5585
.pdfа) правой части f x 4x 5 соответствует частное решение y* Ax B . Когда правая часть – полином, смотрим, был ли среди корней 0. Такого корня
нет, поэтому y* |
Ax |
B (иначе было бы y* |
Ax |
B x , т.е. Ax2 |
Bx ). |
|
|
|||||||||
Находим y* |
Ax |
B |
A и |
y* |
Ax |
B |
|
A |
0 . Подставим их в ле- |
|||||||
вую часть уравнения: |
y* |
25y* |
0 |
25 Ax |
B |
25Ax |
25B . |
|
|
|
|
|||||
Ищем A, B , чтобы для всех x выполнялось |
25Ax |
25B 4x |
5 . Это равно- |
|||||||||||||
сильно тому, что |
25A |
4 и |
25B |
5 (коэффициенты при одинаковых степе- |
||||||||||||
нях переменной должны совпадать). |
Значит, A |
4 |
|
0,16 |
и |
B |
5 |
0,2 . |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
25 |
25 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Итак, в случае а) частное решение y * |
0,16x |
0,2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
б) по правой части f x 3e ем, было ли среди корней число кого корня нет, поэтому y* Ae
Соответственно
2 x строим частное решение y* Ae 2 x . Проверя- –2, стоящее перед переменной в показателе. Та- 2 x без умножения на x.
|
y* |
Ae 2 x |
2 Ae 2 x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y* |
Ae 2 x |
|
2 Ae 2 x |
|
2 2 Ae 2 x |
4 Ae 2 x . |
|
|
|
|
||||||
Подставим в левую часть уравнения: |
y* |
25y* |
4 Ae 2 x |
25A 2 x |
21Ae 2 x . |
||||||||||||
Чтобы |
для |
всех |
x |
выполнялось |
21Ae 2 x |
3e 2 x , |
достаточно |
равенства |
|||||||||
21A |
3 , или A |
|
1 |
. Итак, в случае б) имеем y* |
|
1 |
e 2 x ; |
|
|
|
|||||||
7 |
|
7 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) когда справа f |
x |
e 5 x , составляем y* Ae 5 x |
и смотрим, есть ли среди |
||||||||||||||
корней –5. Такой корень есть: k |
2 |
5 , поэтому умножаем на x: |
y* |
Axe 5 x . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поиск производных немного усложняется: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
y* |
Axe 5x |
A x e 5x x |
e 5x |
|
A 1 e 5x x |
|
5 e 5x |
A 1 |
5x e 5x ; |
|||||||
y* |
A 1 5x e 5x |
1 5x e 5x |
A 5 e 5x |
1 5x 5 e 5x |
A 25x 10 e 5x . |
||||||||||||
Подставим: |
y* |
25y* A 25x |
10 e 5 x |
25Axe 5 x |
|
10Ae 5 x . Должно выпол- |
|||||||||||
няться |
10Ae 5x |
e 5x , поэтому |
10A |
1 и A |
0,1. Получили, что y* |
0,1xe 5 x ; |
92
г) по правой части |
f |
x |
2 cos3x |
составим |
y* |
A cos3x |
B sin 3x . Среди кор- |
||||||||||||||||||||||||
ней не было сопряжённой пары k |
3i , и умножать y* на переменную x не надо. |
||||||||||||||||||||||||||||||
Производные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y* |
|
A cos3x |
B sin 3x |
|
|
3Asin 3x |
3B cos3x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
y* |
|
3Asin 3x |
|
|
3B cos3x |
|
9 A cos3x |
|
|
9B sin 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
подставляем в уравнение |
y* |
|
|
25y* |
2 cos3x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Получаем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
9Acos3x 9B sin3x |
|
25 Acos3x |
|
B sin3x |
2 cos3x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
или 34Acos3x 34B sin3x 2 cos3x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Тогда |
34A |
2 и |
|
34B 0 , откуда A |
|
|
1 |
|
|
и |
B |
0 . Значит, |
y* |
|
|
|
1 |
cos3x . |
|||||||||||||
|
|
17 |
|
|
|
17 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ: |
y |
C e 5 x |
C |
e5 x |
y* , где y* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
0,16x |
0,2 ; |
|
|
|
б) |
|
1 |
e 2 x |
; |
|
|
|
в) |
0,1xe 5x ; |
|
|
г) |
|
1 |
|
|
cos3x . |
|
|||||||
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
17 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 11. Решим уравнение y |
|
2 y |
|
f x , где правая часть f |
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
а) 4x ; |
|
|
|
б) 4e2 x ; |
|
в) 10e 2 x ; |
|
г) 12sin2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Однородное уравнение имеет вид y |
2y 0 . Характеристическое для него – |
||||||||||||||||||||||||||||||
это k 2 |
2k |
|
0 , и его корни – числа k |
0 |
и k |
2 |
|
|
2 . Общее решение однородного |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения – функция y |
oo |
C e0 x C e |
2 x , или y |
oo |
C |
C e 2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) по правой части |
|
f |
x |
4x составляем y* |
Ax |
B |
и ищем число 0 среди |
||||||||||||||||||||||||
корней характеристического уравнения. Такой |
корень |
есть ( k1 |
0 ), |
поэтому |
|||||||||||||||||||||||||||
y* Ax |
B x . Удобно раскрыть скобки: |
y* |
|
Ax 2 |
Bx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Производные |
y* |
|
|
Ax 2 |
Bx |
2 Ax |
B |
и |
|
|
y* |
|
2 Ax |
|
B |
2 A подставим в |
|||||||||||||||
уравнение |
y* |
2 y* |
|
|
|
4x : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2A |
|
2 2Ax |
|
B |
4x , или 4Ax |
|
2A |
2B |
|
4x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях: 4 A |
4 и 2A |
2B |
0 |
||||||||||||||||||||||||||||
(справа отсутствует свободный коэффициент). Очевидно, |
A |
1 , |
тогда |
B |
1 . |
||||||||||||||||||||||||||
Значит, |
y* |
|
x2 |
x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
93
|
б) когда справа |
f x |
4e2 x , составляем y* Ae2 x , среди корней ищем число 2. |
||||||||
Такого корня нет, и умножать y* |
на переменную x не надо. |
||||||||||
|
Находим |
y* |
Ae2 x |
|
2 Ae2 x |
и y* |
|
2 Ae2 x |
4 Ae2 x , тогда |
||
|
|
|
|
y* |
|
2 y* |
4 Ae2 x |
2 2 Ae2 x |
8Ae2 x . |
||
Но f |
x 4e2 x , поэтому 8Ae2 x 4e2x , откуда 8A 4 и A |
0,5. Итак, y* 0,5e2 x ; |
|||||||||
|
в) |
если |
f x 10e 2 x , |
то |
y* |
Ae 2 x . |
Но коэффициент –2 есть среди корней: |
||||
k |
2 |
2 , поэтому y* |
Axe 2 x . |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифференцируем: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
y* |
Axe 2 x |
A e 2 x |
x |
2e 2 x |
A 1 |
2x e 2 x , |
||
|
|
y* |
A 1 2x e 2 x |
A 2 e 2 x |
1 2x 2e 2 x |
A 4x 4 e 2 x , |
и подставляем в левую часть уравнения:
|
y* |
2 y* |
A 4x 4 e 2 x |
2 A 1 2x e 2 x |
|
2 Ae 2 x . |
|
||||||
Из тождества |
2Ae 2x 10e 2x определяем, что A |
5 . Тем самым y* 5xe 2 x ; |
|||||||||||
г) для f x |
12sin 2x |
составляем |
y* A cos2x |
B sin 2x |
и ищем среди корней |
||||||||
сопряжённую пару k |
2i . Такой пары нет, и y* на переменную x не умножаем. |
||||||||||||
Дифференцируем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y* |
A cos2x |
B sin 2x |
|
2 Asin 2x |
2B cos2x , |
|
||||||
|
y* |
|
2 Asin 2x |
2B cos2x |
|
4 Acos2x |
4B sin 2x , |
|
|||||
Подставляем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y* |
2 y* |
|
4 A cos2x |
4B sin 2x |
2 |
2 Asin 2x |
2B cos2x , |
||||||
группируем: |
4A |
4B cos2x |
4B |
4A sin 2x , приравниваем к f |
x : |
||||||||
|
|
4A |
4B cos2x |
4B |
4A sin 2x |
12sin 2x . |
|
||||||
Система |
4 A |
4B |
0 |
имеет решение A |
1,5 и B |
|
1,5 . Поэтому |
||||||
|
4B |
4 A |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y* |
1,5 cos2x |
1,5sin 2x . |
|
|
|
|
|||
Ответ: y |
C |
C2 e 2 x |
|
y* , где y* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) x2 x ; |
б) |
0,5e2 x ; |
|
в) |
5xe 2 x ; |
|
г) |
1,5 cos2x |
sin 2x . |
94
ПК 3. Найдите общее решение неоднородного уравнения.
1) y 4 y f x , где f x
|
а) 12x 3; |
|
б) 4x ; |
|
в) 3e x ; |
|
г) 5e3x ; |
|||
|
д) 3cos x ; |
|
е) 5cos3x ; |
ж) 8sin2x ; |
з) |
5 cos x sin x ; |
||||
2) |
y |
2 y |
f |
x , где f x |
|
|
|
|
|
|
|
а) 4 ; |
|
б) |
2 ; |
в) 6e2 x ; |
г) 11e 3x ; |
|
|||
|
д) cos x ; |
|
е) 6cosx ; |
ж) 6e x ; |
з) |
cos x |
2sin x ; |
|||
3) |
y |
4 y |
3y |
f |
x , где |
f x |
|
|
|
|
|
а) |
2ex ; |
|
б) 4ex ; |
в) 2e3x ; |
г) 2 e3x |
e x ; д) 2 e3x e x . |
§15. Системы линейных дифференциальных уравнений
спостоянными коэффициентами
Впособии показано, как методом исключения решить простейшие системы
|
x |
ax |
by с постоянными коэффициентами a, b, c, d . |
|||||
|
y |
cx |
dy |
|
|
|
|
|
Общее решение таких систем – функции x t, C1 , C2 |
и y t, C1 , C2 , где t – аргумент, |
|||||||
а C1 , C2 – произвольные постоянные. |
|
|
|
|
|
|||
|
Схема решения системы методом исключения |
|||||||
1) |
выразим из 1-го уравнения y |
1 |
x |
ax ; |
|
|||
|
|
|||||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
2) |
продифференцируем 1-е уравнение: x |
ax |
by ; |
|||||
3) |
подставим y |
из 2-го уравнения: x |
ax |
b cx dy ; |
4) в полученное уравнение вместо y подставим 1b x ax . В результате полу-
чим уравнение относительно функции x:
x ax b cx |
|
d |
|
x |
ax |
, |
|
|
b |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
после упрощений приводимое к уравнению |
x |
px |
qx 0 , где |
p, q определя- |
|||
ются коэффициентами a, b, c, d . |
|
|
|
|
|
|
|
Решив уравнение, получим x t, C1 , C2 |
, затем найдём x t, C1 , C2 |
(производную |
по параметру t) и подставим в формулу для y, найденную на 1-м шаге.
95
Общие формулы не приведены, поскольку проще применить идею для конкретного уравнения, чем подставлять коэффициенты.
Пример 1. Решим систему |
x |
|
|
|
|
|
|
4 y |
|
в общем виде и при условии |
|
x 0 |
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 |
2. |
|
||||||
Продифференцировав 1-е уравнение, получим, что |
|
|
|
x |
|
|
4 y . Но |
|
y |
3x , |
по- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
этому x |
4 3x |
12x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение x |
12x , или x |
|
12x |
|
0 – это уравнение 2-го порядка с постоян- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ными коэффициентами. |
Ему |
|
|
соответствует |
|
|
|
|
характеристическое |
уравнение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k 2 12, корни которого k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
12 и k |
2 |
|
|
|
|
|
|
12 . Согласно схеме решения уравне- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ний с постоянными коэффициентами, x t |
C e |
|
|
|
12t |
|
|
C |
e 12t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Чтобы найти y t |
, заметим, что из 1-го уравнения y |
|
|
|
|
|
0,25x . Производную |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x t |
C e 12t |
C |
e 12t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12C e |
12t |
|
|
12C |
e 12t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
подставим в равенство y |
0,25x : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
C e |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
C |
|
|
|
|
|||||||||||
y |
0,25x t |
0,25 |
|
12C e |
|
|
|
12t |
|
|
|
|
|
12C |
e 12t |
|
|
|
|
|
|
12t |
e 12t . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x t |
|
|
|
|
|
C e |
|
|
12t |
|
|
C |
e 12t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Итак, общее решение системы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y t |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
e 12t |
C e 12t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Чтобы найти частное решение, соответствующее условию |
|
x 0 |
|
1, y 0 |
0 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
подставим в общее решение значения t |
|
|
0, x 1, y |
0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
C e |
12 0 |
|
C |
e 12 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
C |
e |
12 0 |
|
|
|
|
C e 12 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
|
C2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Поскольку e0 1, система принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
C |
|
|
|
|
C |
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из 2-го уравнения, очевидно, следует равенство C1 |
|
|
|
|
C2 , тогда из 1-го урав- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нения находим, что C1 0,5 и C2 |
|
|
0,5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Подставив эти значения C1 , C2 |
в общее решение, получаем частное решение |
96
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x t |
0,5e |
|
12t 0,5e 12t |
x t |
0,5 e |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||
y t |
|
0,5e 12t 0,5e 12t |
y t |
e |
||||||||||||||||
2 |
|
|
4 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12t
12t
e
e
12t
.
12t
Проверим правильность решения. Если t |
|
|
0 , будет x |
1 и y |
|
|
0. Кроме того, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
t |
0,5 e |
|
12t e 12t |
|
e |
|
|
12t |
|
e |
12 |
t |
3e |
|
12t |
3e 12t |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
12 |
e |
|
t |
|
|
|
3 12 |
e |
|
|
|
|
|
|
3 |
e |
|
t |
3 |
e |
|
t . |
|||||||||||||||||||
y |
t |
0,25 |
3 e 12t e 12t |
12 |
|
|
12t |
|
12 |
12 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
Можно убедиться, что xt 4 y и y 3x , и оба уравнения системы выполнены.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ответ: общее решение x t |
C e |
|
12t |
C |
e 12t |
, y t |
|
|
|
|
|
C |
e 12t |
C e |
12t |
, част- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ное решение x t |
0,5 e |
|
12t e 12t |
, y t |
0,25 |
|
3 e 12t |
e |
|
12t . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Пример 2. Решим систему |
x |
27y |
в общем виде и при условии |
x 0 |
1 . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 |
0 |
|||
|
Дифференцируя 1-е уравнение, получаем, |
|
что |
x |
|
|
|
|
27y , |
затем, |
с |
учётом |
|||||||||||||||||||||||
y |
3x , приходим к уравнению x |
27 |
3x |
|
|
|
|
81x , т.е. x 81x |
0 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Характеристическое уравнение |
k 2 |
81 |
|
0 |
|
|
имеет мнимые корни |
k |
9i и |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
k2 |
9i , поэтому x t |
C1 cos9t |
C2 sin 9t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Чтобы найти y t , из 1-го уравнения выразим y |
1 |
|
|
x . Поскольку |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
27 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
t |
C1 cos9t |
C2 sin 9t |
|
|
9C1 sin 9t 9C2 cos9t , |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
1 |
|
9C1 sin 9t |
|
|
|
|||
27 |
||||
|
|
Итак, общее решение системы:
9C |
|
cos9t |
|
|
1 |
C |
|
cos9t |
1 |
C sin 9t . |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
3 |
2 |
|
3 |
1 |
|||
x t |
C1 cos9t |
C2 sin 9t |
|
|
|
||||||||
y t |
|
1 |
C |
|
cos9t |
C sin 9t . |
|
||||||
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим в него значения t |
|
0, x |
1, y |
0 из начального условия, тогда |
|||||
1 |
C1 cos 9 |
0 |
C2 sin 9 0 |
||||||
0 |
1 |
|
C |
|
cos 9 |
0 |
C sin 9 0 . |
||
|
|
|
2 |
||||||
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
97
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
|
|
1 |
|
|
C1 |
1 |
||||
Учитывая, что cos0 |
1 и sin0 |
|
|
|
0 , приходим к системе |
|
|
1 |
C2 |
|
0 , или |
C2 |
0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Поэтому частное решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x t |
1cos9t |
0 sin 9t |
|
|
|
|
|
|
x t |
|
|
cos9t |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y t |
|
1 |
|
0 cos9t |
|
1sin 9t |
, или |
|
y t |
|
|
|
|
1 |
sin 9t . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Проверим выполнение уравнений основной системы. Находим |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
9 cos9t |
|
|
|
|
9 sin 9t |
и y |
|
|
|
|
1 |
sin 9t |
|
|
|
|
|
|
|
3cos9t . |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверим условие x |
27y : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
9 sin 9t |
27 |
|
1 |
sin 9t |
|
|
– выполнено как тождество. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Проверим условие y |
|
3x : |
|
|
|
|
3cos9t |
3cos9t – очевидное тождество. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: общее решение |
x t |
C cos9t |
C |
|
|
sin9t , |
|
y t |
|
|
|
|
|
1 |
C |
|
cos9t |
C sin9t , |
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
частное решение x t |
cos9t , |
y t |
|
|
|
|
1 |
sin 9t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 3. Решим систему |
|
x |
|
2x |
|
3y в общем виде и при условиях |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
3x |
|
8y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) x 0 2, y 0 |
|
|
|
1 ; |
|
|
|
|
|
б) x 1 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
, y 1 |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из 1-го уравнения выразим y |
|
1 |
|
|
2x |
x |
, затем продифференцируем: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
2x |
3y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Подставим y |
3x |
8y из 2-го уравнения: x |
|
|
2x |
|
3 3x |
8y . Раскрыв скоб- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ки, получим x |
2x |
9x 24y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Поскольку y |
|
1 |
|
2x |
|
x |
, то x |
|
|
|
2x |
9x |
|
|
|
24 |
1 |
|
2x |
|
x . Раскроем скобки: |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
10x |
25x |
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
У уравнения k 2 |
10k |
25 |
|
0 два одинаковых корня k |
|
|
5 , и |
x t |
C |
C |
t e5t . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
Чтобы найти y t , ищем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x t |
C C |
t e5t |
|
|
|
|
|
C C |
2 |
t e5t |
C C |
t e5t |
|
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
или x t C |
e5t |
C |
C |
t 5e5t |
|
|
|
5C |
|
C |
2 |
5C |
|
t e5t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
98
Подставим в равенство y |
1 |
2x |
|
x , т.е. в y |
|
2 |
x |
|
|
|
1 |
x : |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||
|
|
y |
|
2 |
C C |
|
t e5t |
1 |
5C C |
|
|
|
|
5C |
t e5t . |
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Упростим: y |
C |
1 |
C |
|
|
|
C |
t e5t |
, или |
y |
|
C |
|
|
1 |
C |
|
C |
|
t e5t . |
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||
|
1 |
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x t |
|
|
C |
|
C |
t e5t |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, общее решение системы: |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
t e5t . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y t |
|
|
|
C |
|
C |
|
|
C |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) Найдём частное решение, соответствующее условию x 0 2, y 0 1 :
2 |
C C |
2 |
0 e5 0 |
|
|
|
C |
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
C1 |
2 |
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 e5 0 , или |
|
1 |
|
|
1 , откуда |
|||
1 |
C |
|
C |
|
C |
|
C |
C |
|
C |
|
3. |
||||
|
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
||||||||||
|
1 |
|
3 |
|
|
1 |
3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив эти значения в общее решение, получаем частное решение
x t |
2 |
3t e5t |
|
|
|
x t |
2 3t e5t |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
, или |
||
y t |
|
2 |
1 |
|
3 |
3 t e5t |
y t |
3t 1 e5t . |
||
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При t 0 будет x |
2, y |
|
1, что отвечает начальному условию; |
б) для условия x 1 e5 , y 1 23 e5 составляем систему
|
|
e5 |
C C |
2 |
|
1 e5 1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
e |
5 |
|
C |
|
|
1 |
|
C |
|
C |
|
1 e |
5 1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|||||||
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
C1 |
C2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
C1 |
2 |
||||
Разделив на e5 , получим, что |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
, откуда |
|||||||||
|
|
|
C |
|
|
C |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
2 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив эти значения в общее решение, получаем новое частное решение
x t |
2 t e5t |
|
|
|
x t |
t 2 e5t |
||||||
y t |
|
2 |
|
1 |
|
1 1t e5t , или |
y t |
|
5 |
|
t e5t . |
|
|
3 |
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
При t 1 будет x |
e5 и y |
|
2 |
e 5 |
– условие выполнено. |
|
|
|
|
|||
3 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
99
Пример 4. Решим систему |
|
x |
|
3x |
|
5y |
при условии x 0 |
1, y 0 |
2,6 . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
x |
|
|
|
7 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из 1-го уравнения y |
|
|
1 |
|
x |
|
|
3x . Дифференцируем: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
3x |
5y , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и вместо y |
подставляем x |
|
7 y из 2-го уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
3x |
|
|
5 x |
7 y |
, или x |
|
3x |
|
|
|
5x |
35y . |
|
|
|
|||||||||||||||||
Но y |
1 |
x |
3x , поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
3x 5x 35 |
|
1 |
|
x 3x , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
что равносильно уравнению x |
|
|
10x |
|
|
16x |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Корни уравнения k 2 |
|
10k |
|
16 |
0 – числа k |
|
2, k |
2 |
8 , и x t |
C e |
2t C |
e8t . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|||
Чтобы найти y t |
, берём производную: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x t |
|
|
C e2t |
|
C |
2 |
e8t |
|
2C e2t |
|
|
|
8C |
e8t , |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
подставляем в выражение для y: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
1 |
x |
|
|
|
3 |
x |
|
|
1 |
2C e2t |
8C |
e8t |
|
3 |
C e2t C |
e8t |
, |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
5 |
|
|
|
5 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
5 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
и упрощаем: y |
1 |
C e2t |
|
|
C |
e8t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x t |
|
C e2t |
C |
e8t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Общее решение системы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
y t |
|
|
|
|
0,2C e2t |
|
C |
e8t . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставим значения t |
0, x |
|
|
1, y |
|
|
|
|
2,6 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 C e2 0 |
|
C |
e8 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C C |
2 |
|
1 |
|
|
C 3 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
C2 e8 0 , откуда |
|
1 |
|
|
|
|
2,6 и |
1 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
2,6 |
0,2C1e2 0 |
|
|
|
0,2C1 |
|
|
C2 |
C2 |
2. |
|
|||||||||||||||||||||||||
Тогда частное решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x t |
3e2t |
|
|
|
2 e8t |
|
|
|
|
запишем как |
|
|
x t |
3e2t |
2e8t |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
y t |
|
0,2 3e2t |
|
|
|
|
2 e8t |
|
|
y t |
0,6e2t |
2e8t . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
При t |
0 , действительно, получим x |
|
|
|
1 и y |
|
|
|
2,6 . |
|
|
|
|
|
|
|
100
ДС1. Решите системы ЛНДУПК
а) |
x |
y |
б) |
x |
4 y |
в) |
x |
y |
г) |
x 2 y |
|
y |
x; |
y |
x; |
y |
4x; |
y 8x. |
|||||
|
|
|
|
ДС2. Найдите общее решение системы, а затем частное решение при указанных начальных условиях. Сделайте проверку.
1) |
x |
y |
а) x(0)=1, y(0)=1; |
в) x(0)=2, y(0)=0; |
|
||||||||||||||||
y |
x; |
б) x(0)=–1, y(0)=1; |
г) x(0)=0, y(0)=2; |
|
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) |
x |
3y |
а) x(0)=1, y(0)=–1; |
в) x(0)=3, y(0)=–1; |
|||||||||||||||||
y |
3x; |
б) x(0)=0, y(0)=2; |
г) x(0)=3, y(0)=1; |
|
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3) |
x |
y |
а) x(0)=1, y(0)=0; |
в) x(0)=1, y(0)=1; |
|
||||||||||||||||
y |
x; |
б) x(0)=0, y(0)=1; |
г) x(0)=1, y(0)=–1; |
||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
а) x |
|
1, y |
|
|
|
0 ; |
в) x |
|
|
1, y |
|
|
|
|
1; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
4 y |
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||
4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
x; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
б) x |
|
|
0, y |
|
1; |
г) x |
|
|
2, y |
|
|
1. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДС3. Найдите общее решение и частное решение при начальном условии:
1) |
x |
y |
|
|
|
|
|
1 ; |
2) |
x |
y |
|
|
|
|
|
|
6 ; |
y |
x; |
|
x |
|
1, y |
|
y |
9x; x |
|
|
1, y |
|
|
|||||
|
2 |
2 |
2 |
2 |
||||||||||||||
3) |
x 3y |
|
x 0 2, y 0 1; |
|
4) |
x |
y |
x 0 2, y 0 3 ; |
|
|||||||||
|
y |
3x; |
|
|
|
|
|
|
y |
y; |
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
x |
y |
x 0 0, y 0 6 ; |
|
6) |
x 4 y |
x 0 1, y 0 |
1; |
|
|||||||||
|
y |
3y; |
|
|
|
|
|
|
|
y |
y; |
|
|
|
|
|
|
|
7) |
x 2 y |
x ln2 0, y ln2 1/ 2 ; |
8) |
x 2x 3y x 0 1, y 0 5 ; |
||||||||||||||
|
y |
y; |
|
|
|
|
|
|
|
y |
x |
4 y; |
|
|
|
|
||
9) |
x |
4x |
|
y |
|
|
5 ; |
10) |
x |
x |
3y |
|
|
|
0 ; |
|||
y |
2x |
|
3y; x 0 |
1, y 0 |
y |
4x 6 y; x 0 |
1, y 0 |
101