3.4. Распределение Фишера

Если две независимые случайные величины и распределены по закону Пирсона со степенями свободы, соответственно, и , то случайная величина имеет распределение Фишера (F-распределение) со степенями свободы и .

Обозначение
Параметры
Плотность вероятности
Функция распределения
Среднее
Дисперсия

F-распределение широко применяется при обработке данных (при сравнении дисперсий, анализе корреляций).

Квантиль распределения Фишера при известных значениях степеней свободы и и при заданном значении доверительной вероятности p можно найти, например, с помощью аппроксимации Воглера-Нортона

,

где , ,

– p-квантиль стандартного нормального распределения, значение которого вычисляется по формулам и .

Пример Вычислить с помощью аппроксимации Воглера-Нортона значения и Решение: По условию задачи . Вычислим коэффициенты , . Найдем квантиль стандартного нормального распределения при по формуле , тогда , и по формуле . Найдем квантиль стандартного нормального распределения при по формуле , тогда , и .

3.5. Экспоненциальное и логнормальное распределения

Экспоненциальное распределение – это одно из наиболее часто встречающихся распределений в теории надежности. Используется для описания внезапных отказов, когда износом изделия можно пренебречь. Наработка на отказ многих невосстанавливаемых изделий и наработка между соседними отказами у восстанавливаемых изделий в случае простейшего потока отказов подчинены экспоненциальному распределению. Наработка на отказ большой многокомпонентной системы может быть описана экспоненциальным распределением при любом распределении наработки на отказ компонентов системы.

Обозначение
Параметр
Плотность вероятности
Функция распределения
Среднее
Дисперсия
Стандартное отклонение
Коэффициент вариации	1
Коэффициент асимметрии	2
Коэффициент эксцесса	6
Медиана

Пример Наработка на отказ прибора распределена экспоненциально с интенсивностью отказов . Вычислить вероятность того, что наработка на отказ превысит 1000 ч. Найти вероятность того, что наработка на отказ будет находиться в интервале от 1200 до 1500 ч. Вычислить значение наработки, вероятность превышения которой равна 0.8. Определить, как изменится наработка прибора при уменьшении интенсивности отказов до . Решение: Вероятность того, что наработка на отказ превысит 1000 ч, равна . Вероятность того, что наработка будет находиться в интервале от 1200 ч до 1500 ч, определяем по свойству функции распределения . Наработку , вероятность превышения которой равна 0.8, находим из соотношения , то есть При снижении интенсивности отказов до

Двойное экспоненциальное распределение (в записи функций вместо используется ) называется распределением Лапласа.

Если случайная величина Y распределена нормально, то случайная величина подчинена логарифмически нормальному (или логнормальному) закону распределения. Часто используется для описания износовых отказов. У многих невосстанавливаемых электронных приборов (некоторые типы электронных ламп, полупроводниковые приборы) наработка на отказ распределена логарифмически нормально.

Обозначение
Параметры
Плотность вероятности
Функция распределения
Среднее
Дисперсия
Коэффициент вариации
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Медиана

Распределение имеет положительную асимметрию. Произведение независимых случайных величин, подчиняющихся логарифмически нормальному распределению, также распределено логарифмически нормально.

При вычислениях, связанных с логарифмически нормальным распределением, пользуются приемами для нормального распределения, заменяя при этом значение случайной величины ее логарифмом.

Логарифмически нормальное распределение иногда ошибочно принимается за экспоненциальное. Распределение случайной величины близко к логнормальному, если

,

где – объем выборки, , ,

– результаты наблюдений.