Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Рабочая тетрадь 5 «Системы линейных уравнений» (90

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

444.95 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

x				x1										;						x					x2			;			x					x3					.
1																					2												3
		1													1						2			30; x1							11			1		2				90;
		1													1						2										11			1		2
		2													3 1															5				3			1
		1													4						3										4			4		3
x2						1									11								2			60; x3							1			1						11			150.
						1									11								2										1			1						11
						2										5							1										2			3 5
								1							4								3									1				4						4
x			90									3;								x					60				2;		x					150			5.
x												3;								x						30			2;		x								5.
1	30																				2					30							3			30
											2) Решим															систему					линейных												уравнений с					помощью обратной матрицы:
X A 1 B.
																																															1	1	2
																																															2	3
Найдем обратную матрицу для матрицы А: A																																												1 .			2	3
																																															1	4
																																															1	4	3
1 det A																1					1					2	30;
																1					1					2
																2					3					1
																1					4					3
2 A11													3					1				9 ( 4) 13; A12 1																				2			1	1 (6 1) 5;
													3					1																								2			1
													4						3																							1			3
A13								2							3					8 ( 3) 11; A21 1																		1				2			1 (3 8) 5;
								2							3																							1				2
										1						4																						4				3
A22							1								2					3 ( 2) 5; A23 1																	1					1			1 (4 ( 1)) 5;
							1								2																						1					1
									1						3																						1					4
A31					1										2			1 6 7;A32 1																	1	2							1 ( 1 4) 5;
					1										2																				1	2
					3 1																														2		1
A33										1					1		3 2 1.
										1					1
										2						3

~	13	5	11
	5	5	5
A				.
	7	5	1

								~							13			5	7
3 Транспонируем данную матрицу								~	:		*				5			5
3 Транспонируем данную матрицу								A	:			A			5			5	5 .
															11		5
															11		5		1
									1				13			5		7
							1		1
4 Обратная матрица имеет вид:A													5			5		5 .
4 Обратная матрица имеет вид:A													5			5		5 .
									30					11		5		1
														11		5		1
Полученную матрицу подставим в равенство X A 1																			B.
	1	13		5 7				11						1	13 11 5 ( 5) ( 7) 4
	1													1
X A 1 B		5	5			5 5										5 11 5 ( 5) 5 4
X A 1 B		5	5			5 5							30			5 11 5 ( 5) 5 4
	30		5										30			11 11 ( 5) ( 5) 1 4
		11	5			1		4								11 11 ( 5) ( 5) 1 4
											90

1	143 25 28		1			90					30					3			x 3;
1			1								60								1
	55 25 20				60										2 x2 2;
	55 25 20		30		60										2 x2 2;
30	121 25 4		30			150						30				5			x 5.
	121 25 4					150			150							5			x 5.
									150										3
										30
										30

3) Решим систему линейных уравнений методом Гаусса.

Запишем расширенную матрицу и приведем ее к ступенчатому виду.

	1		1				2		11	( 2) (1)		1		1		2	11			1		1	2	11
					1											5						1	5
2 3					1				5			~ 0 1				5	27 ( 5) ~ 0					1	5	27 от

	1			4		3			4				0	5		5	15			0		0	30	150
	1			4		3			4				0	5		5	15			0		0	30	150
расширенной матрицы перейдем к системе линейных уравнений
	x			x		2			2x		11,	x		x	2	2x		11,	x	x	2	2 5 11,
		1				2		3					1		2	3	27,		1		2	5 5 27;
					x2				5x3 27,					x2		5x3	27,			x2		5 5 27;
							30x3 150,									x3		5,					x3 5,
							30x3 150,									x3		5,					x3 5,

x		x		10 11,			x		x	1,	x		2 1,	x 3,
	1		2					1	2			1	x2 2,	1
		x2 25 27,							x2	2,			x2 2,	x2 2,
				x	3	5,			x 5,				x 5,	x 5.
					3				3				3	3

2x1 3x2 5x3 10,

б) 3x1 7x2 4x3 3,x1 2x2 2x3 3.

_____________________________________________________________

______________________________________________________________

_____________________________________________________________

______________________________________________________________

_____________________________________________________________

______________________________________________________________

_____________________________________________________________

____________________________________________________________

Ответ. а) (3; 2; 5); б) (3; 2;2)

Задание 3

Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса:

x 5y 3z 2,		x y z 6,
а) 2x 3y z 1, б) x y z 0,
	z 4.
3x y		x y z 2.

Решение.

x 5y 3z 2,					1		5	3
а) 2x 3y		z	1,				3
				A 2				1 - основная матрица.
	y	z 4.				3	1
3x								1
	1	5	3	2

		3	1	1
A 2					- расширенная матрица.

	3	1	1	4

Будем решать данную систему по теореме Кронекера-Капелли: Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы, т.е. r(A) r(A ).

Так как основная матрица входит в расширенную матрицу, то будем находить ранг расширенной матрицы.

1		5	3	2 ( 2) ( 3)				1	5	3	2	16
												16
2		3	1		1			~ 0	13	5	5		~
2		3	1		1			~ 0	13	5	5	13	~
												13
	3	1	1		4			0	16	10	10
	3	1	1		4			0	16	10	10
		5	3			2
1		5	3			2
	0	13	5			5
	0	13	5			5	.
			50			50
	0	0
	0	0				13
			13			13

Не обращая внимания на последний столбец данной матрицы составим минор

3-го порядка из элементов основной матрицы.

	1		5	3				1 13		50
M3(A)										50		ранг основной	матрицы
	0		13		5						50 0
	0		13		5					13	50 0
	0		0			50				13
	0		0
				13
равен 3 (r(A) 3).
Составим минор 3-го порядка для расширенной матрицы. В минор будет
обязательно входить последний столбец.
			5	2				50
		1	5	2

M3(A)		0	13		5		1 13			50 0 ранг расширенной			матрицы
M3(A)		0	13		5		1 13		13	50 0 ранг расширенной			матрицы
		0	0	50					13

				13
				13

равен 3, т.е. r(A ) 3.

Так как r(A) r(A ), то по теореме Кронекера-Капелли система совместна, т.е.

1 5 3


имеет решения. Так как M3(A) 0	13	5			- базисный минор, в который входят
0	0		50

		13
все 3 столбца из основной матрицы x,				y, z - основные переменные. Теперь

составим систему, из которой будем находить неизвестные x, y, z.

В данной системе количество неизвестных и ранг совпадают, а, значит,

параметров в данной системе нет.


x 5y 3z 2,			x 5y 3z 2,		x 5y 3 ( 1) 2,
						13y 5 1 5,
	13y 5z 5,			13y 5z 5,		13y 5 1 5,
	50	50		z 1,		z 1,
	50	50		z 1,		z 1,
		z
		z
	13	13,
	13	13,

x 5y 3 2,			x 5y 1,		x

	13y 5 5,			13y 0,
	z 1,			z 1
	z 1,			z 1
x 5 0 1,		x 1,
	y 0,
	y 0,	y 0,
	z 1,
	z 1,	z 1.

x y z 6, б) x y z 0,

x y z 2.

5y 1,	x 5y 1,
y 0,		y 0,

z 1,		z 1,

_______________________________________________________________

Ответ. а)(1; 0; 1) ;б)(3;2;1)

В данной системе линейных уравнений r(A) r(A )и ранг матрицы равен количество неизвестных и, поэтому система имеет единственное решение, т.е.

данная система линейных уравнений определенная.

Задание 4

Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса:

2x y 3z 9,	9x1 10x2 3x3 7x4 7,
		5,
а) 3x 5y z 4,	б) 4x1 7x2 x3 3x4	5,
		3,
4x 7y z 5,	7x1 5x2 4x3 6x4	3,

Решение.

2x y 3z 9,						y 2x 3z 9,

а) 3x 5y z 4,						5y 3x z 4,

4x 7y z 5,						7y 4x z 5.
1	2	3
	3
A 5	3	1 - основная матрица.
	4
7	4	1
1	2	3		9
1	2	3		9
	3	1
A 5	3	1		4 - расширенная матрица.

7	4	1		5
7	4	1		5
Найдем ранг расширенной матрицы:
y	x	z
1 2		3		9 ( 5) ( 7)				1		2		3	9
1 2		3		9 ( 5) ( 7)				1		2		3	9
										7		14
5 3 1				4				0		7		14	49 ( 7)

7	4	1	5						0	10		20	58	( 10)
7	4	1	5						0	10		20	58	( 10)
1		2 3			9		1 2			3		9
		1 2								2
0		1 2			7 ( 1) 0 1					2		7 .

	0	1	2		5,8			0	0	0	1,2
	0	1	2		5,8			0	0	0	1,2

Составим минор третьего порядка для расширенной матрицы (последний столбец записывается обязательно).

1	2	9
M3(A) 0	1	7	1 1 ( 1,2) 1,2 0	ранг расширенной матрицы

0 0 1,2

равен 3, т.е. r(A ) 3.

Составим минор 2-го порядка для основной матрицы (т.к. в основной матрице после приведения к ступенчатому виду последнюю строку можно вычеркнуть).

M2	(A)	1	2	1 1 1 0 ранг основной матрицы равен 2, т.е. r(A) 2.
		0	1

Так как r(A) r(A ) (2 3) система не совместна, т.е. не имеет решения.

9x1 10x2 3x3 7x4 7,

б) 4x1 7x2 x3 3x4 5,7x1 5x2 4x3 6x4 3,

______________________________________________________________

Ответ. а) система не совместна; б) система не совместна.

Задание 5

Найдите общее и частное решение системы линейных однородных уравнений: а)

x1 x2 2x3 3x4 0,									x1 2x2 4x3 3x4 0,
	x1 2x2					4x4 0,					5x2			6x3 4x4 0,
									3x1
	2x x			2x		x		0,	; б)	4x 5x				2x		3x			0,
		2			3		4						2		3			4
	1									1
	x 4x		2	x	3	10x	4	0.	3x 8x			2		24x		3	19x			4	0.
	1									1

Решение.

	x1 x2 2x3										3x4 0,
			x1		2x2					4x4 0,
а)			x1		2x2					4x4 0,
а)		2x x						2x				x			;
		2x x				2		2x	3			x		4	0,
				1		2			3					4
			x 4x				2	x	3	10x				4	0.
				1			2		3					4
		1			1			2		3				0
		1			1			2		3				0

		1			2			0		4				0
A				2	1			2		1				0	- расширенная матрица.
				2	1			2		1				0
				1	4			1		10				0
				1	4			1		10				0
		1			1			2		3
					2			0		4
A		1			2			0		4			- основная матрица.
A			2		1			2		1			- основная матрица.
			2		1			2		1
			1		4			1		10
			1		4			1		10

Решим систему линейных однородных уравнений используя теорему Кронекера-Капелли. Данная система линейных уравнений является однородной,

следовательно r(A ) r(A), т.е. однородная система линейных уравнений всегда совместна.

Найдем ранг основной матрицы:

1		1	2	3 ( 1) ( 2) ( 1)						1		1	2	3
		2	0									3	2	7			(1)
1				4						0					( 1)
	2	1							~		0	3	6	7			~
			2 1
	1	4	1 10								0	3	3	7

1		1	2	3		1		1	2			3	1	1		2	3
								3
0 3			2 7		5 ~	0				2 7				3
													~ 0			2 7
	0 0		4	0			0	0		4		0		0		4

	0 0		5	0	4		0	0		0		0	0				0

r(A) r				, т.к. количество неизвестных строк равно 3.
			(A ) 3

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022576.15 Кб4Линейная алгебра (90..pdf
#
15.11.20221.13 Mб10Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Рабочая тетрадь 1 «Комплексные числа» (90.pdf
#
15.11.20221.4 Mб13Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Рабочая тетрадь 2 «Матрицы» (90.pdf
#
15.11.2022365.3 Кб9Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Рабочая тетрадь 3 «Определители» (90.pdf
#
15.11.2022376.68 Кб12Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Рабочая тетрадь 4 «Обратная матрица. Ранг матрицы» (90.pdf
#
15.11.2022444.95 Кб27Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Рабочая тетрадь 5 «Системы линейных уравнений» (90.pdf
#
15.11.2022505.6 Кб6Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Рабочая тетрадь 6 «Векторная алгебра» (90.pdf
#
15.11.2022271.06 Кб6Линейные операторы и их собственные векторы (120..pdf
#
15.11.2022280.71 Кб4Линейные регрессионные модели (96..pdf
#
15.11.20222.65 Mб21Липофилинг ягодичной области Учебное пособие..pdf
#
15.11.2022228.86 Кб3Листая старый календарь. Вып. 2. Памятные даты Томска 2005 г.pdf