3.2. Распределение Пирсона

Если – независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение, то сумма их квадратов подчиняется распределению (хи-квадрат) Пирсона. Распределение имеет один параметр – число степеней свободы, определяемый количеством независимых случайных величин, сумма квадратов которых составляет случайную величину, распределенную по закону Пирсона.

Распределение хи-квадрат широко используется в прикладных задачах математической статистики. С его помощью проверяются гипотезы относительно значений дисперсий, проверяется согласие экспериментальных данных с теоретическими законами распределения.

Обозначение
Параметр	– число степеней свободы
Плотность вероятности
Функция распределения
Среднее
Дисперсия
Стандартное отклонение
Коэффициент вариации
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса

Значение -квантиля распределения Пирсона обозначается и может быть рассчитано, например, по формуле аппроксимации Голдштейна

,

где – p-квантиль стандартного нормального распределения, значение которого вычисляется по формулам и ,

– константы

0 1 2 3 4 5 6	1.0000886 0.4713941 0.0001348028 -0.008553069 0.00312558 -0.0008426812 0.00009780499	-0.2237368 0.02607083 0.01128186 -0.01153761 0.005169654 0.00253001 -0.001450117	-0.01513904 -0.008986007 0.02277679 -0.01323293 -0.006950356 0.001060438 0.001565326

или с помощью аппроксимации Корниша-Фишера (более простая, но менее точная, чем аппроксимация Голдштейна)

,

где , , ,

, ,

– p-квантиль стандартного нормального распределения, значение которого вычисляется по формулам и .

3.3. Распределение Стьюдента

Если – случайная величина, распределенная по стандартному нормальному закону, а независимая от нее случайная величина имеет распределение хи-квадрат с степенями свободы, то случайная величина подчиняется распределению Стьюдента с степенями свободы.

Распределение Стьюдента (t-распределение) широко применяется в задачах обработки экспериментальных данных (например, при построении доверительных интервалов и проверке гипотез относительно среднего при неизвестной дисперсии).

Обозначение
Параметр	– число степеней свободы
Плотность вероятности
Функция распределения
Среднее	0
Дисперсия
Коэффициент вариации	0
Коэффициент асимметрии	0
Коэффициент эксцесса
Медиана	0

Задачу расчета p-квантили распределения Стьюдента с степенями свободы можно решить с помощью аппроксимации Корниша-Фишера

или с помощью аппроксимации Морана

,

где – p-квантиль стандартного нормального распределения, значение которого вычисляется по формулам и .

Обратную задачу расчета вероятности p, соответствующей значению квантили (то есть значение функции распределения Стьюдента ), можно решить по формуле

,

где ,

,

– константа, значения которой даны в таблице

i j	1	2	3	4	5
0 1 2 3 4	0.09979441 -0.58121 1.390993 -1.222452 2.151185	0.04431742 -0.2206018 0.03317253 5.679969 -12.96519	0.009694901 -0.1408854 1.88993 -12.75532 25.77532	-0.0000918228 0.03789901 -1.280346 9.249528 -19.08115	0.000579602 -0.02763334 0.4517029 -2.657967 5.127212

– константа, значения которой даны в таблице

i j	1	2	3	4	5
1 2	-5,537409 11,42343	-5,166733 13,49862	-4,233736 14,3963	-2,777816 16,461132	-0,5657187 21,83269