- •9 1Й курс. 2й семестр. Лекция 5
- •Свободные незатухающие колебания.
- •Уравнение колебаний для математического маятника можно вывести, используя уравнение динамики вращательного движения.
- •Фазовая плоскость.
- •Векторная диаграмма.
- •2) Рассмотрим случай, когда амплитуды одинаковые: , но частоты отличаются на небольшую величину: , , . Для упрощения примем, что и . Аналогично предыдущему случаю, получаем:
Фазовая плоскость.
Фазовой плоскостью называется двумерное пространство, координатами в котором являются координата точки и проекция импульса (соответственно, обобщённая координата и обобщённый импульс).
Для пружинного маятника из закона сохранения энергии:
следует, что фазовая траектория точки, совершающей свободные незатухающие колебания, является эллипсом. Покажем это:
, ,
где главные полуоси эллипса равны: , .
Замечание. В случае если система состоит из N осцилляторов, то фазовое пространство имеет размерность 2N.
Векторная диаграмма.
Рассмотрим радиус-вектор точки М, вращающейся вокруг начала координат с постоянной угловой скоростью . Угол между радиус-вектором и осью Х меняется с течением времени по закону: , где 0 – его начальное значение. Пусть длина радиус-вектора ОМ=А. Координаты точки М:
,
описывают колебания осцилляторов вдоль осей X и Y.
Данная форма представления колебаний называется амплитудной (векторной) диаграммой.
Рассмотрим сложение двух колебаний одного направления: пусть два осциллятора совершают колебания вдоль оси Х с циклическими частотами 1 и 2:
и .
Зададим эти колебания на векторной диаграмме с помощью векторов.
1-е колебание задаётся вектором , который вращается вокруг начала координат с постоянной угловой скоростью 1, угол вращения меняется по закону: .
2-е колебание задаётся вектором , соответственно, угол .
Тогда результирующему колебанию сопоставим вектор с фазой .
По теореме косинусов:
.
Учтем, что ,
, тогда
,
или .
Соответственно, .
Остановимся подробнее на двух частных случаях.
1) Пусть , . Тогда .
Амплитуда результирующего колебания в этом случае не зависит от времени.
Если разность начальных фаз колебаний , где n – целое число, то и наблюдается усиление колебаний: .
Если разность начальных фаз колебаний , где n – целое число, то и колебания гасят друг друга: .
Для вывода зависимости результирующего колебания воспользуемся соотношением:
, тогда с учётом чётности функции косинуса имеем:
.
Амплитудой должно быть выражение, не зависящее от времени, но амплитуда не может быть отрицательной величиной, следовательно:
, тогда
.
Если , то , если то .
2) Рассмотрим случай, когда амплитуды одинаковые: , но частоты отличаются на небольшую величину: , , . Для упрощения примем, что и . Аналогично предыдущему случаю, получаем:
.
Пренебрегая в выражении для фазы второго сомножителя величиной по сравнению с величиной , получаем:
.
Если , то , но если , то .
Т аким образом, при сложении колебаний близких частот возникает периодическое изменение амплитуды и скачкообразное изменение фазы результирующего колебания – явление, которое называется биением.
Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний
равных и кратных частот
Рассмотрим траекторию точки, совершающей колебания одновременно по двум взаимно перпендикулярным направлениям:
, .
Отметим, что в этих обозначениях при x=y фазы колебаний сдвинуты на /2.
1) Пусть частоты колебаний одинаковые: .
Обозначим . Получим уравнение траектории:
, ,
, ,
.
Это уравнение линии второго порядка на плоскости.
Если =0 (фазы колебаний сдвинуты на =), то получаем эллипс: .
Если = (фазы колебаний сдвинуты на =0 или ), то получаем отрезок прямой.
2) Фигуры для некоторых других соотношений частот и разности фаз показаны на рисунках.
С оотношение частот колебаний по фигуре можно определить из равенства:
,
где n – количество пересечений фигуры и прямой, параллельной соответствующей оси.
Траектория точки, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, при рациональном отношении частот колебаний называется фигурой Лиссажу. Условие рационального отношения частот означает, что отношение частот можно записать в виде рационального числа. В этом случае траектория является замкнутой. Если отношение частот не является рациональным числом, то траектория - незамкнутая линия.