-
Уравнения кривых второго порядка.
Определить тип каждого из уравнений, привести к каноническому виду; установить, какие геометрические образы они определяют и изобразить на чертеже. Найти координаты центра, полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис.
Дано: уравнение второго порядка
.
Решение:
Сгруппируем
слагаемые, содержащие
и
дополним до полного квадрата:
;
;
;
вынесем за скобки коэффициент при
:
.
Т.о. привели уравнение к виду
-
каноническое уравнение параболы с
вершиной в т.
и осью симметрии параллельной
.
Следовательно, для нашего примера:
уравнение
определяет параболу. Вершина в т.
.
Параметр
Ветви направлены вправо. Уравнение
директрисы для несмещенной параболы
для смещенной
.
Фокус имеет координаты
.
Построим график:
Дополнительные точки
|
|
-2 |
6 |
0 |
4 |
|
|
5 |
5 |
3,5 |
3,5 |
Рис.2.1 Парабола
-
Матричные уравнения.
Решить
матричное уравнение:
,
(3.1)
где
;
;
.
Решение.
Если
для матриц
и
существуют обратные матрицы
и
соответственно, умножим обе части
уравнения слева на
,
справа на
.
В результате получим:
.
Учитывая, что
,
(
-
единичная матрица) можно записать:
.
Так как
- единичная матрица, окончательно имеем
уравнение:
(3.2)
где
матрица
- решение уравнения (3.1).
Если
же хотя бы одна из матриц
или
не имеет обратную, уравнение (3.1) не имеет
решения.
3.1.
Для матрицы
найдем
или
докажем, что она не существует.
а)
обратная
матрица существует.
б)
.
в)
Найдем алгебраические дополнения для
матрицы
и
составим из них присоединенную матрицу
:
.
г)
Известно, что
;
тогда
.
3.2.
Для матрицы
найдем
или докажем, что она не существует.
а)
обратная
матрица существует.
б)
.
в)
Найдем алгебраические дополнения для
матрицы
и
составим из них присоединенную матрицу
:
.
г)
По формуле
;
.
3.3.
Найдем неизвестную матрицу
.
.
Ответ:
.
-
Решение слау.
Исследовать и решить систему линейных алгебраических уравнений, используя теорему Кронекера – Капелли.
Дана система уравнений:
Решение. Решим систему уравнений методом Гаусса.
Прямой ход метода Гаусса.
Составим расширенную матрицу системы:
.
Используя элементарные преобразования строк, приведем ее к ступенчатому виду:
4.1. Получим нули в первом столбце матрицы.
а)
Элементы второй строки умножим на
и прибавим к ним, умноженные на
,
элементы первой строки:
.
б)
Элементы третьей строки умножим на
и прибавим к ним, умноженные на
,
элементы первой строки:
.
в)
Элементы четвертой строки умножим на
и прибавим к ним, умноженные на
,
элементы первой строки:
.
4.2. Получим нули во втором столбце матрицы.
а)
Элементы третьей строки умножим на
и прибавим к ним, умноженные на
,
элементы второй строки:
.
б) К элементам четвертой строки прибавим элементы второй строки:
.
Матрица приведена к ступенчатому виду. На этом закончен прямой ход метода Гаусса.
Исследуем систему, используя теорему Кронекера – Капелли.
Теорема Кронекера – Капелли: система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.
Ранг
матрицы ступенчатого вида равен
количеству ненулевых строк. Значит в
нашем случае ранг матрицы системы
равен рангу расширенной матрицы системы
, а именно:
.
Следовательно система имеет решение.
Т.к.
число неизвестных
меньше числа линейно независимых
уравнений
(числа ненулевых строк), система будет
иметь бесконечное множество решений.
Найдем общее решение данной системы
уравнений.
Обратный ход метода Гаусса:
Разобьем неизвестные на две группы: базисные (или основные) и свободные (или неосновные). Количество базисных неизвестных равно рангу матрицы. Базисные неизвестные находятся в строках и столбцах базисного минора.
Базисный
минор должен быть отличен от нуля и
иметь порядок равный рангу матрицы
системы. В качестве базисного минора
выберем минор
,
т.е. определитель, состоящий из элементов
находящихся на пересечении 1-ой, 2-ой,
3-ей строк и 1-го, 2-го, 3-го столбцов. Т.о.
базисными неизвестными будем считать
;
свободными
.
Пусть
,
где
-
произвольная постоянная.
Выразим
базисные переменные через
.
Отбросим нулевые строки и снова перейдем к системе уравнений:
.
4.3.Из
третьего уравнения выразим
:
4.4.
Подставим полученное во второе уравнение
и выразим
:
4.5.
Подставим полученное в первое уравнение
и выразим
:
Закончен обратный ход метода Гаусса.
Запишем ответ: 1 способ. 2 способ.
.
.