III. Дифференциальное исчисление

25. Понятие функции, дифференцируемой в точке, его геометрический смысл. Дифференциал функции. Общее представление о методах линеаризации.

26. Производная функции, ее смысл в различных задачах. Правила нахождения производной и дифференциала.

27. Производная сложной и обратной функции. Инвариантность формы дифференциала. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

28. Точки экстремума функции. Теорема Ферма.

29. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применение.

30. Производные и дифференциалы высших порядков.

31. Правило Лопиталя.

32. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и форме Лагранжа. Представление функций

по формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора в вычислительной математике.

33. Понятие об интерполяции и аппроксимации.

IV. Применение дифференциального

ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЯ ИХ ГРАФИКОВ

34. Условия монотонности функции. Экстремумы функции, необходимое условие. Достаточные условия экстремумов. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке.

35. Исследование графика функции на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

36. Асимптоты графика функции. Понятие об асимптотическом разложении.

37. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

38. Понятие кривой. Примеры. Уравнения касательной и нормали к кривой в заданной точке.

V. Элементы высшей алгебры. Функции комплексного переменного.

39. Комплексные числа, действия с ними. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексного числа. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа. Корни из комплексных чисел.

40. Многочлены. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.

41. Разложение рациональных дробей на простейшие.

VI. Интегральное исчисление

42. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства.

43. Методы интегрирования. Использование таблиц интегралов.

44. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл как предел интегральных сумм, его свойства.

45. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенных интегралов.

46. Приближенное вычисление определенных интегралов по формулам прямоугольников, трапеций, Симпсона.

47. Несобственные интегралы первого и второго рода, их основные свойства.

VII. Функции нескольких переменных

48. Понятие функции нескольких переменных. Область определения. Предел функции. Непрерывность.

49. Частные производные. Полный дифференциал, его связь с частными производными. Инвариантность формы полного дифференциала. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала. Использование полного дифференциала в теории погрешностей при вычислениях.

50. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.

51. Неявные функции. Дифференцирования неявных функций.

52. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума. Метод наименьших квадратов.

53. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Примеры поиска оптимальных решений.