Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5585

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

1.99 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

При решении заданий 3) появится интеграл от квадратичного выражения, его можно найти заменой, как указано в § 3.

§ 13. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Уравнение 2-го порядка y

решается обычным интегрированием:

а) находим y

x dx

F1 x

C1 ;

б) находим y

C1 x

C2 , где F2

F1 x dx .

Если дополнительно даны начальные условия y x0

и y

x0 y1 (постав-

лена Задача Коши), то можно найти C1

из равенства y1

C1 , а затем

найти C2 из равенства y0

C1 x0

C2 .

Если даны краевые условия

y x0

y x1

y1 (дана Краевая Задача), то

составляют систему

C1 x0

y0 ,

или

x0C1

F2 x0 , относи-

F2 x1

C1 x1

x1C1

F2 x1

тельно C1 , C2 , из которой и находят их любым способом.

В любом случае решение – это функция y

F2 x

C1 x

C2 – либо с конкрет-

ными значениями C1 , C2 ,

либо с общими обозначениями.

Ответ в виде чисел

C1 , C2 считается ошибочным.

В примерах интегралы взяты без лишних подробностей, по обычным правилам интегрирования. При появлении вопросов следует обратиться к главе I.

Пример 1. Решим уравнение y

8sin2x :

8sin 2xdx

sin 2xdx

cos2x

4 cos2x

C ;

4 cos2x

sin 2x

C x

2 sin 2x

C x

Проверим:

2 sin 2x

C1 x C2

4 cos2x

8sin 2x .

Ответ: y

2sin2x

C1 x

C2 .

Пример 2. Решим уравнение y

3x :

3 2

3x dx

xdx

3 1

4x 3 2

или y					1		4x						3	1					3	x			2				C			;
или y							4x						3							x							C			;
		4																	2								1
		4																	2
		1													1 dx						3						x2dx C dx															1			1												3 x3													,
y		1					4x 3														3																					1			1		ln		4x 3								3 x3					C x C							2
y							4x 3																																								ln		4x 3													C x C
		4																			2															1					4		4													2		3					1
		4																			2																				4		4													2		3
или y		1					ln				4x			3					1		x		3				C x							C	2	.
		1																	1				3

		16																	2								1
		16																	2
Проверим:												y							1			ln				4x					3			1			x	3	C x					C			2								1			4						3			x	2		C
																			1															1				3																	1			4						3				2

																	16																	2						1													16						4x		3			2						1
																	16																	2																			16						4x		3			2
						1					4x 3 1													3			x2								1				1 4x 3 2 4														3			2x					1							3x .
						4					4x 3 1												2				x2								4				1 4x 3 2 4														2			2x				4x 3 2								3x .
						4																	2												4																		2							4x 3 2
Ответ:						y							1	ln				4x					3				1			x		3			C x C					2	.
													1														1					3

												16															2									1
												16															2											e 2 x
Пример 3. Решим уравнение y																																						e 2 x				5 с условиями y 0																			1,			y			0			3.
Вначале находим
																					y							e 2 x dx										5dx						1		e 2 x				5x C
																					y							e 2 x dx										5dx								e 2 x				5x C
																																											2													1
																																											2
и подставляем x														0 и y													3 , согласно начальному условию:
3			1	e 2 0								5 0 C															1				C					3			C				3					1		C						3,5 ,
3				e 2 0								5 0 C																			C					3			C				3							C						3,5 ,
		2																	1								2					1								1								2			1
		2																									2																					2
тогда y							1		e 2 x						5x						3,5 . Поэтому
тогда y						2			e 2 x						5x						3,5 . Поэтому
						2
											y				1				e		2 x				dx				5				xdx						3,5dx						1			e	2 x			5		x		2			3,5x				C		,
											y			2					e						dx				5				xdx						3,5dx				4					e			2			x					3,5x				C	2	,
																																																																2

где	1	1										1	. Теперь подставляем x																													0 и y								1:
где													. Теперь подставляем x																													0 и y								1:
4		2										2
		1						1		e 2 0						5			02								3,5 0							C					1		1				C					C					1				1		C					0,75,
		1				4				e 2 0				2					02								3,5 0							C	2				1		4				C			2		C	2				1			4			C		2			0,75,
																																			2													2			2												2

и тогда		y				1			e			2 x			5			x	2				3,5x								0,75.
и тогда		y				4			e					2				x					3,5x								0,75.
						4								2

Проверим, будет ли функция решением задачи:

а)	0,25e 2 x 2,5x2		3,5x		0,75	0,5e 2 x		5x 3,5	e 2 x 5 ;
б)	y 0	0,25e 2 0	2,5	02	3,5	0 0,75	0,25	0,75	1 ;
в)	y 0	0,5e 2 0	5	02	3,5	0,5 3,5	3 .
Все условия выполнены.
Ответ: y		0,25e 2 x	2,5x2		3,5x	0,75.

Пример 4. Решим уравнение y																											cos				x		с условиями								y 0			2 и y			1.
Пример 4. Решим уравнение y																											cos						с условиями								y 0			2 и y			1.
																														3
Находим y										cos					x	dx				3sin			x		C			, затем
Находим y										cos						dx				3sin					C			, затем
													3									3			1
													3									3
	y		3sin						x		dx							C dx				3 3							cos			x			C x C						C x	C			9 cos			x	.
	y		3sin								dx							C dx				3 3							cos						C x C				2		C x	C	2		9 cos				.
							3									1														3						1			2		1		2				3
							3																							3																	3
Подставим x					0 и y											2 :
	2					9 cos								0			C			0		C						2		9					C		C				2 9				C		7 .
	2					9 cos											C			0		C		2				2		9					C	2	C	2			2 9				C	2	7 .
													3			1								2												2		2								2
													3
Подставим x							и y									1:
1	9 cos									C									C			1			9					C				7			C			1	4,5	7				C				1,5	.
1	9 cos									C									C	2		1								C				7			C			1	4,5	7				C					.
				3			1													2					2					1							1									1
				3																					2
Поэтому y				3				x					7				9 cos				x	. Проверим:
Поэтому y								x					7				9 cos					. Проверим:
				2																3
7	3	x	9 cos							x										3		3sin				x					cos			x	;
7		x	9 cos																			3sin									cos				;
	2						3													2					3									3
y 0	7		3		0						9 cos						0			7		0			9			2 ;
y 0	7				0						9 cos									7		0			9			2 ;
	2															3
y	7		3									9 cos								7		3			9			1		7				1,5			4,5			1.
y	7											9 cos								7					9					7				1,5			4,5			1.
	2															3						2						2
Ответ: y				7			3						x				9 cos				x	.
Ответ: y				7									x				9 cos					.
							2													3

В примере 4 поиск C1 , C2 достаточно прост. В общем случае приходится решать систему уравнений.

Пример 5. Решим уравнение y

с условиями y 1 2 и y 4 0 :

3x2

C , затем

6xdx 3

6 x

y 3x2dx

x3 4x

xdx

C x

Если подставить x

1 и y

2 (1-е условие), то

2 13

4 1 1 C 1 C C C 3.

Если подставить x

4 и y 0 (2-е условие), то

0 43

4 4 4 C 4 C 4C C 96 .

Получили систему	C1		C2	3
Получили систему	4C1		C2	96.
	4C1		C2	96.
Проще всего вычесть 1-е уравнение из 2-го, получить уравнение
			4C1	C1	C2	C2	96	3 ,
или 3C1 93, откуда C1			31, тогда из 1-го уравнения C2						3	31 28.
Можно также выразить из 1-го уравнения C2								3 C1 , подставить во 2-е, по-
лучить, что 4C1	3	C1		96 , откуда 3C1			93, и т.д.
Наконец, всегда можно применить универсальный метод Крамера.
Итак, в примере 5			x3			28 .
Итак, в примере 5		y	x3	4x x	31x	28 .

Замечание. Из курса алгебры следует, что система уравнений относительно C1 , C2 имеет решение при любых начальных условиях (поскольку её определитель всегда отличен от 0). Для краевых условий система иногда неразрешима.

ПП1. Решите уравнения

а) y

б) y

x 2 ;

а)

;

б)

;

а)

cos

;

б)

sin

;

а) y

3e2 x ;

б) y

4e 2 ;

ПП2. Решите Задачу Коши

6e 2 x

а) y 0 4 ;

б) y 3 14 ;

3cos0,5x

18sin 3x

а) y

; б) y 0 1

;

а)

y 1 0 ;

б) y 3 6

;

в) y

4 6x ;

г) y

7 6x2 ;

в)

;

г)

;

в)

3sin5x ;

г)

3cos 5

2x ;

в) y

5e2 x 3 ;

г) y

52 3x .

2e2 x 1

e 3

в)

y 0,5

;

г)

y 0

;

0,5

cos x

sin 2x

в) y 2 0

; г) y 0 0

;

x 1 2

3 3

в) y 0 2

;

г) y 2 0

ПП3. Решите Краевую Задачу

y 12x 4

3x2

2x 3 2

3 x 3

а) y 0 0

;

б) y 0

;

в) y 0 27 /16 ;

г) y 3

12 ;

y 1 2

y 2

y 1 0

y 4

36sin

cos

3cos4x

sin 2x

а) y 0

;

б) y

0,5

; в) y 0

;

г) y 0

0 ;

y 3

4,5

e x

4e2 x

9e 3x

4e2 x 1

а) y 0 3

;

б) y 0

4 ;

в) y 0 1 / 3

;

г) y 0 e 1 .

y 1 e 1

y ln 2 7

y 1

e 3

y 1 e1

§14. Линейные дифференциальные уравнения

спостоянными коэффициентами

Уравнение y py qy f x , где p, q – действительные числа, а f x– известная функция, называется линейным ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами (ЛДУПК). Если f x 0 , оно однородное, если нет – неоднородное.

Неизвестное в таких уравнениях – функция y x . Предполагается, что она определена в каждой точке, в которой определена f x .

Однородные уравнения с постоянными коэффициентами Схема решения

Составим характеристическое

уравнение

k 2 pk

q 0

найдём

его

дискриминант D p2 4q ;

Если

уравнение

имеет

2 действительных

корня k1, k2 , причём

, и тогда, как доказано в теории, y x

C ek1x

ek2 x ;

Если

уравнение

имеет

одинаковых

корня

k1 ,

поскольку

k 2

q 2 раза делится на k

. В этом случае

y x

x ek1x

;

4) Если D 0, уравнение имеет комплексные корни. Находим параметры

, тогда y x

e x C cos x

sin x .

5) Для уравнения k 2 q 0 , где q

0 , в ситуации (4) получается

0 , и то-

гда y x C1 cos x C2 sin x , где q .

Во всех случаях C1 , C2 – произвольные постоянные, и y x– общее решение.

Удобно воспользоваться обозначением мнимой единицы i 1 и считать,

что при D 0 получаем комплексно-сопряжённые корни i .

Для уравнений высокого порядка a

y a y

y n

0 получается

характеристическое уравнение a

a k

k 2

k n

0 , каким-либо спосо-

бом находятся все его корни, решение составляется отдельно для каждого корня, и все решения суммируются. В экономике такие уравнения возникают редко.

Пример 1. Решим уравнение y 8y 15 0 . Составляем характеристическое

уравнение k 2		8k	15		0 , его корни k										5, k		2		3	действительны и не совпада-
														1			2
ют. Общее решение y					C e 5 x			C	2	e 3x , где C , C								2	– произвольные постоянные.
					1				2						1			2
Пример 2. Для уравнения y										12y				36		0 соответствующее характеристиче-
ское уравнение k 2				12k		36		0	имеет 2						совпадающих корня k								6 . Получаем
общее решение y				C	C	2	x e6 x .
			1			2
Пример 3. Уравнение							y	16y 0 приводит к характеристическому уравне-
нию k 2		0 , или k 2				16 . Но													4 , тогда y C cos4x							sin 4x .

	16												16		16									C	2
																						1			2
Пример 4. Решая уравнение										y				6y	34y				0,	из уравнения			k 2	6k 34			0

						62
получаем корни x			6			62		4	34					6			100			6	10i	3	5i .
получаем корни x							2								2						2	3	5i .
							2								2						2
В этом случае y				e	3x C cos5x						C		2	sin 5x .
							1						2
В практических задачах уравнение обычно дополняется условиями y x0																											y0
и y x0	y1 (или y x0				y0 и y x1							y1 ), и тогда можно найти значения констант
C1 , C2 и получить частное решение.

Пример 5.

Решим уравнение

0 при условии

y 0

1, y 0

9 .

Составляем уравнение

k 2

0 ,

находим k

3, k

2 ,

составляем общее

решение y

C e 3x

e2 x .

Из условия y 0

1 получаем уравнение

(поскольку e0

1).

Чтобы учесть условие

y 0

9 , находим

3C e 3x

e2 x и подставляем

x 0

9 :

3C1

2C2 .

Получили систему

из которой

3C1

2C2

и C

3 . Частное решение y

1e 3x

3e2 x , или y

3e2 x

e 3x .

Пример

Решим

уравнение

16y

при

начальном

условии

y 0

2, y 0

5 . Уравнение k 2

0 имеет 2

корня k

4 , поэтому об-

щее решение y

x e 4 x .

Подставив x

2 из условия

y 0

2 , получаем, что

0 e0

2 ,

откуда C1

2 . Затем находим

y C C

x e 4 x

C C

x e

4 x

e 4 x

4 C C

x e 4 x

4C C

x e 4 x

и подставляем x

0 и

5 . Приходим к системе

5 , из которой

4C1

3 . Частное решение y

3x e 4 x .

Пример 7.

Чтобы

решить

уравнение

81y

начальным

условием

1 и

0 , решаем уравнение k 2

0 и по корням k

9i состав-

ляем общее решение y

C1 cos9x

C2 sin 9x .

Чтобы найти C1 , C2 , нам понадобится производная

9C1 sin 9x

9C2 cos9x .

Подставим

1 и y

0 .

Поскольку cos

cos

0 и sin

1 ,

приходим к системе

9C1

1 9C2

Из неё следует,

что C1

0 и C2

1 , и частное решение

0cos9x

1sin9x ,

или y

sin9x .

ПК1. Найдите общее решение уравнения y py

qy 0. Найдите решение

задачи Коши (частное решение при указанных начальных условиях):

0 ;

а) y 0 5; y 0 13;

б) y 0 6; y 0 0 ;

в) y 0 0; y 0

8 ;

г) y 0 0; y 0

12 ;

д) y 0 3; y 0

3 ;

е) y 0 2; y 0 10 ;

16y

0 ;

а) y 0 3; y 0

24 ;

б) y 0 3; y 0 6 ;

в) y 0 0; y 0 20 ;

г) y 0 0; y 0

20 ;

д) y 0

2; y 0 26 ;

е) y 0 2; y 0 14 ;

0 ;

а) y 0 0; y 0

б) y 0 2; y 0

4 ;

в) y 0 2; y 0

6 ;

г) y 0 1; y 0 0 ;

д) y 0 3; y 0

7 ;

е) y 0 1; y 0 1;

0 ;

а) y 0 0; y 0 2 ;

б) y 0 2; y 0 6 ;

в) y 0 1; y 0 4 ;

г) y 0 1; y 0 2 ;

д) y 0 1; y 0 0 ;

е) y 0 3; y 0 7 ;

0 ;

а) y 0 1; y 0 0 ;

б) y 0 1; y 0

4 ;

в) y 0 2; y 0

4 ;

г) y 0 0; y 0 4 ;

д) y 0 5; y 0

12 ;

е) y 0 1; y 0 8 ;

16y

0 ;

а) y 0 1; y 0 0 ;

б) y 0 0; y 0 4 ;

в) y 0 1; y 0

4 ;

г) y 0

1; y 0 4 ;

д) y 0 2; y 0 12 ;

е) y 0 3; y 0

8 ;

36y

0 ;

а)

0; y

12 ;

б)

2; y

0 ;

в)

2; y

6 ;

г)

3; y

12 ;

д)

1; y

6 ;

е)

1; y

12 .

ПК2. Найдите общее решение уравнения y

16y

и частное решение, со-

ответствующее краевому условию:

1) а) y 0

0, y

2 ;

б) y 0 1, y

в) y 0

1, y

1 ;

г) y 0 2, y

0 ;

д) y 0 2, y

е) y 0

2, y

3 ;

2) а) y 0 1, y

0 ;

б) y 0 1, y

;

в) y 0

2, y

г) y 0 0, y

д) y 0

2 ;

е) y 0

0 .

2, y

Пример 8. Пусть дано уравнение y

0 и условие y 0

1 .

Составляем уравнение k 2 9

0 и по стандартной схеме получаем общее ре-

шение y

C1 cos3x

C2 sin 3x .

Подставим x 0 и y 2 :

C1 cos 3 0

C2 sin 3 0

0 2

2 ;

Подставим x

и y

C1 cos 3

sin 3

C1 cos

sin

1 .

Частное решение имеет вид y

2 cos3x

1sin3x , или y

2 cos3x sin3x .

В общем случае приходится решать систему относительно C1 , C2 .


Пример 9. Решим уравнение y									4y	0 при условии y										0,	y						3 .
Пример 9. Решим уравнение y									4y	0 при условии y						6				0,	y		12				3 .
По характеристическому уравнению k 2										4 0 определяем, что
								y C1 cos2x		C2 sin 2x .
По условию, если x							, то y		0 , поэтому
По условию, если x						6	, то y		0 , поэтому

C cos 2			C		sin 2			0	C cos		C		sin		1			1	C			3		C		0 ;
C cos 2			C	2	sin 2			0	C cos		C	2	sin		1				C					C	2	0 ;
1	6			2		6			1	3		2		3			2			1	2				2
	6					6				3				3			2				2

Если же x			, то y 3 , и тогда
Если же x		12	, то y 3 , и тогда

																								3	C		1	C
C cos 2			C	2	sin 2			3			C cos							C		2	sin	3		3			1		2	3 .
C cos 2			C		sin 2			3			C cos							C			sin	3								3 .
1	12						12			1			6								6		2			1	2
	12						12						6								6		2				2
	Умножив оба уравнения на 2, решаем алгебраическую систему

										C1				3C2			0

											3C1			C2			2		3.
Можно выразить из 1-го уравнения C1																			и подставить во 2-е, тогда
Можно выразить из 1-го уравнения C1																	3C2		и подставить во 2-е, тогда

	3		3C2			C2	2 3			3C2			C2				2 3				2C2	2 3 C2					3 .
Значит, C1							3 .
Значит, C1		3			3		3 .

	Итак, частное решение: y							3cos2x								3 sin 2x .
	Неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами
									y			py			qy			f		x

в общем случае решают методом вариации произвольных постоянных. При этом нередко получают интегралы, не берущиеся в элементарных функциях. Этот метод выходит за рамки пособия.

В простых случаях, когда правую часть уравнения можно представить в виде f x eax Pn x cosbx Qm x sinbx ,

где полиномы Pn x , Qm x , а также числа a и b известны, применяют метод не-

определённых коэффициентов.

Его идея в том, что решение неоднородного уравнения можно представить как сумму двух решений:

–общего решения соответствующего однородного уравнения;

–частного решения неоднородного уравнения.

При этом частное решение выглядит так же, как правая часть, но отличается только коэффициентами и, возможно, множителем xr .

Идею метода и некоторые важные моменты лучше разобрать на примерах.

Пример 10. Решим уравнение y		25y	f		x , где правая часть				f x
а) 4x 5;	б) 3e 2 x ;	в)	e 5x ;			г) 2 cos3x .
Решаем однородное уравнение y		25y		0 .		Характеристическое уравнение
k 2 25 0 имеет два различных действительных корня k								5 и	k	2	5 , и общее
						1				2
решение однородного уравнения – функция y					oo	C e 5x	C	e5x .
					oo	1	2

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20221.96 Mб25580.pdf
#
13.11.20221.96 Mб55581.pdf
#
13.11.20221.96 Mб85582.pdf
#
13.11.20221.99 Mб05583.pdf
#
13.11.20221.99 Mб35584.pdf
#
13.11.20221.99 Mб45585.pdf
#
13.11.20222.01 Mб55586.pdf
#
13.11.20222.01 Mб55587.pdf
#
13.11.20222.02 Mб35588.pdf
#
13.11.20222.03 Mб55589.pdf
#
13.11.20222.03 Mб25590.pdf