567_Kozljaev_JU._D._SAbornik_zadach_i_uprazhnenij_po_kursu_EHlektropitanie_

Рис. 1.3. Примеры сигналов s(t), h(t) (a) и их модулей (б). Кратность периодов Ts/Th3 = 6

Заметим, что квадратические ошибки определяются разницей энергии сигналов s(t) и h(t) только в случае их ортогональности.

2. Примеры задач и пояснения к их решению

П.2.1. Вычислить среднее значение So пилообразного сигнала, показанно-

го на рис. П.2.1 а при А1 = 100 В, D1 = T1/T = 0.6, А2 = 60 В.

Рис. П.2.1

Решение. Представим s(t) суммой двух сигналов s1(t) и s2(t). На основании уравнения (1.1) и пояснений к нему находим: So1 = 0.5A1T1/T = 0.5A1D1 = 30 B, So2 = 0.5A2(T ‒ T1)/T = 0.5A2(1 ‒ D1) = 12 B. Суммируя полученные решения, находим: So = So1 + So2 = 42 B.

11

Решение. А. Из графика функции следует очевидное соотношение:

So > 0.5A (для треугольного сигнала с высотой А, значение So = 0.5A). Выберем уровень линии So таким образом, чтобы площади отмеченные затемнением были примерно равны.

Из построений следует приближенное соотношение So 23 А .

Б. Точное решение найдем на основании (1.1) приняв t1 = 0, T = / :

П.2.3. Определить действующее значение импульсных сигналов s1(t), s2(t), показанных на рис. П.2.3. Найти действующие значения сигналов при A = 100 B и четырех значениях относительной длительности импульсов D = Ти/Т1:

D1 = 0.25, D 2 = 0.5, D 3 = 0.64, D 4 = 1.0.

s1

Рис. П.2.3

Решение. Так как квадраты сигналов s12 (t) и s 22 (t) совпадают, то при одинаковой величине D действующие значения сигналов также должны совпадать.

12

По формуле (1.4 а) находим:

Sд(D1) = 50 B, Sд(D2) = 70.7 B, Sд(D3) = 80 B, Sд(D4) = 100 B.

П.2.4. Вычислить значения амплитуд первой и третьей гармоник импуль-

сного сигнала s 2 (t) (рис. П.2.3) при A = 100 B, D = 0.9.

Определить значения D, при которых обращаются в ноль гармоники с но-

мером k = 3, k = 5.

Решение. А. Общее выражение для вычисления амплитуд гармоник получим из соотношения (1.2). Переносом начала координат на интервал времени

T Т И / 2 (пунктирная линия на рис. П.2.3) представим s2(t) четной функцией. С учетом свойств четной функции находим:

При заданных значениях А и D находим: для k = 1, Um1 = 125.8 B, для k = 3, Um3 = 37.8 B.

Б. Из общего решения следует, что гармоники обращаются в ноль при значении аргумента синуса kD / 2 = n , где n = 1,2,3… . Для k = 3 это условие выполняется при D = 2/3 = 0.667, для k = 5 при D1 = 0.4 и D2 = 0.8.

П.2.5. Вычислить амплитуду гармонического сигнала, аппроксимирующего прямоугольную функцию с высотой А (рис. П.2.5) по условию минимума квадратической ошибки.

Рис. П.2.5

Решение. На основании выражения (1.5 б) с учетом четности функций сигналов h(t) = Umcos( t ) и s(t) = А, ( / 2 t / 2 ) находим:

/ 2

13

следует, что поставленной задаче соответствует условие Um = 4 A . Заметим,

что амплитуда первой гармоники сигнала «прямоугольный синус», полученная по формуле (1.2) дает такое же решение.

Подставляя в (П.2.5) найденное значение Um, находим минимальные ошибки аппроксимации:

П.2.6. На рис. П.2.6 показан сигнал s(t) ступенчатой формы. Относительная длительность «ступени» с высотой А = 2.0 имеет величину D1 = 1/3 = 0.333. Относительная длительность импульса второй ступени (с высотой 0.5А = 1.0) D2 = 2/3 = 0.667.

Определить: действующее значение сигнала и амплитуду первой гармоники сигнала.

Решение. Рассмотрим два варианта решения задачи.

Вариант 1

А. Оценка действующего значения. Представим сигнал s(t) суммой ортогональных (неперекрываемых) биэлементарных сигналов s1(t) и s2(t) (рис. П.2.6 а). А(s1) = A = 2, А(s2) = 0.5 и вычислим действующие значения элементарных сигналов (Sд1, Sд1) и их суммы (Sд):

Рис. П.2.6

14

Б. Определим амплитуды первых гармоник составляющих сигналов используя известное расчетное выражение (табл. Приложения П.1, сигнал № 5, k = 1).

зультирующее значение амплитуды первой гармоники определим как

Sm1 = S2m1(S1) Sm2 1(S 2) 1.684.

Вариант 2

Представим сигнал суммой функций s3(t) и s4(t), не отвечающими условию ортогональности (рис. П.2.6, вариант 2). Высота импульса каждого из сигналов

Методом геометрического суммирования векторов, отображающих амплитуды первых гармоник сигналов, с взаимным фазовым сдвигом

φ = 6 (30эл.град.) находим результирующее значение Um1:

(1.27 0.6366sin( / 6))2 (0.636cos( / 6))2 1.684.

2. Действующее значение суммы сигналов. Так как сигналы не ортогональны, в решении кроме слагаемых, связанных с энергией элементарных сигналов, должна присутствовать составляющая, обусловленная «взаимной» энергией сигналов на интервале D4.

15

Sд4 A4 D4 0.5A13 , 2A1 A 4 D4 = 23 (0.5A) 2 , Sд = 0.5A 1 23 13 A / 2 .

Таким образом, оба подхода дают одинаковые решения, однако трудозатраты первого варианта решения существенно ниже.

П.2.7. Исследуемый сигнал s(t) = Sm(cos t ‒ cos ) образуется методом «отсечения» от косинусоидальной функции sc(t) = Smcos( t) составляющей сигнала Е = Smcos (рис. П.2.7, сигнал s(t) обозначен затемнением). При заданных значениях Sm и угла отсечки или полного угла отсечения

Определить:

˗среднее значение (So) сигнала;

˗амплитуду отсеченного сигнала (А);

˗амплитуду первой гармоники (Um1);

˗действующее значение сигнала (S ) ‒ показатели качества: коэффициент формы (Кф), коэффициент амплитуды (Ка), при условии:

Sm = 310 B, E = 268.5 B, угол отсечки arccos( SmE ) 30эл.г рад или /6 рад.

Рис. П.2.7

Решение:

1. Среднее значение сигнала:

2.Амплитуда «отсеченного» сигнала:

А= Sm[cos(0) ‒ cos ] = Sm ‒ E=310 ‒ 268.5 = 41.5 B.

16

3. Амплитуда первой гармоники сигнала:

5.Коэффициент амплитуды: Ка = А/Sд = 41.5/12.14 = 3.42.

6.Коэффициент формы сигнала: Кф = Sд/So = 12.14/4.6 = 2.64.

П.2.8. Сигнал s(t) образован перемножением синусоидального сигнала амплитудой А = 100 и пилообразного с единичной амплитудой (рис. П.2.8). Отношение частот исходных функций кратно четному числу М (в приведенном на рис. П.2.8 примере М = Т/Тт = 18, соответственно, число пилообразных импульсов на интервале синусоидальной полуволны N = 0.5M = 9).

Вычислить действующее значение сигнала s(t).

Как следует из рисунка сигнал s(t) может быть представлен суммой N сдвинутых по времени на интервал Тт знакопеременных треугольных сигналов sn(t) c амплитудой An. Один из составляющих сигналов с порядковым номером n = 3 показан на рисунке. Действующее значение «составляющего» сигнала (табл. приложения П.1 сигнал № 7), определяется соотношением:

17

А.6. Сигнал прямоугольной формы имеет высоту А = 100 с варьируемой величиной относительной длительности импульсов D = Ти/Т.

s

А

t

Tи T

Построить зависимости среднего и действующего значений сигнала в функции от величины D (0...1.0) . При каком значении D, среднее значение сигнала равно So = 24. Определите соответствующую этому значению D величину первой гармоники сигнала (Sm1).

величины α от 0 до π, при указанном в задании значения амплитуды сигнала (Sm). Определите величины α для получения указанного в задании значения

So.

s1 s2

Рис. А.7

А.8. В импульсном сигнале с высотой полуволны А изменяют относительную длительность импульсов D = Ти/0.5Т от 0 до 1.0.

s

А

T

Определить:

1. Зависимости действующего значения сигнала и амплитуды первой гармоники от величины D. Построить в одном масштабе временные диаграммы

20