41_Astakhov_v._M._Mekhanika_
.pdfМинистерство Российской Федерации по связи и информатизации
Сибирский
государственный
университет
телекоммуникаций В.М. АСТАХОВ, Е.А. ШИШИКИНА и информатики
МЕХАНИКА
Учебное пособие
11оносибирск
2003
Министерство Российской Федерации по связи и информатизации
Сибирский государственный университет телекоммуникации и информатики
В.М. Астахов
Е.А. Шишикина
МЕХАНИКА
Учебное пособие
Новосибирск
2003
УДК 531 (075. 8:51)
Ктн В. М. Астахов, Е. А. Шишикина
Механика: Учебное пособие /Сиб. гос. ун-т телекоммуникаций и информатики. — Новосибирск, 2003. — 30 с.
Вучебном пособии рассматриваются наиболее распространённые понятия, характеристики и законы механики. Отдельно описываются разделы механики: такие как кинематика и динамика. Анализируются основные виды движения: равномерное, равнопеременное и неравномерное как для вращательного, так и для поступательного движения. Обсуждаются понятия работы, энергии и мощности, и доказывается взаимосвязь этих характеристик. Специальное внимание уделяется законам сохранения энергии и импульса.
Взаключении приводится аналоговая таблица характеристик и формул механики поступательного и вращательного движения.
Учебное пособие предназначено для студентов дневной, заочной и дистанционной форм обучения направления 654400.
Кафедра физики
Таблиц — 1, рисунков — 25.
Рецензенты: В. Н. Холявко, А. И. Никифоров
Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ в качестве учебного пособия
©Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики, 2003 г.
|
|
3 |
|
Оглавление |
|
1 КИНЕМАТИКА |
4 |
|
1.1 |
Кинематика поступательного движения |
4 |
1.2 |
Кинематика вращательного движения |
7 |
1.3Связь между параметрами поступательного и вращательного
|
|
движений |
9 |
|
1.4 |
Ускорение при вращательном движении |
10 |
2 |
ДИНАМИКА |
13 |
|
|
2.1 |
Динамика поступательного движения |
13 |
|
2.2 |
Законы Ньютона |
14 |
|
2.3 |
Закон сохранения импульса |
16 |
|
2.4 |
Работа |
17 |
|
2.5 |
Механическая энергия |
19 |
|
2.6 |
Условия равновесия тел |
23 |
|
2.7 |
Закон сохранения механической энергии |
24 |
|
2.8 |
Контактное взаимодействие тел |
25 |
|
2.9 |
Динамика вращательного движения |
27 |
|
2.10 |
Закон сохранения момента импульса |
29 |
|
2.11 |
Моменты инерции тел различной формы |
30 |
|
2.12 |
Кинетическая энергия вращающегося тела |
33 |
|
2.13 |
Работа при вращении тела |
34 |
3 |
ОБОБЩЕНИЕ |
36 |
|
4 |
ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ В МЕХАНИКЕ |
37 |
|
4
1 Кинематика
Механика — раздел физики, рассматривающий взаимодействие физических тел. Механика делится на три раздела: кинематика, статика, динамика.
Кинематика — раздел механики, изучающий взаимодействие физических объектов вне причин, вызывающих это взаимодействие.
Статика — раздел механики, изучающий взаимодействие физических объектов в равновесии.
Динамика — раздел механики, изучающий взаимодействие физических объектов связи с причинами, вызывающими это взаимодействие.
Причинами любого взаимодействия являются силы.
Физические объекты Абсолютно твердое тело — физический объект, размеры которого учи-
тываются при его взаимодействии с другими объектами и в процессе взаимодействия форма тела не изменяется.
Материальная точка — физический объект, размерами которого можно пренебречь при взаимодействии с другими объектами.
1.1 Кинематика поступательного движения
Положение физических тел в пространстве определяется системой координат. Система координат выбирается произвольно, но в дальнейшем все законы движения тесно привязаны только к этой системе.
Декартова система (х; у; z; t) |
X |
х .1 у -L z — пространственные координаты; |
|
t — временная координата. |
|
|
Z |
Полярные координаты
Вполярных координатах положение точки определяется углом поворота
ирасстоянием от точки начала координат до искомой точки, которое называется радиус-вектором. Радиус-вектор — это линия, соединяющая начало координат и искомую точку в любой системе координа т.
А
Рисунок 3
5
Система координат вводится произвольно (исследователем), но в дальнейшем при рассмотрении физических законов следует строго придерживаться выбранной системы.
Свойства физических объектов характеризуются параметрами, которые разделяются на два типа.
Скаляр — физическая величина, определяемая численным значением и единицей измерения (масса, температура).
Вектор — физическая величина, определяемая численным значением, направлением в пространстве, единицей измерения (скорость, сила...).
Все физические величины опираются на систему СИ (SI), из которых являются основными: килограмм (кг), метр (м), секунда (с), ампер (А), моль, К (кельвин), кд (кандела). Все остальные величины являются следствием основных.
Параметры движения
-Траектория — это линия, описывающая поведение предметов в пространстве.
-Перемещение — это прямая, соединяющая начальную и конечную точку движения.
-Путь — расстояние, пройденное телом вдоль траектории, обозначается
- 5 .
-Скорость — это величина, численно показывающая, на сколько изменяется путь в единицу времени, обозначается — V.
- |
Ускорение |
— величина, численно определяющая изменение скорости |
|
в единицу |
времени, обозначается — а . |
Движение бывает
-Прямолинейное — движение вдоль прямой, соединяющей начальную и конечную точки:
Вращательное — движение, при котором каждая точка физического объекта описывает окружность вокруг единой оси,
-Криволинейное — движение, траекторию которого можно разбить на участки вращающего и прямолинейного движения.
Рисунок 3
Итак, для анализа законов движения при любой форме траектории применяем дробление траектории на участки, в пределах которых могут применяться или только законы прямолинейного движения, или только вращательного. Эта процедура называется дифференцированием.
Дифференцирование любой физической величины применяется, когда эта величина изменяется не линейно.
Например, можно путь разбить на участки AS , в пределах которых за время At —> 0 участок выгладит или как отрезок прямой, или как дуга окружности.
d
Тогда можно ввести оператор дифференцирования функции по времени -—: dt
dt dt
Движение тела бывает
-Равномерное — это движение, при котором путь изменяется в единицу времени на одну и ту же величину. Это изменение называется
скоростью.
АЛ'At = const = v, при этом а — и.
-Равнопеременное — подразумевает, что тело движется по траектории, то с большей, то с меньшей скоростью.
dS |
^ |
dS |
— |
Ф const, |
— = v = f ( / ) , а = const. |
dt |
|
dt |
-Неравномерное — скорость меняется абсолютно произвольно.
|
dS |
Ф const, |
dS |
|
|
|
а = f ( t ) . |
|
— |
—- = v = f (?), а Ф const, |
|||||
|
dt |
|
dt |
|
|
|
|
|
Законы |
движения |
|
|
|
|
|
• |
Для равномерного движения: |
|
|
|
|||
|
|
|
|
S |
= vt. |
|
(l.i) |
• |
Для равнопеременного |
движения: |
|
|
|||
|
|
S = v0t± |
at2 |
; v = v0±at; |
' |
(1.2) |
|
|
|
|
|||||
7
где Vq — скорость до начала отсчета времени, когда тело движется только
равномерно.
• Для неравномерного движения запишем в самом общем виде/
S = A + Bt + Ct2 + Dt3+...,
Тогда скорость v и ускорение а запишутся как:
v= |
— |
= B + 2Ct + 3Dt2 |
+ ... |
(1.3) |
||
|
dt |
|
|
|
|
|
dv |
d |
,dS. |
d2S |
-„ |
,„ |
(1.4) |
— = — ( — ) = — - = 2С + 6Dt +... |
||||||
dt |
dt |
dt |
dt |
|
|
|
Таким образом, получаем, что |
S,v, |
а — являются функциями времени, |
||||
для неравномерного движения.
Здесь можно отметить, что по виду формулы, описывающей закон движения, можно определить тип движения. Если в формуле пуги время стоит в первой степени, то движение равномерное; если во второй степени — равнопеременное; если в третьей степени и более — неравномерное движение.
1.2 Кинематика вращательного движения
Вращательное движение можно наблюдать на вращении диска, на котором стоит метка.
Движение метки на диске подчиняется любому из указанных ранее законов поступательного движения.
Путь, пройденный меткой по траектории, прямо соответствует углу между радиус-векторами, определяющими начальное и конечное положение метки.
Рисунок 3
8
Если движение осуществляется по окружности, то углом |
поворота |
или |
||
угловым |
перемещением |
называется отношение пути, пройденного по окруж- |
||
|
|
S |
|
|
ности, |
к радиусу этой |
окружности или <р =г— \ поскольку |
г = const, |
то |
<р ~ S • Единицей измерения углового перемещения (размерность, в даль-
нейшем dimension) является ф т ( р _ [м] _ ура()] (радиан) — безразмерная ве-
личина. Она обычно пишется как указатель на вращательное движение. Тогда полный оборот:
2Ш „ |
(1.5) |
д> = ~— = 2п. |
|
г |
|
Параметры вращательного движения
-Равномерное движение.
= const = со • |
О-6) |
At
где СУ — скорость, (р = COt \ ускорение /3, /3 = 0.
-Равнопеременное движение.
|
йср |
|
da) |
|
|
п |
|
|
|
dt Ф const Ф СО;dt |
= const = р ; |
|
|
||||
|
(p = a>Qt± р е |
; О) = СО0±/3 t. |
|
|
(1.7) |
|||
Неравномерное |
движение. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
<p = A + Bt + Ct + Dr |
+ ... |
||||
d(D |
п |
do.) |
|
„ |
_ _ |
~ „ ? |
(1.8) |
|
-^-Ф |
const -, /3 = |
*const ;.d)=B |
+ 2Ct + 3Dtl |
+ ... |
||||
dt |
|
dt |
/3 = 2C + 6Dt |
+... |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
To есть, в этом случае все три параметра: угловое перемещение, угловая скорость, угловое ускорение, зависят от времени:
<P=f{t),Q) = f{t),0 |
= f { t ) |
Частота вращательного движения
СО — угловая скорость (угловая частота)
d(p |
pad |
V |
со = —-; dim со - |
с |
с - И ] . |
dt |
Если тело совершает в единицу времени полный оборот, это значит за 1 секунду пройдено 2л радиан.
Если СО = 2Л , то говорят, что скорость вращения V равна 1 оборот в секунду, где V ещё называют частотой.
Число оборотов или циклов физического процесса в единицу времени
называется частотой V. |
|
|
со = 2Ш, dim v = оборот |
" Г |
= И |
с |
с |
Отсюда видно, что единицу измерения вращательного движения лучше писать, указывая, о радианах или оборотах идёт речь.
1.3Связь между параметрами поступательного
ивращательного движений
Попробуем привести в соответствие угловую и поступательную скорость, угловое и поступательное ускорение.
СО ~ V ; ft ~ a .
Для этого подвергнем процедуре дифференцирования выражение, определяющее угловое перемещение:
с |
d_ |
dj!£ |
|
cp = |
dt dt |
dt у r j |
r dt |
|
если Г ~ const, то получаем
CO =1—V, или v = cor. r
Аналогичную процедуру проделаем с полученным выражением для угловой скорости:
1d dco _ 1 ^dv
d)= —v dt ' dt r dtг