VIII. Дифференциальные уравнения

54. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах. Приложения дифференциальных уравнений первого порядка в различных областях науки и практики.

55. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие краевых задач для дифференциальных уравнений. Уравнения, допускающие понижение порядка. Приложения к решению задач о второй космической скорости, о движении маятника, об изгибе стержня.

56. Однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Понятие общего решения; его структура.

57. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнения со специальными правыми частями, отыскание их решений. Приложения к описанию линейных моделей.

58. Нормальная система дифференциальных уравнений. Автономные системы. Векторная запись нормальной системы. Геометрический смысл решения. Фазовое пространство (плоскость), фазовая кривая. Приложения в динамике систем материальных точек, в теории автоматического управления, в биологии (модель «хищники-жертвы») и т.д.

59. Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

60. Метод исключения для решения нормальных систем дифференциальных уравнений. Простейшие численные методы.

61. Системы линейных дифференциальных уравнений, свойства решений. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

62. Понятие о качественных методах исследования систем дифференциальных уравнений.

IX. Числовые и функциональные ряды.

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

63. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами.

64. Методы исследования сходимости числовых рядов.

65. Функциональные ряды. Область сходимости, методы ее определения.

66. Степенные ряды. Разложение функций в степенные ряды. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях.

67. Ряды Фурье по тригонометрическим системам. Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье. Условия поточечной сходимости и сходимости «в среднем». Применение тригонометрических рядов Фурье в приближенных вычислениях.

X. Общая схема построения интегралов

68. Задачи, приводящие к понятиям кратных, криволинейных и поверхностных интегралов.

69. Двойной и тройной интегралы, их свойства. Вычисление кратных интегралов повторным интегрированием.

70. Площадь поверхности. Определение поверхностных интегралов, их свойства, примеры вычисления.

71. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их свойства, примеры вычисления.

XI. Теория вероятностей

72. Предмет теории вероятностей.

73. Классификация событий. Пространство элементарных событий. Алгебра событий.

74. Понятие случайного события. Относительные частоты. Закон устойчивости относительных частот.

75. Классическое и геометрическое определения вероятности. Понятие об аксиоматическом построении теории вероятностей.

76. Методы исчисления вероятностей.

77. Схема Бернулли.

78. Дискретные случайные величины. Ряд распределения. Функция распределения, ее свойства. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины.

79. Непрерывные случайные величины. Функция и плотность распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.

80. Нормальный закон распределения случайной величины, его свойства.

81. Понятие о различных формах закона больших чисел. Теоремы Бернулли и Чебышева. Центральная предельная теорема Ляпунова.