Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Рабочая тетрадь 5 «Системы линейных уравнений» (90
.pdf1 1 2
Так как M3 0 |
3 |
2 |
12 0 |
- базисный минор x1, x2, x3 - основные |
0 |
0 |
4 |
|
|
неизвестные. Так как 4 – количество неизвестных, 3 – ранг матрицы, то 4 – 3 =1, то
1 параметр, обозначаем через x4 a. Теперь от ступенчатой матрицы перейдем к системе линейных уравнений:
x1 x2 2x3 3x4 0, |
x1 x2 2x3 3a 0, |
||||
|
|
|
|
3x2 2x3 7a 0, |
|
|
3x2 2x3 7x4 0, |
||||
|
4x3 |
0, |
|
x3 |
0, |
|
|
|
|
x |
7 |
a 3a, |
x |
2 |
a, |
||||||||
x1 x2 3a, |
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|||
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|||
|
3x2 7a, |
|
|
x2 |
|
|
a, |
x2 |
|
|
|
|
a, |
||
|
|
3 |
|
||||||||||||
|
x3 0, |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x3 0, |
x3 0. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мы получили общее решение системы линейных уравнений:
Частное решение: пусть a 3 ( 2; 4; 0; 3).
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
7 2 0 3 3 0, 0 0, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 2 7 |
4 3 0, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 0, |
||||||||
|
Проверка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 ( 2) |
7 2 0 |
3 0, |
0 0, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 7 |
0 10 3 0, |
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
0 0. |
||||||||
x1 2x2 4x3 3x4 0, |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) 3x1 |
5x2 |
6x3 |
4x4 0, |
|
|
|
|||||||||
|
4x 5x |
2 |
2x |
3 |
3x |
4 |
0, |
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3x 8x |
2 |
24x |
3 |
19x |
4 |
0. |
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
7 |
|
||
|
|
|
a; |
|
a; 0; a . |
|
|
||||
|
3 |
3 |
|
21
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
________________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
Ответ. а) |
|
2 |
x4 |
; |
7 |
x4;0;x4 |
; б) 8x3 |
7x4; 6x3 |
5x4;x3;x4 |
|
|
||||||||
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
Задание 6
Найдите общее и частное решение системы линейных неоднородных уравнений: а)
x1 2x2 x3 2x4 2, |
2x1 7x2 3x3 x4 5, |
|||||||||||||||||
|
|
5x2 |
|
x4 1, |
|
|
3x2 |
5x3 2x4 3, |
||||||||||
2x1 |
x1 |
|
||||||||||||||||
|
|
3x2 |
x3 3x4 1, |
; б) |
|
5x2 |
9x3 8x4 1, |
|||||||||||
3x1 |
x1 |
|
||||||||||||||||
4x |
x |
2 |
2x |
x |
4 |
3. |
5x |
|
18x |
2 |
4x |
3 |
5x |
4 |
12. |
|||
|
1 |
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
22
Решение.
x1 2x2 x3 2x4 2,
|
|
5x2 |
x4 |
1, |
||
2x1 |
||||||
а) |
|
3x2 |
|
|
; |
|
3x1 |
x3 3x4 1, |
|||||
4x x |
2 |
2x x |
4 |
3. |
||
|
1 |
|
3 |
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
0 |
|
A |
|
3 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
4 |
1 |
2 |
|
|
|
2
1
3
1
1
- расширенная матрица.
3
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
5 |
0 |
1 |
|
|
A |
2 |
|
- основная матрица. |
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3 |
3 |
1 |
3 |
|
|
|
|
4 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
Решим систему линейных неоднородных уравнений используя теорему Кронекера-Капелли. Найдем ранг расширенной матрицы и основной матрицы.
Приведем расширенную матрицу к ступенчатому виду.
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
2 |
|
|
2 ( 2) ( 3) ( 4) |
|
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
2 |
5 |
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
~ |
0 |
5 ( 1) |
~ |
|||||||||||||||
A |
|
|
3 |
|
3 |
1 |
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
9 |
2 |
9 |
5 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
1 |
2 |
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
9 |
2 |
9 |
5 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
2 |
1 |
|
2 |
|
2 |
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
9 |
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
~ |
0 |
|
|
|
5 |
|
|
|
9 |
2 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
4 |
|
0 |
|
~ 0 |
5 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
4 |
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
4 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычеркнем последнюю нулевую строку и вычислим миноры 3-го порядка (т.к.
количество ненулевых строк 3) для расширенной и основной матриц.
|
1 |
2 |
2 |
|
M3(A) |
0 |
5 |
5 |
20 0 r(A ) 3. |
|
0 |
4 |
0 |
|
23
|
1 |
1 |
2 |
|
M3(A) |
0 |
2 |
5 |
|
8 0 r(A) 3, т.к. r(A) r(A ), |
||||
|
0 |
0 |
4 |
|
то по теореме Кронекера-Капелли система совместна.
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
M3(A) |
0 |
2 |
5 |
- базисный |
минор. Так |
как в матрицу вошли |
первая, |
|
|
0 |
0 |
4 |
|
|
|
|
|
третья и четвертая |
столбцы, то |
x1, x3, x4 - |
основные |
неизвестные. |
Всего |
|||
неизвестных 4 (n r p) 4 – 3 = 1. Один параметр, |
x2 - параметр. Для того чтобы, |
|||||||
параметры отличались от неизвестных, обозначим параметр x2 |
через , т.е. |
x2 . |
||||||
Теперь от ступенчатой матрицы перейдем к системе линейных уравнений. |
|
x1 2x2 x3 2x4 2, x1 2 x3 2x4 2, x1 x3 2 2 ,
|
2x3 5x4 5, |
|
5x4 5, |
|
5 9 , |
9x2 |
9 2x3 |
2x3 |
|||
|
4x4 0, |
|
x4 0, |
|
x4 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
5 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 , |
|
, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 2 |
|
|
||||||||||||||||||||
x x 2 2 , x1 x3 2 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
3 |
|
|
|
5 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
9 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2x3 |
5 9 , |
x3 |
|
|
|
|
, |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x4 0, |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
||||||||||||||
|
|
4 |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
0, |
|
|
|
|
|
x |
4 |
0. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общее решение системы |
|
|
1 |
|
5 |
; ; |
5 |
|
9 |
; 0 |
|
. Найдем частное решение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
системы из общего решения, подставив вместо параметра любое действительное
число, пусть 1: |
|
1 |
|
5 |
; 1; |
|
5 |
|
9 |
; 0 , ( 3;1; 7; 0). |
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
Проверка: Подставим частное решение в систему линейных уравнений:
24
|
3 2 1 1 ( 7) 2 0 2, |
3 2 7 0 2, |
2 2, |
||
|
|
|
6 5 0 0 1, |
|
|
2 ( 3) 5 1 0 ( 7) 1 0 1, |
|
1 1, |
|||
|
|
|
9 3 7 0 1, |
|
|
3 ( 3) 3 1 1 ( 7) 3 0 1, |
|
|
1 1, |
||
|
|
|
|
|
3 3. |
4 ( 3) 1 1 2 ( 7) 1 0 1, |
12 1 14 0 3, |
|
равенство верное.
2x1 7x2 3x3 x4 5,
б) x1 3x2 5x3 2x4 3,
x1 5x2 9x3 8x4 1,
5x1 18x2 4x3 5x4 12.
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_______________________________________________________________
__________________________________________________________________
_______________________________________________________________
25
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
Ответ: а) |
|
1 |
|
5 |
x2 |
;x2 |
; |
5 |
|
9 |
x2 |
;0 ,( 3;1; 7; 0); |
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
б) 6 26x3 17x4; 1 7x3 5x4;x3;x4
Задание 7
Найдите фундаментальное решение системы неоднородных линейных уравнений:
|
2x1 x2 x3 2x4 3x5 2, |
9x 3x |
|
|
5x 6x |
|
4, |
||||||||||||||||||||||||
а) |
6x 3x |
2 |
2x |
3 |
4x |
4 |
5x |
5 |
3, |
|
1 |
2 |
3 |
x |
|
4 |
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; б) |
6x 2x |
2 |
3x |
3 |
4 |
5, |
|||||||||||
|
|
6x 3x |
|
|
4x |
|
8x |
|
|
13x |
|
|
|
9, |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x3 14x4 8. |
|||||||||||||||
|
4x 2x |
2 |
x |
3 |
x |
4 |
2x |
5 |
|
4. |
3x1 x2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2x1 x2 x3 2x4 3x5 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
а) |
6x 3x |
|
|
2x |
|
4x |
|
5x |
|
|
|
3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
2 |
4x |
3 |
8x |
4 |
|
|
|
5 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
6x 3x |
2 |
3 |
4 |
13x |
5 |
9, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4x 2x |
2 |
x |
3 |
x |
4 |
2x |
5 |
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26
|
2 |
1 |
1 |
2 |
3 |
|
|||
|
|
|
3 |
2 |
4 |
|
|
|
|
A |
6 |
5 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
- основная матрица. |
||
|
|
6 |
3 |
4 |
8 |
13 |
|
||
|
|
4 |
2 |
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
1 |
1 |
2 |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
3 |
2 |
4 |
5 |
|
|
|
6 |
|
3 |
- расширенная матрица. |
||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
3 |
4 |
8 |
13 |
|
9 |
|
|
|
4 |
2 |
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
Найдем ранг расширенной матрицы и основной матрицы.
2 |
|
|
1 1 |
2 3 |
|
|
2 ( 3) ( 2) |
2 |
1 1 |
|
2 |
|
3 |
|
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
3 2 |
4 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|||||||||
6 |
|
|
|
3 |
|
|
|
~ |
0 |
|
3 1 ( 1) |
~ |
|||||||||||||||||||
|
6 |
|
3 4 |
8 13 |
9 |
|
|
|
|
|
0 0 |
1 |
|
2 |
|
4 |
|
3 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
4 |
|
2 1 |
1 2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 1 |
3 |
4 |
|
0 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
2 |
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
2 |
2 |
|
1 1 |
2 |
|
3 |
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
~ |
0 0 |
|
3 |
|
|
|
0 1 2 |
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
~ 0 |
|
|
3 . |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
1 |
|
0 |
|
3 |
|
0 |
|
|
0 |
0 1 |
|
0 |
|
3 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
M3(A) |
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
ранг |
расширенной |
матрицы равен |
3, т.е. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
1 |
3 |
6 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r(A ) 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
M3(A) |
|
2 |
1 |
2 |
|
|
2 0 ранг основной матрицы равен 3, т.е. r(A) 3. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
1 |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как r(A ) r(A) 3, то по теореме Кронекера-Капелли система совместна,
т.е. имеет решение.
|
2 |
1 |
2 |
|
M3(A) |
0 |
1 |
2 |
- базисный минор третьего порядка x1, x3, x4 - |
|
0 |
0 |
1 |
|
основные неизвестные, т.к. 5 – количество неизвестных (переменных), 3 – ранг матрицы, 5 – 3 =2 имеем 2 параметра – это x2 и x5. Обозначим параметры
27
x2 , |
x5 . |
|
|
|
Составим |
|
|
|
|
систему |
|
линейных |
|
|
уравнений |
|||||||||||||||
2x1 x2 x3 2x4 3x5 2, 2x1 x3 2x4 2 3 , 2x1 x3 6 2 3 , |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x3 2x4 4x5 |
3, |
|
x3 2x4 |
3 4 , |
|
x3 |
6 3 4 , |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x4 |
3, |
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
3, |
|
|
|
|
|
x4 3, |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
1 |
|
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||
2x1 x3 8 3 , 2x1 9 4 8 3 , 2x1 1 , 1 |
2 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x3 9 4 , |
|
|
|
|
x3 |
9 4 , |
|
|
|
|
x3 9 4 , |
|
9 4 , |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
x4 3, |
|
|
|
|
x4 |
|
3, |
|
|
|
|
x4 |
3, |
|
|
|
|
3. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Общее решение системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
; ;9 4 ; 3; |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Найдем фундаментальное решение системы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
0, 0 X0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 0 X1 |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||
1) |
|
|
|
; 0; 9; 3; 0 |
; 2) |
|
|
|
|
;1; 0; 0; 0 , |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3) 0, 1 X 2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
X X 0 c X1 |
|
|
X 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
; 0; 4; 0;1 . |
c |
2 |
, |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
и c2 - действительные числа; |
||||||||||
X |
9 |
c1 0 |
c2 |
4 |
, где c1 |
||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9x1 3x2 5x3 6x4 4,
б) 6x1 2x2 3x3 x4 5, .3x1 x2 3x3 14x4 8.
______________________________________________________________
28
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
29
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
и c2 |
|
|||||||
Ответ. а) X |
|
9 |
c1 |
0 |
|
c2 |
4 , где c1 |
- действительные числа; |
||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) X |
0 |
|
|
c |
|
27 |
|
c |
|
9 |
|
|
|
, где c |
и c |
|
- действительные числа |
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
13 |
|
|
2 13 |
1 |
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
13 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 8
Исследовать систему линейных уравнений при различных значениях параметра :
|
x |
x |
2 |
x 1, |
1 x x |
2 |
x 1, |
|||
|
1 |
|
|
|
3 |
|
1 |
3 |
||
а) x1 x2 x3 1, ; б) x1 1 x2 x3 , |
||||||||||
|
|
x |
|
|
|
x 1. |
|
|
|
2 |
x |
2 |
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
3 |
x1 x2 1 x3 . |
|||||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
||||
x1 x2 x3 1, |
|
|
|
|
||||||
а) x1 x2 x3 1, ; |
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
|
|
x 1. |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
||
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|