Модели и методы поддержки сбалансированного развития региональных экономических систем (110

где w(t) − суммарный валовой выпуск системы, выпущенный за t периодов. С учетом (3.7) получаем

max F = max w(T ) .

Таким образом, для решения исходной задачи можно использовать принцип дискретного максимума Понтрягина, смысл которого заключен в следующей теореме: для того чтобы управление (αi (t)), t = t0 ,t0 +1,...,T было

оптимальным, необходимо, чтобы функция Гамильтона

на этом управлении достигала максимального значения.

Рассмотрим модель Лисичкина для некоторой системы, в которой ис-

пользуются два основных вида ресурсов: трудовые ресурсы и основной фонд:

мы финансовых средств, которые могут быть использованы для увеличения соответственно основных фондов и фондов оплаты труда в году t ; γ j – ко-

эффициент приоритетности j -го элемента системы; весовые коэффициенты β j (t) и μ j (t) представляют собой доли от объема финансовых средств, иду-

щие на расширение соответственно основных фондов и фондов оплаты труда, значение данных величин предполагается установить в результате решения задачи.

21

Пример 1

Пусть некоторая региональная система состоит из 4 (i =1, 2,…, 4) отраслей. Известны следующие данные.

Величины дополнительного финансового ресурса на период 2 года приведены ниже.

Для второго года аналогично.

В результате решения задачи мы должны получить ряд рекомендаций, состоящих в том, в какую отрасль и какую часть дополнительных финансовых ресурсов региона следует направить для каждого из двух лет.

22

§ 2. Мультипликатор Кейнса. Модель Лурье. Оптимизация социально-экономических процессов региона

Предположим, что в некоторую РЭС поступают определенные финансовые ресурсы Ф, которые расходуются на накопление (капиталовложение) K и потребление Q , т.е.: Ф = K + Q.

Тогда прирост финансовых ресурсов распределяется следующим обра-

треблению, доля прироста потребления во всем приросте финансов. Таким

вают мультипликатором Кейнса. Чем больше предельная склонность к потреблению, тем выше коэффициент мультипликации. Величина мультипликации – это результат прироста доходов и соответственно спроса в инвестиционных и сопряженных с ними отраслях.

Теперь рассмотрим некоторую экономическую систему, которая выпускает некоторую продукцию объемом: Pt = F (Kt ,Lt ) , используя основной

капитал Kt и трудовые ресурсы Lt . Финансовый ресурс на начало года формирует основной капитал и потребление в годуt : Фt−1 = Kt + Qt .

С другой стороны, финансовый ресурс в конце года учитывает выпу-

Рассчитаем мультипликатор Кейнса:

23

Величины дополнительного финансового ресурса на период 3 года приведены ниже:

периоде вид производственной функции изменился для второй отрасли:

0,8K0,57 L0,43e0,05t .

Построить модель Лисичкина. Сделать расчет.

2. Пусть в некоторой региональной экономической системе действуют 5 отраслей, данные по которым приведены в таблице ниже:

Построить модель Лисичкина. Сделать расчет.

3. В Воронежской области представлены 6 видов экономической деятельности, для которых были восстановлены производственные функции.

3.1.Обрабатывающие производства:

Yобр (t ) = 31878,1+ 1,18K (t ) + 1,57L(t ).

3.2. Производство и распределение электроэнергии, газа и воды:

24

На 2015 г. было запланировано распределить следующий объем финансового ресурса: 10 071 млн руб. на расширение основных фондов и 908 млн руб. на расширение фондов оплаты труда.

Построить модель Лисичкина. Сделать расчет.

4. Рассчитайте предельную склонность к потреблению и мультипликатор Кейнса по модели Лурье для отрасли «Сельское хозяйство» Воронежской области, если известны следующие характеристики отрасли: производственная функция – функция Кобба – Дугласа Pt =12,8Kt0,36 L0,64t t0 = 2003год,

Ф2003 = 50000 тыс. руб. Ресурсы отрасли приведены в таблице (в тыс. руб.)

25

ГЛАВА IV. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СХЕМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ РЕГИОНАЛЬНОЙ ЭКОНОМИКИ

§ 1. Понятие экономического потенциала региона

Для характеристики региона используется множество различных показателей:

1.ВВП (внутренний валовой продукт);

2.ПТ (производства труда);

3.ВВП на душу населения.

Актуальной задачей современной экономики является задача построения траектории развития региона. Под траекторией развития понимают совокупности выбранных для оценки характеристик, меняющихся в процессе функционирования системы. Для построения и анализа траектории развития региона введем понятие экономического потенциала региона.

Экономическим потенциалом (ЭП) будем называть совокупную возможность субъектов хозяйственной деятельности региона по выпуску продукции, рассчитанной в действительных ценах при оптимальном использовании имеющихся в распоряжении региона ресурсов при достижении следующих целей:

1)формирование максимального удовлетворения потребностей системы в товарах и услугах;

2)поддержка устойчивого сбалансированного роста экономических показателей региона;

3)содействие росту национального дохода страны [7].

= ( ),Ф( ) , где ( ) – оценка ЭП, Ф( ) – объем необходи-

мых финансовых средств для обеспечения данного уровня использования ЭП [38]. Поскольку ЭП оценивается в разрезе ВЭД, все характеристики являются векторными. Совпадение основных положений определений производственных функций и экономического потенциала позволяет сформулировать обоснованное предположение об использовании аппарата производственных функций для оценки экономического потенциала.

§ 2. Модель поиска оптимальной траектории развития региональной экономики

Основываясь на математических моделях и понятиях, введенных раньше, построим математическую модель для отыскания оценки экономического потенциала, состоящую из нескольких блоков.

В основу первого блока ограничений была положена модифицированная модель Лисичкина (глава 3). Смысл данного блока ограничений заклю-

26

чается в оптимальном распределении дополнительного финансового ресурса региона между видами экономической деятельности, доступного в данный момент времени:

(1)– оценка ЭП осуществляется на основе производственных функций;

(2)– фактический объем выпуска ниже ЭП, это следует из определения понятия ЭП;

(3)– основной фонд каждого ВЭД в конкретный момент времени есть сумма основного фонда за предыдущий период и доля дополнительного финансового ресурса;

(4)– фонд оплаты труда каждого ВЭД в конкретный момент времени есть сумма фонда оплаты труда за предыдущий период и доля дополнительного финансового ресурса;

(5)–(8) – ограничения на долю дополнительного финансового ресурса для каждого ВЭД, идущую соответственно на развитие и расширения основных фондов и фондов заработной платы;

Воснову второго блока ограничений были положены балансовые отношения между ВЭД региона, описывающие потребности РЭС для полноценного функционирования:

27

(9) – валовый выпуск каждого элемента РЭС должен покрывать потребности материального производства и величину условно частой продукции, включающей в себя амортизацию капитала, труда и прибыль; здесь d j – доля выбытия основных производственных фондов в j-м элементе

РЭС; Prj (t) – прибыль j-го элемента РЭС;

(10) – валовый выпуск каждого элемента РЭС должен покрывать потребности материального производства, расширение и реконструкцию основных фондов (восполнение их выбытия) и конечное потребление; здесь bij – коэффициент технологической структуры капитальных вложений; Vj –

эффициент перевода в среднегодовые показатели;

(12)– ограничение на максимальное значение общего конечного продукта по всем элементам РЭС; здесь J – максимальный суммарный объем конечного продукта, необходимого для нормального функционирования системы;

(13)– ограничение на минимальное значение конечного продукта по каждому элементу РЭС; здесь gi – минимальная доля выпуска, идущего на

непроизводственное потребление;

(14) – верхняя и нижняя граница изменения прибыли в j-м элементе

РЭС; Следующий блок представляет собой ограничения на дополнительные ре-

сурсы, необходимые региону (например, ресурсы, поступающие из других регионов):

28

(4.16)–(4.17) – блок начальных значений капитала, трудовых ресурсов

ивыпуска на нулевой период (начало периода).

Всилу того что при разработке моделей поиска оптимальной траектории развития РЭС обычно ставятся несколько задач, то в качестве цели здесь используют вектор целевых функций, например:

(4.20) – максимизация взвешенной суммы валовых выпусков продукции элементов РЭС; здесь λit – коэффициенты значимости продукции i -го

элемента РЭС; (4.21) – максимизация суммарного валового выпуска;

(4.22) – увеличение фонда оплаты труда на единицу выпущенной продукции каждого ВЭД; из полученных значений функции цели находим самый низкий показатель и его стремимся максимизировать, чтобы равномерно увеличить фонд оплаты труда в каждом ВЭД.

Неизвестными в данной модели являются:

{π i (t ), Xi (t ), Ki (t ), Li (t ),Yi (t ), Prj (t )}.

§ 3. Методы Соболя для расчета наилучшей траектории развития РЭС

Метод Соболя широко применяется для получения приближенного решения многокритериальных задач произвольной структуры. Этот способ

29

удобен в тех случаях, когда на неизвестные параметры накладывают параметрические ограничения (или же их можно выделить из уже имеющихся), как правило, это делают проектировщики задач, и когда о допустимом множестве (множестве альтернатив) мы практически ничего не знаем, кроме того, что оно ограничено. Этот метод будет также удобен не только потому, что в задаче может быть несколько функций цели, но и потому, что он предоставляет гибкий механизм решения нелинейных задач. Тем более в модели используются производственные функции, вид которых в следующем расчетном периоде на основе новых полученных данных может меняться. Описание метода Соболя приведено в приложении 2 данного методического пособия.

Для расчета по методу Соболя необходимо, чтобы на все неизвестные переменные в модели были наложены двусторонние ограничения. Некоторые ограничения формируются на основе требований внешней среды, другие ограничения получаются из статистики прошлых лет, еще информацию можно получить из самой модели. Так для неизвестных в модели поиска оптимальной траектории развития РЭС выделим следующие ограничения:

Xi (t −1) ≤ π i (t ) ≤ f (Ki (t ), Li (t )), Xi (t −1) ≤ Xi (t ) ≤ π i (t ),

Ki (t −1) ≤ Ki (t ) ≤ Ki (t ), Li (t −1) ≤ Li (t ) ≤ Li (t ),

30