Тема I. Элементы линейной, векторной алгебры и аналитической геометрии на плоскости и в пространстве вопросы к теме
Понятия матриц, определителей 2-го и 3-го порядков. Свойства определителей.
Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера. Понятие метода Гаусса.
Понятие вектора, его координат. Простейшие действия над векторами, заданными геометрически и координатами. Разложение вектора по ортам на плоскости и в пространстве.
Скалярное произведение векторов и его свойства.
Векторное произведение векторов и его свойства.
Смешанное произведение векторов и его свойства.
Простейшие задачи аналитической геометрии. Понятия уравнений линии на плоскости, поверхности и линии в пространстве.
Понятие углового коэффициента прямой на плоскости. Влияние углового коэффициента прямой на ее ориентацию в системе координат. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Взаимное расположение двух прямых с угловыми коэффициентами (угол между прямыми, условия их параллельности, перпендикулярности).
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости.
Уравнение прямой общего вида и его исследование.
Уравнения плоскости в пространстве. Взаимное расположение двух плоскостей (угол между плоскостями, условия их параллельности, перпендикулярности). Отыскание расстояния от точки до плоскости.
Уравнения прямых в пространстве. Взаимное расположение двух прямых в пространстве (угол между прямыми, условия их параллельности, перпендикулярности). Методика отыскания координат точек пересечения прямой и плоскости в пространстве.
Эллипс.
Гипербола.
Окружность. Парабола.
Типовой расчет 1
ЗАДАЧА 1.1. Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется построить треугольник в системе координат xOy и найти:
длины и уравнения сторон АВ, BC, АС, их угловые коэффициенты;
длину и уравнение медианы AE;
внутренние углы треугольника (в градусах, минутах, секундах);
уравнение и длину высоты СD;
уравнение прямой, проходящей через точку E параллельно стороне АВ, и координаты точки М ее пересечения с высотой СD;
площадь треугольника;
уравнение окружности с центром в точке Е радиуса ЕС.
ЗАДАЧА 1.2. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Требуется:
записать векторы
в системе орт и найти модули этих
векторов;найти угол между векторами
и
(в градусах, минутах, секундах);найти проекцию вектора
на вектор
;найти площадь грани
;найти объем пирамиды
;составить уравнение ребра
;составить уравнение грани ;
составить уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины
,
и найти координаты точки М
ее пересечения с гранью
;найти длину полученной высоты.
Вариант |
Координаты вершин треугольника |
Координаты вершин пирамиды |
I |
II |
III |
1 |
А(-3; -2), B(2; 4), C(7; 1) |
A(1; 2; 1), B(-1; 5; 1), C(-1; 2; 7), D(1; 5; 9) |
2 |
А(-4; -2), B(1; 4), C(6; 1) |
A(2; 3; 2), B(0; 6; 2), C(0; 3; 8), D(2; 6; 10) |
3 |
А(-3; -3), B(2; 3), C(7; 0) |
A(0; 3; 2), B(-2; 6; 2), C(-2; 3; 8), D(0; 6; 10) |
4 |
А(-2; -3), B(3; 3), C(8; 0) |
A(2; 1; 2), B(0; 4; 2), C(0; 1; 8), D(2; 4; 10) |
5 |
А(-4; -1), B(1; 5), C(6; 2) |
A(2; 3; 0), B(0; 6; 0), C(0; 3; 6), D(2; 6; 8) |
6 |
А(-4; 0), B(1; 6), C(6; 3) |
A(2; 2; 1), B(0; 5; 1), C(0; 2; 7), D(2; 5; 9) |
7 |
А(-1; -3), B(4; 3), C(9; 0) |
A(1; 3; 1), B(-1; 6; 1), C(-1; 3; 7), D(1; 6; 9) |
8 |
А(-1; -4), B(4; 2), C(9; -1) |
A(1; 2; 2), B(-1; 5; 2), C(-1; 2; 8), D(1; 5; 10) |
9 |
А(-5; 0), B(0; 6), C(5; 3) |
A(2; 3; 1), B(0; 6; 1), C(0; 3; 7), D(2; 6; 9) |
10 |
А(0; -1), B(5; 5), C(10; 2) |
A(2; 2; 2), B(0; 5; 2), C(0; 2; 8), D(2; 5; 10) |
11 |
А(-2; 1), B(3; 7), C(8; 4) |
A(1; 3; 2), B(-1; 6; 2), C(-1; 3; 8), D(1; 6; 10) |
12 |
А(0; -3), B(5; 3), C(10; 0) |
A(0; 1; 2), B(-2; 4; 2), C(-2; 1; 8), D(0; 4; 10) |
13 |
А(-4; 1), B(1; 7), C(6; 4) |
A(0; 3; 0), B(-2; 6; 0), C(-2; 3; 6), D(0; 6; 8) |
I |
II |
III |
14 |
А(0; 0), B(5; 6), C(10; 3) |
A(2; 1; 0), B(0; 4; 0), C(0; 1; 6), D(2; 4; 9) |
15 |
А(-1; 1), B(4; 7), C(9; 4) |
A(0; 2; 1), B(-2; 5; 1), C(-2; 2; 7), D(0; 5; 9) |
16 |
А(-6; 0), B(-1; 6), C(4; 3) |
A(1; 1; 1), B(-1; 4; 1), C(-1; 1; 7), D(1; 4; 9) |
17 |
А(0; -4), B(5; 2), C(10; -1) |
A(1; 2; 0), B(-1; 5; 0), C(-1; 2; 6), D(1; 5; 8) |
18 |
А(-6; 1), B(-1; 7), C(4; 4) |
A(0; 1; 0), B(-2; 4; 0), C(-2; 1; 6), D(0; 4; 8) |
19 |
А(1; -1), B(6; 5), C(11; 2) |
A(0; 1; 1), B(-2; 4; 1), C(-2; 1; 7), D(0; 4; 9) |
20 |
А(-2; 2), B(3; 8), C(8; 5) |
A(0; 2; 0), B(-2; 5; 0), C(-2; 2; 6), D(0; 5; 8) |
21 |
А(-7; -1), B(-2; 5), C(3; 2) |
A(1; 1; 0), B(-1; 4; 0), C(-1; 1; 6), D(1; 4; 8) |
22 |
А(-2; -6), B(3; 0), C(8; -3) |
A(1; 2; 3), B(-1; 5; 3), C(-1; 2; 9), D(1; 5; 11) |
23 |
А(-7; -3), B(-2; 3), C(3; 0) |
A(1; 4; 1), B(-1; 7; 1), C(-1; 4; 7), D(1; 7; 9) |
24 |
А(-4; -6), B(1; 0), C(6; -3) |
A(3; 2; 1), B(1; 5; 1), C(1; 2; 7), D(3; 5; 9) |
25 |
А(1; 0), B(6; 6), C(11; 3) |
A(0; 2; 3), B(-2; 5; 3), C(-2; 2; 9), D(0; 5; 11) |
26 |
А(-1; 2), B(4; 8), C(9; 5) |
A(1; 1; 3), B(-1; 4; 3), C(-1; 1; 9), D(1; 4; 11) |
27 |
А(-7; 0), B(-2; 6), C(3; 3) |
A(1; 4; 0), B(-1; 7; 0), C(-1; 4; 6), D(1; 7; 8) |
28 |
А(1; -4), B(6; 2), C(11; -1) |
A(3; 2; 0), B(1; 5; 0), C(1; 2; 6), D(3; 5; 8) |