Законы распределения с.В. N и X.

Многочисленные исследования показали, что реальные данные из практики страхования о числе страховых случаев за фиксированный промежуток времени (наряду с общим биномиальным) хорошо описываются с помощью пуассоновского или отрицательного биномиального распределения. Если N имеет распределение Пуассона

то несложно получить следующие выражения:

EN = DN = λ.

При пуассоновском распределении с.в. N распределение с.в. S называется сложным пуассоновским распределением, а числовые макрохарактеристики в этом случае имеют вид:

Сложное пуассоновское распределение имеет ряд привлекательных свойств, поэтому часто применяется в актуарных расчетах. Однако пуассоновское распределение не годится, если дисперсия числа страховых слу­чаев превышает его среднее. Последнюю ситуацию можно объяснить нарушением однородности договоров по параметру λ. Данную неоднородность можно учесть введением процедуры рандомизации.

Предположим, что параметр пуассоновского распределения является случайной величиной Λ с функцией плотности u(λ), λ > 0, а условное распределение с.в. N при условии Λ = λ является пуассоновским с параметром λ, тогда мы получаем семей­ство распределений для числа страховых случаев. Этот подход может оказаться полезным при рассмотрении распределения с.в. N в целом ряде случаев. Например, рассмотрим группу страхователей, такую, что страховые случаи в различных ее под­группах возникают в соответствии с пуассоновскими распределениями, имеющими различные значения параметра λ для разных подгрупп. Если обозначить через u(λ) относительную частоту значений параметра λ, то можно, используя формулу пол­ной вероятности, получить

Далее не сложно получить:

Если в качестве u(λ) выбрать гамма-функцию с параметрами α и β:

то для с.в. N получим распределение, которое носит название отрицательного биномиального распределения^

Распределение случайной величины S в этом случае носит название сложного отрицательного биномиального распределения. Для с.в. N числовые макрохарактеристики в этом распределении имеют вид:

Параметры отрицательного биномиального распределения связаны с параметрами гамма функции следующими соотношениями:

Для распределения размеров индивидуальных страховых возмещений X_i имеется гораздо больше возможностей, но все же класс возможных распределений не слишком широк (дискретные распределения, экспоненциальное распределение, распределение Парето, гамма-распределение и, возможно, еще 3-4 типа распределений). Особенно важен случай, когда X_i принимают дискретные значения. В сущности, этот частный случай покрывает все реальные ситуации, так как на практике страховые возмещения обычно измеряются целыми рублями (или даже округляются до сотен или тысяч рублей).

Специфические предположения о характере распределений случайных величин N и X позволяют установить ряд дополнительных свойств модели коллективного риска и сделать общие формулы более содержательными. В частности свойства сложного пуассоновского распределения можно использовать в случае неоднородного портфеля. Если портфель сильно неоднороден и невозможно провести процедуру рандомизации, тогда необходимо разбить его на несколько однородных портфелей, вычислить для них соответствующие характеристики и законы распределений. Соответствующий закон распределения суммарных выплат для всего портфеля будет определяться согласно следующей теоремы:

Теорема 1.

Если S₁,S₂,…,S_m – взаимно независимые случайные величины, такие, что Si имеет сложное пуассоновское распределение с параметром λ_i и функцией распределения величины страховых выплат F_i(x), i = 1,2,…,m, то с.в. S = S₁ + S₂ +…+S_m имеет сложное пуассоновское распределение с

(3.3.8)

(3.3.9)