¡ y0 = 0; 015 ¡ 0 = 0; 015:

22

Дифференциал функции f(x; y) в точке (x0; y0) при указанных приращениях 4x, 4y равен

df(x0; y0) = fx0 (x0; y0)4x+fy0 (x0; y0)4y = 0¢(¡0; 021)+540¢0; 015 = 8; 1:

Поэтому,

q

(sin2 1; 55 + 8e0;015)5 ¼ f(x0; y0) + df(x0; y0) = 243 + 8; 1 = 251; 1:

Задание 3. Вычислить частные производные

Задание 4. Найти частные производные первых двух порядков сложной функции u, если ' дважды дифференцируемая функция:

a) u = '(x2 + y2; x2 ¡ y2; 2xy).

Решение. Обозначим a = x2 + y2; b = x2 ¡ y2; c = 2xy.

23

u0x = '0a ¢ a0x + '0b ¢ b0x + '0c ¢ c0x = '0a ¢ 2x + '0b ¢ 2x + '0c ¢ 2y u0y = '0a ¢ a0y + '0b ¢ b0y + '0c ¢ c0y = '0a ¢ 2y + '0b ¢ (¡2y) + '0c ¢ 2x u0xx = ('0a ¢ 2x + '0b ¢ 2x + '0c ¢ 2y)0x =

=2 ¢ ('0a ¢ x)0x + 2 ¢ ('0b ¢ x)0x + 2y ¢ ('0c)0x =

=2 ('0a + x ¢ ('00aa ¢ a0x + '00ab ¢ b0x + '00ac ¢ c0x)) +

+2 ('0b + x ¢ ('00ba ¢ a0x + '00bb ¢ b0x + '00bc ¢ c0x)) +

+2y ('00ca ¢ a0x + '00cb ¢ b0x + '00cc ¢ c0x) =

=2'0a + 4x2'00aa + 4x2'00ab + 4xy'00ac + 2'0b+

+4x2'00ba + 4x2'00bb + 4xy'00bc + 4xy'00ca + 4xy'00cb + 4y2'00cc:

24

б) u = ' (2x; 3y; 4z).

u0x = '0a ¢ a0x + '0b ¢ b0x + '0c ¢ c0x = 2 ¢ '0a + 0 ¢ '0b + 0 ¢ '0c = 2 ¢ '0a u0y = '0a ¢ a0y + '0b ¢ b0y + '0c ¢ c0y = 0 ¢ '0a + 3 ¢ '0b + 0 ¢ '0c = 3 ¢ '0b u0z = '0a ¢ a0z + '0b ¢ b0z + '0c ¢ c0z = 0 ¢ '0a + 0 ¢ '0b + 4 ¢ '0c = 4 ¢ '0c

u00xx = (2'0a)0x = 2 ('0a)0x = 2 ¢ ('00aa ¢ a0x + '00ab ¢ b0x + '00ac ¢ c0x) =

= 2 ¢ ('00aa ¢ 2 + '00ab ¢ 0 + '00ac ¢ 0) = 4'00aa

u00xy = (2'0a)0y = 2 ('0a)0y = 2 ¢ ¡'00aa ¢ a0y + '00ab ¢ b0y + '00ac ¢ c0y¢ =

= 2 ('00aa ¢ 0 + '00ab ¢ 3 + '00ac ¢ 0) = 6 ¢ '00ab

u00xz = (2'0a)0z = 2 ('00aa ¢ a0z + '00ab ¢ b0z + '00ac ¢ c0z) =

= 2 ('00aa ¢ 0 + '00ab ¢ 0 + '00ac ¢ 4) = 8'00ac

u00yz = (3'0b)0z = 3 ('00ba ¢ a0z + '00bb ¢ b0z + '00bc ¢ c0z) =

= 3 ('00ba ¢ 0 + '00bb ¢ 0 + '00bc ¢ 4) = 12'00bc

u00yy = (3'0b)0y = 3 ¡'00ba ¢ a0y + '00bb ¢ b0y + '00bc ¢ c0y¢ =

= 3 ('00ba ¢ 0 + '00bb ¢ 3 + '00bc ¢ 0) = 9'00bb

u00zz = (4'0c)0z = 4 ('00ca ¢ a0z + '00cb ¢ b0z + '00cc ¢ c0z) =

= 4 ('00ca ¢ 0 + '00cb ¢ 0 + '00cc ¢ 4) = 16'00cc:

Задание 5. Найти дифференциалы первых двух порядков функции:

u = x3 + y3 ¡ 3xy(x ¡ y):

Решение. Представим функцию u в виде:

u = x3 + y3 ¡ 3x2y + 3xy2:

25

Дифференциал первого порядка вычисляется по формуле:

du = @u@x dx + @u@y dy:

Поэтому имеем

@u@x = ¡x3 + y3 ¡ 3x2y + 3xy2¢0x = 3x2 ¡ 6xy + 3y2 @u@y = ¡x3 + y3 ¡ 3x2y + 3xy2¢0y = 3y2 ¡ 3x2 + 6xy

du = ¡3x2 ¡ 6xy + 3y2¢dx + ¡3y2 ¡ 3x2 + 6xy¢dy

Дифференциал второго порядка вычисляется по формуле:

d2u = (6x ¡ 6y) dx2 + 2 (6y ¡ 6x) dx dy + (6y + 6x) dy2

Лабораторная работа № 3 Неявные функции и их приложения

Задание 1. Найти частные производные первого и второго порядков функции z = z(x; y), заданной неявно следующим уравнением:

z3 ¡ 3xyz = a3

Решение:

z3 ¡ 3xyz ¡ a3 = 0:

26

Вычислим производную по x:

27

Вычислим zxy00 :