Модели и методы поддержки сбалансированного развития региональных экономических систем (110

Глава II. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОЦЕНКИ ХАРАКТЕРИСТИК РОСТА И РАЗВИТИЯ РЭС

§ 1. Основные понятия и факты

Для исследования региона и его хозяйственных объектов используется аппарат производственных функций. Производственная функция (ПФ) представляет собой экономико-статистическую модель процесса производства продукции, отражающую устойчивую закономерную количественную зависимость между объемным показателем ресурсов и максимально возможным выпуском при эффективном использовании ресурсов. Рассмотрим некоторый хозяйственный объект, реализующий свою деятельность, для которого определены входной и выходной потоки, но неизвестен закон преобразования входов в выходы, неизвестна производственная функция. Задача состоит в определении аналитического вида этой функции. С этой целью

создается статистика накопления входных потоков { ˆ } и соответствующих

X

им выходных потоков {Yˆ}, т.е. история протекания процессов. По этой ста-

тистике и восстанавливается аналитический вид функции. В общем виде ПФ имеет вид f ( X ,Y , a) = 0 , где X = ( X1,…, Xn ) – вектор производственных

ресурсов, Y = (Y1,…,Ym ) – вектор объемов выпуска, a = (a1,…, ak ) – параметры производственной функции.

Для этого необходимо выбрать класс аппроксимирующих функций, точность аппроксимации, критерий согласия между функцией и статистическими данными.

На практике обычно используют следующие классы функций:

−линейные комбинации функций 1, x, x2 ,…, xn , т.е. аппроксимация алгебраическим многочленом заданной степени;

−линейные комбинации функции sin (αk x) и cos (αk x) , т.е. аппроксима-

ция тригонометрическим многочленом, или отрезком ряда Фурье;

−комбинации экспоненциальных функций eγ k xk с вышеуказанными и некоторые другие;

−классы функций, удовлетворяющие ранее заданным свойствам (класс производственных функций).

В качестве критерия согласия используются три условия:

1) точное совпадение значений искомой функции со статистическими данными (критерий интерполяции);

2) сумма квадратов отклонений значений искомой функции и заданных значений должна быть минимальной (критерий среднеквадратической аппроксимации);

3) максимальное по абсолютной величине из отклонений значений искомой функции и заданных значений должно быть минимальным (критерии равномерной аппроксимации).

11

Выбор класса функций зависит от свойств искомой производственной функции. Сформулируем основные свойства таких функций:

1.f (x1,…, xn ) определена на всей области определения;

2.f (0,…, xn ) = … = f (x1,…,0) = 0 , т.е. при отсутствии хотя бы одного из

ресурсов выпуск продукции нулевой;

3. f (x1,…, xn ) непрерывно дифференцируемая по каждому аргументу и

неубывающая функция, т.е. при увеличении затрат или улучшении их качества выпуск продукции не уменьшается:

∂f (x1,…, xn ) ≥ 0, i = 1, n.

∂xi

4. С увеличением количества одного ресурса при постоянных качествах других предельная эффективность использования этого ресурса не возрастает, т.е.

∂2 f (x1,…, xn ) ≤ 0, i = 1, n. ∂xi2

5. f (+∞,…, xn ) = … = f (x1,…,+∞) = +∞ , т.е. при неограниченном увеличе-

нии одного из ресурсов выпуск неограниченно растет.

Существует достаточно большое множество производственных функций: однофакторные, многофакторные, функция Леонтьева (затраты – выпуск), Кобба–Дугласа, линейные и нелинейные, функция Алена, функция CES, LES, функция Солоу. В зависимости от исходных данных, структуры рассматриваемого объекта (либо каких иных данных), требований, предъявляемых к производственной функции, подходы и методы ее построения могут различаться. В приложении 1 представлены наиболее распространенные виды производственных функций с краткой их характеристикой. В исследованиях распространены производственные функции, отражающие зависимость объема выпуска от затрат двух видов ресурсов: трудовых ( L ) и основных фондов (K). Выделим основные виды ПФ:

1. Линейная: Y = α1K +α2 L, α1,α2 > 0 .

2.Кобба – Дугласа: Y = AKα Lβ , A, α , β > 0 , α + β = 1

3.ПФ с постоянной эластичностью замены (CES):

Y = (a1K − a3 + a2 L− a3 )−1/a3 , a1, a2 ,a3 > 0.

§ 2. Задача поиска аналитического вида производственной функции

Для восстановления аналитического вида линейной ПФ и линеаризуемой (ПФ Кобба – Дугласа) используется метод наименьших квадратов (МНК), для других видов ПФ необходимо применение численных методов. МНК является одним из базовых методов регрессионного анализа для оцен-

12

ки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным. При построении линейной регрессии предполагается, что линейная модель наилучшим образом характеризует зависимость между X иY :

y = β0 + β1x + ε ,

метров модели ( β0 и β1 соответственно). Для получения наилучших оце-

нок необходимо, чтобы выполнялся ряд предпосылок и предположений относительно случайного отклонения:

ei = yi − yˆi = yi − b0 − b1xi .

1.Случайные отклонения имеют нормальный закон распределения;

2.Отсутствуют ошибки спецификации;

3.Число наблюдений достаточно большое (как минимум в шесть раз превышает число объясняющих факторов).

Тесноту линейной зависимости изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции rxy :

мерой взаимосвязи случайных величин и служит для определения направления их изменений:

− если cov (x, y) > 0 , то случайные величины (СВ) изменяются в одном направлении;

лированными, т.е. отсутствует линейная зависимость между X и Y.

В качестве меры рассеивания фактического значения у относительно

Пример 1

Пусть проведено n экспериментов по измерению значений yi некоторой функции F в точках xi . Известно, что искомая функция принадлежит семейству функций F (x) = ax + b . Задача состоит в отыскании параметров a и b . Будем решать ее методом наименьших квадратов. Подберем парамет-

13

ры a и b так, чтобы обеспечить минимум суммы квадратов отклонения между экспериментальными значениями yi и ожидаемыми значениями

F (xi ) , т.е. остаточной дисперсии:

Сделаем следующую замену в системе уравнений (2.3):

Тогда решение такой системы (2.5) будем искать по формуле Крамера:

a = DDa ; b = DDb .

При выборе среди нескольких функций предпочтение отдается той,

Примечание: для восстановления аналитического вида ПФ Кобба – Дугласа МНК ее для начала приводят к линейному виду:

14

необходимо провести следующий анализ:

1. Провести оценку значимости коэффициентов регрессии.

Для этого вычисляем случайные ошибки коэффициента корреляции и оценок параметров линейной модели по следующим формулам:

2. Построениедоверительныхинтерваловдлякаждогокоэффициента.

Каждая оценка дополняется доверительным интервалом. Для этого определяют предельную ошибку для каждого коэффициента: i = tα /2,n−2Si , отку-

да границы доверительного интервала находятся по формуле: bi ± bi .

3. Оценка значимости всего уравнения регрессии.

Коэффициент детерминации для парной регрессии: R2 = rx2y и характе-

ризует долю дисперсии результативного признака у, объясняемую регрессией в общей дисперсии результативного признака. Соответственно ве-

15

ляющей определить, в какой степени найденная прямая регрессии дает лучший результат для объяснения поведения зависимости переменной у, чем прямая y = y . Очевидно, что 0 ≤ R2 ≤ 1 , чем ближе R2 к единице, тем боль-

ше уравнение регрессии объясняет поведение фактических значений у, поэтому стремятся построить уравнение регрессии с наибольшим R2 . Для множественной регрессии используют скорректированный коэффициент де-

положение, что коэффициенты b0 и b1 одновременно равны нулю, тогда

уравнение считается незначимым, иначе – значимым. Данная гипотеза проверяется на основе дисперсионного анализа:

что объясненная дисперсия существенно больше остаточной, следовательно, уравнение регрессии достаточно качественно отражает динамику изменения зависимой переменной от объясняющей;

− если F < Fкр , то гипотеза H0 принимается.

Изложенные выше шаги можно осуществить с помощью встроенного в Excel пакета математической статистики. Подробнее весь механизм проведения анализа изложен в рамках курса «Эконометрика».

16

Задачи

1. Выпуск некоторой отрасли продукции в регионе описывается

3 1

функцией: Y = 2489 K 4 L4 .

1)Во сколько раз увеличится выпуск продукции отрасли, если в 2 раза увеличится использование трудовых ресурсов и в 4 раза – капитала?

2)Во сколько раз увеличится объем выпуска продукции, если применение количества труда вырастет на 4 %, а капитала – на 12 %?

3)Как изменится объем выпуска продукции отрасли, если в 3 раза увеличится использование капитала, а трудовых ресурсов уменьшится на

15 %?

4)Как изменится объем выпуска продукции отрасли, если на 10 % уменьшится применение капитала, а трудовых ресурсов увеличится в 5 раз.

2. Проведено 15 экспериментов по отысканию значений некоторой функции F. Результаты приведены в таблице ниже.

3. Отрасль выпускает некоторую продукцию, используя два вида ресурсов: трудовые и основные фонды. Известно, что производственная функция для этой фирмы описывается линейной зависимостью. За последние 15 лет сохранилась статистика, приведенная ниже.

Необходимо восстановить вид производственной функции МНК и провести анализ качества построенной модели.

4. Рассматривается некоторая отрасль, которая выпускает один вид продукции, используя два вида ресурсов: основные фонды и трудовые ресурсы. Известна статистика за последние 24 года. Найти производственную функцию, которая лучше всего описывает зависимость выпуска от затрачиваемых ресурсов, и провести анализ качества построенной модели. Данные приведены в таблице ниже.

−Линейная Y = aK + bL,a,b > 0

−Кобба – Дугласа Y = AKα L1−α , A,α > 0.

17

5. Рассмотрим регион, в котором некоторая отрасль выпускает продукцию, используя два вида ресурсов: основные фонды и трудовые ресурсы. Известна статистика за последние 24 года. Найти производственную функцию, которая лучше всего описывает зависимость выпуска от затрачиваемых ресурсов, и провести анализ качества построенной модели. Данные приведены в таблице ниже.

−Кобба – Дугласа Y = AKα L1−α , A,α > 0

−Кобба – Дугласа с учетом НТП Y = AKα L1−α eβ t , A,α , β > 0

18

Глава III. МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ РЕГИОНА

§ 1. Модель оптимального использования финансовых ресурсов. Модель Лисичкина

Важным условием эффективного развития региона является его обеспеченность финансовыми ресурсами. Рассмотрим основные положения формирования финансов региона.

Финансовые ресурсы, созданные на его территории, складываются из следующих основных частей:

−ресурсы бюджетов всех уровней (используются для текущего финансирования экономики региона и ее приоритетных направлений);

−ресурсы субъектов хозяйствования;

−ресурсы внебюджетных фондов;

−кредитные ресурсы коммерческих банков и прочих финансовых структур (используются для срочного и возвратного финансирования оборотных средств и капиталовложений);

−дотации, субвенции и другие поступления из вышестоящих бюджетов и централизованные инвестиции.

Основным инструментом анализа движения всех создаваемых и располагаемых в регионе ресурсов служит сводный финансовый баланс. Основной задачей территориального сводного финансового баланса является определение объемов финансовых ресурсов, созданных, поступивших и использованных в регионе.

Вдоходной части финансового баланса отражаются собственные доходы региона: прибыль, амортизационные отчисления, подоходный налог с физических лиц, косвенные налоги, прочие доходы, а также привлеченные в регион финансовые ресурсы. Расходная часть баланса отражает расходы на территории (затраты на капитальные вложения из централизованных источников, расходы на народное хозяйство, расходы предприятий за счет прибыли и амортизации) и отчисления в федеральную финансовую систему

ифедеральный бюджет.

Моделирование процессов распределения финансовых ресурсов между ВЭД можно рассмотреть на примере следующей модели оптимального управления – модели В.А. Лисичкина.

Рассматривается РЭС, состоящая из n элементов, для каждого из которых получены производственные функции – зависимости выхода продук-

B = (B1, B2 ,..., Bm ) ,

,..., BiL (t)) − вектор ресурсов, необходимых для производ-

19

ства продукции i-м элементом системы, функционирующего на территории региона; t = t0 ,t0 +1,...,T .

Управляющий центр имеет в своем распоряжении в каждый момент времени t дополнительный финансовый ресурс Ф(t) , который полностью

должен быть распределен между элементами системы. В каждый момент времени t величина дополнительного ресурса каждого вида Bl (t) считает-

ся заданной.

Предположим, что изменение величины ресурсов i-го хозяйствующего субъекта определяется следующим образом:

Bil (t) = Bil (t − 1) + αil (t) Bl (t) ,

Bil (t0 ) = Bil 0 ,

i = 1,2,...,n, t = t0 ,t0 +1,...,T,l = 1,2,..., L ,

где αil (t) − доля дополнительного ресурса l-го вида, направляемого на развитие i-го элемента системы; Bil 0 − запас ресурсов l-го вида у i-го элемента

на начало планируемого периода.

Очевидно, что при сделанных предположениях об изменении ресурсов каждого элемента системы величина αil (t) должна удовлетворять следую-

щим свойствам:

i=1

Вкачестве функции цели рассмотрим величину совокупного объема

Задача (3.1–3.6) представляет собой задачу динамического программирования в конечных разностях. Для ее решения введем следующее дополнительное равенство

i=1

20