41_Astakhov_v._M._Mekhanika_

10

Получаем

1.4 Ускорение при вращательном движении

Скорость при вращательном движении есть вектор, расположенный по касательной к окружности в данной точке.

Пусть 1 начальная, а 2 — конечная точки движения тела по окружности. Соответственно, Vj и V2 скорости в начале и конце движения, Г} и Г2 — радиус-векторы, определяющие положение точек 1 и 2. Тогда скорость изменяется на Av , а путь, пройденный телом — AS , изменение координаты тела

— Дг.

Перенесём параллельно вектор Vj в точку 2, чтобы сопоставить с конеч-

ной скоростью v2 и определить графически изменение скорости ДV .

При равномерном движении при сохранении скорости постоянной по величине, изменяется её направление:

|v| = const. Если точки 1 и 2 сближать до тех пор, пока длина пути не совпадёт с перемещением, то есть At —» 0 , тогда AS = А г.

Рассмотрим треугольники, включающие рассматриваемые вектора: Artr2AS ~ Av, V2AV (подобные треугольники по рисунку 4.)

МДу

Дг v

Разделив это соотношение на At получим:

11

где a H — нормальное ускорение.

При указанных условиях считаем, что получаемое ускорение отвечает за изменение скорости по направлению.

При условии AS —» 0; (р —> 0 и при том, что V, v2 , получаем что

Av X v2 • А так как вектор скорости, будучи касательной к точке 2, перпен-

При разбиении скорости на бесконечно малые отрезки вектор направления нормального ускорения лежит вдоль направления радиуса.

12

dv

а т ~ dt

аи — нормальное ускорение, изменяющее скорость по направлению

а н

v.2

~R

Только для вращательного движения Г = R (радиус-вектор равен радиусу окружности).

Результирующее ускорение равно векторной сумме тангенциального и нормального ускорений (смотри рисунок 5).

13

Затем к результату прибавляется следующий вектор, к результату этого сложения прибавляется следующий и т.д., то есть:

^рез 12,3

и т.д.

Это правило едино для всех видов векторных величин.

2Динамика

2.1Динамика поступательного движения

При поступательном движении все точки тела движутся вдоль параллельных прямых.

F — сила — мера взаимодействия тел или мера воздействия одного тела на другое. Размерность силы

т— масса — мера отзыва действия одного тела на другое.

Р— импульс тела — эта характеристика механического движения численно определяется как величина связанная с массой и скоростью. Направление импульса совпадает с направлением движения тела.

Импульс тела иначе называют количеством движения.

Существует особая сила, которая всегда присутствует при взаимодействии тел.

Сила трения — это сила, которая препятствует перемещению тела в пространстве. Она возникает, когда тело движется. Эта сила обусловлена контактным взаимодействием тел.

Направление силы трения при движении по горизонтальной плоскости показано на рисунке 7.

Г ~ V .

mg

Рисунок 7

14

В общем случае:

Р т р = / 0 0 •

Сила трения — это доля нормального давления тела на поверхность другого тела.

где /и — коэффициент сцепления тела с поверхностью (сила трения). Всегда 0 < Ц < 1.

Направление силы трения при движении тела по наклонной плоскости показано на рисунке 8.

Рисунок 8

Тогда при движении тела вдоль вертикальной плоскости сила трения контактного взаимодействия поверхностей тел равна нулю. И сопротивление движения определится, как функция скорости тела в воздухе или другой среде.

2.2 Законы Ньютона

Первый закон Ньютона

Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, если на это тело не действуют силы или действие сил уравновешено.

Система координат, в которой выполняется первый закон Ньютона называется инерциалыюй.

15

Инерцией тел назовём способность тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения без внешних воздействий.

Система материальных тел, на которую не действуют внешние силы называется замкнутой.

Второй закон Ньютона

Ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально действующей на него силе и обратно пропорционально массе этого тела.

т

Направление ускорения движения тела всегда совпадает с направлением действующей силы, или если сил несколько, то с результирующей силой:

тт

Запишем выражение для импульса и продифференцируем его по времени:

Отсюда получаем связь импульса и силы:

16

Третий закон Ньютона

Силы, с которыми действуют друг на друга тела, всегда равны по величине и противоположны по направлению (смотри рисунок 9).

Рисунок 9

Исходя из второго закона Ньютона, получаем:

т.

(2.6)

а, т-,

Ускорения, с которыми тела движутся после взаимодействия, обратно пропорциональны массам взаимодействующих тел.

2.3 Закон сохранения импульса

Имеем систему из трёх тел, на которые действуют внешние силы Fl, F2, F3 и взаимодействие тел внутри системы может быть описано парными силами: / 1 2 , / 2 1 , / 2 3 , / 3 2 , / 1 3 , / 3 | .

Рисунок 10

17

dPcucm _ (J dt

для замкнутой системы.

Если изменение импульса равно нулю, то импульс постоянен.

Следствие:

Рсист =

Импульс системы тел в замкнутой системе есть величина постоянная.

2.4 Работа

18

dim A = [Дж\ = [ Я х м\ кг хм'' :dimF = [#] = кг х м

Работа постоянной силы

Рассмотрим поступательное движение тела.

F = const.

Постоянной назовём силу, величина которой и направление не меняется на всём перемещении. На рисунке 11 точка 1 — начало движения, точка 2 — окончание движения.

а

F

Рисунок 12

Если сила направлена под углом к перемещению (X = [ F A S] (рисунок 12), то работу совершает проекция силы на перемещение:

А = F'xS,

где F' - Fx сов а

19

Окончательно:

Следствие: работа сил, направленных перпендикулярно направлению движения ( F _L S), не совершается, так как COS[FA S] = cos(90°) = 0 .

Работа переменной силы

Ft = const

F2

У

dS

Рисунок 13

Если работа изменяется по величине или направлению при перемещении, то разбиваем путь на участки dS , в пределах которых сила не изменяется существенно, определяем элементарную работу на каждом участке dS, затем суммируем по элементарным участкам dS и определяем всю работу:

dS^>О

Из графиков поведения силы (рисунок 13) при перемещении видно, что работа численно равна площади под кривой, определяющей изменение силы.

2.5 Механическая энергия

Мощность (N) — это количество работы в единицу времени.