m32352_11
.DOC
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид
ПРИМЕР 2. Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее заданному начальному условию (решить задачу Коши):
Решение. Данное уравнение является линейным. Разделим обе его части на , а искомую функцию представим в виде произведения двух других: . Тогда и исходное уравнение примет вид
или
. (**)
Выберем функцию так, чтобы полученная при группировке скобка в (**) обратилась в нуль:
(здесь выбрано частное решение с C = 0 и без знаков модулей).
Подставим в (**). Тогда имеем
.
В качестве функции возьмем общее решение этого дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:
.
Вычислим интеграл с помощью формулы интегрирования по частям:
.
Таким образом, , а общее решение исходного уравнения имеет вид
.
Теперь для нахождения значения произвольной постоянной C воспользуемся начальным условием . Тогда имеем
0,2=2(ln1 + 1)+C,
откуда
0,2=2(0+1)+C, С= – 1,8.
Итак, искомое частное решение имеет вид
.
ПРИМЕР 3. Найти частные решения следующих линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами при заданных начальных условиях:
1) |
; |
; |
; |
2) |
; |
; |
; |
3) |
; |
; |
. |
Решение. 1) Характеристическое уравнение имеет два различных вещественных корня , , поэтому общее решение этого дифференциального уравнения записывается в виде
,
где , произвольные постоянные.
Отсюда
.
Используя начальные условия, получаем
, т.е. ,
и
, т.е. .
Решая систему уравнений
получаем , . Частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, найдено и имеет вид
.
2) Характеристическое уравнение имеет два равных корня , поэтому общее решение соответствующего дифференциального уравнения записывается в виде
,
откуда
.
Учитывая начальные условия, получаем систему уравнений для определения , :
Отсюда ; , поэтому искомое частное решение имеет вид
.
3) Характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни , поэтому общее решение соответствующего дифференциального уравнения записывается в виде
.
Отсюда
.
Таким образом, для определения значений , , исходя из начальных условий, получаем систему уравнений
решая которую, имеем , .
Таким образом, искомое частное решение имеет вид
.
ПРИМЕР 4. Найти общие решения следующих линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:
1) ; 2) .
Решение.
1) Найдем общее решение линейного однородного уравнения с теми же коэффициентами, что и в левой части заданного:
Так как корни его характеристического уравнения действительны и различны ( ; ), то общее решение однородного уравнения записывается в виде
,
где , произвольные постоянные.
Правая часть заданного неоднородного уравнения относится к виду , где многочлен степени n от переменной x. В нашем случае , поэтому, учитывая совпадение одного из корней характеристического уравнения с параметром а, подбираем частное решение исходного неоднородного уравнения по формуле
,
где А, В неопределенные коэффициенты. Для отыскания их значений находим
,
.
Подставляя , , в исходное уравнение и сокращая все слагаемые на множитель , получаем
или, после упрощения,
.
Отсюда следуют равенства
, , т.е. , .
Таким образом, общее решение заданного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид
.
2) Решаем характеристическое уравнение:
.
Отсюда записываем общее решение однородного уравнения:
.
Так как правая часть заданного неоднородного уравнения относится к типу и имеется совпадение одного