41_Astakhov_v._M._Mekhanika_
.pdf20
Для F Ф const:
dt
Свяжем мощность с силой:
N =•d(FS)dt
Так как пул. разбивали на участки dS , на которых сила не менялась, выносим силу из-под знака оператора:
^ dS |
^ |
|
N = F—dt |
= Fv. |
(2.10) |
Энергия (W) — это способность тела совершать работу.
Существует 2 вида механической энергии.
-Если при непосредственном взаимодействии (например, при соударении) происходит изменение скорости, то говорят — у тела изменилась кинетическая энергия. Значит: кинетическая энергия — это энергия движения.
-Если при опосредованном взаимодействии тел через пространство происходит изменение положения тел в пространстве (например: притяжение, отталкивание), то говорят, что у тела изменилась потенциальная энергия. Значит: потенциальная энергия — это энергия, определяемая положением тел относительно друг друга.
Кинетическая энергия
Если тело способно изменить скорость, то совершена какая-то работа. Если работа по изменению скорости совершилась на участке dS , то:
civ |
dS |
dA = F x dS = mxaxdS ; a = — ; v = — ; dS = vxdt. |
|
dt |
dt |
Это всё следует из законов Ньютона и определений кинематических характеристик. Подставим:
dA = mx — xvxdt = mxvxdv . dt
Тогда вся работа по изменению скорости на всём пути:
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
г ,, |
= |
f |
, |
mvо |
mv] |
(2.i 1) |
||
A = \dA |
J |
mvdv |
= — |
7 |
7 |
L. |
||
J |
|
|
|
|
|
|||
mv2
Выражение, записанное как — — , называем математической записью
кинетической энергии Wk. То есть работа по изменению скорости тела равна изменению его кинетической энергии.
A = Wu-Wti.
Если в исходном состоянии тело находилось в покое (vj = 0), то совершённая над телом работа перешла в его кинетическую энергию:
mv1
2 *
Потенциальная энергия
Потенциальная энергия — это энергия, которая определяется взаимным положением двух тел.
В гравитационном взаимодействии сила взаимодействия между объектами прямо пропорциональна произведению масс тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
т, х т?
|
|
F = ух |
' г |
2 • |
(2.12) |
Для земных условий т2=т3, |
г — R3 |
(масса и радиус Земли) и величина |
|||
Yj^LULL= |
„ = 9 g] |
Л |
|
|
|
R3 |
8 |
V " |
|
|
|
При элементарном изменении положения тела на расстояние dS - dh запишем:
dA = FxdS или dA- |
тхgxdh. |
Тогда вся работа по изменению положения тела:
/12 |
/12 |
|
А = Jmgdh |
-mg jdh~ mgh2 -mghx = mg(h2-hl). |
(2.13) |
22
Выражение mgh назовём энергией положения тела, или потенциальной энергией.
Если за начало отсчёта принять уровень мирового океана, и работа по изменению положения тела совершается относительно этого уровня, то есть hi = 0, то:
А = mgh = Wn. |
(2.14) |
Выражение mgh — это работа, которую надо совершить, чтобы поднять тело над уровнем моря, или это энергия, запасённая телом, поднятым на высоту h над уровнем моря.
Энергия упруго-сжатой пружины Абсолютно-упругим телом называется физический объект, который из-
меняет форму пропорционально любому внешнему воздействию и возвращается к исходной форме после прекращения воздействия.
Сила, которая требуется для деформирования пружины, прямо пропорциональна величине деформации: FgHe = кх .
FeHe - - >
Рисунок 14
Тогда пружина препятствует изменению её формы. По 3-му закону Ньютона
F m = - F y n P = ~ t e . |
(2.15) |
Можно графически представить работу по деформированию пружины. То есть работа, совершённая при деформации пружины:
A = ~kxxx = ^~ = Wynp. |
(2.16) |
Это энергия, запасённая пружиной при сжатии её на величину х (аналогично рассуждение для растяжения).
23
2.6 Условия равновесия тел
Положение тела считается равновесным, если без внешнего воздействия тело не меняет своего положения в пространстве.
На рисунке 16 приведены:
1,4 — неустойчивое положение тела;
2 — устойчивое равновесие;
3 — неустойчивое равновесие.
Взаимодействие материальных объектов подчиняется закону минимума собственной энергии, т.е. всякая система, предоставленная сама себе, стремится понизить собственную энергию.
3
Рисунок 16
Система тел называется устойчивой, если при любом внешнем воздействии на неё собственная энергия её повышается — устойчивое равновесие (положение 2).
Если на неподвижное тело действует сила, равнозначная по всем направлениям, которая приводит к уменьшению собственной энергии тела, то такое состояние тела неустойчивое, или система тел находится в неустойчивом равновесии.
Неустойчивое состояние — это состояние, при котором тело, предоставленное само себе, понижает собственную энергию.
24
2.7Закон сохранения механической энергии
Считаем, что тело взаимодействует с землёй, и других воздействий на тело нет.
Условие.
Тело расположено на высоте h и предоставлено само себе. Система замкнута.
Рассмотрим два положения тела: в точке 1 тело ещё не начало двигаться (v = 0) и его высота /г; В точке 2 тело потеряло свою высоту (h = 0) и в момент соприкосновения с Землёй набрало скорость v. Тогда механическая энергия тела в каждой точке:
|
h * 0 |
i |
— |
v = o |
|
h |
>i |
|
|
>1 |
. h = o |
v * 0
>1
Рисунок 17
^пол(о ~ 1) + W„(1), w„0/t(2) - Wk(2) + W.l2) •
Или распишем каждый вид механической энергии с учётом условий:
W-O, = -mуv 1-
mv2 = —
+m8h = rngh, (V = 0);
, mv2
+ mgh = — , (h = 0).
Зная из кинематики
at2 _ gt2
• |
° t + 2 ~ 2 |
( 2 Л 7 ) |
v = v0 + at = gt.
Подставим в уравнение энергии для 1-ой точки, получим:
|
|
|
|
25 |
Pt2 |
(gt)2 |
= W |
. |
|
W„(1) = mgh = mg — = |
2 |
(2.18) |
||
|
|
t |
|
|
Энергия, запасённая в качестве mgh |
, пошла на приобретение |
скорости |
||
телом, т.е. энергия у тела сохранилась.
Влюбой промежуточной точке полная энергия движущегося тела равна сумме механических энергий, потенциальной и кинетической, каждая из которых не равна нулю.
Взамкнутой системе механическая энергия тела остаётся неизменной.
2.8Контактное взаимодействие тел
Вкачестве тел возьмём шары. Рассматриваем центральные удары шаров.
Центральным называется взаимодействие, при котором перемещение тел до и после взаимодействия происходит вдоль линии, проходящей через центры масс.
Взаимодействие бывает упругое и неупругое.
При упругом взаимодействии форма тел до и после взаимодействия не изменяется.
При неупругом взаимодействии форма тел после взаимодействия отличается от формы до взаимодействия.
Неупругое взаимодействие
При неупругом взаимодействии характерно выполнение закона сохранения импульса.
При абсолютно неупругом взаимодействии тела после взаимодействия движутся вместе или останавливаются.
Пусть взаимодействуют два тела. Систему считаем замкнутой. Тогда
где левая часть данного выражения отображает массы и скорости тел до взаимодействия, правая часть — после взаимодействия; v, и v2 — скорости тел до взаимодействия, V— скорость тел после взаимодействия.
Пусть тела движутся в одной горизонтальной относительно Земли плоскости, тогда потенциальная энергия при взаимодействии не меняется, а кинетическая энергия тел до взаимодействия переходит в разрушение или необратимое деформирование тел и в нагрев (при ударе молотка по гвоздю шляпка нагревается).
W |
+ W |
kl |
= W |
k 12 |
+ А |
k\ |
I |
" |
деформации + Q,-нагрев * |
||
i t к |
|
m |
~ |
26
где левая часть данного выражения определяет кинетические энергии тел до взаимодействия, правая часть — после взаимодействия.
А и Q определяются качественно.
Тогда Wki2 всегда меньше, чем Wki + Wk2, а немеханические энергозатраты определяются как разница кинетических энергий тел до и после взаимодействия.
Скорость тел после взаимодействия: |
|
|
У |
2_2__ |
(2.19) |
|
тх + т2 |
|
Таким образом, при неупругом взаимодействии механическая энергия тел не остаётся постоянной даже при отсутствии внешних воздействий.
Упругое |
взаимодействие |
При упругом взаимодействии выполняются законы сохранения импульса |
|
и механической энергии. То есть тела до и после взаимодействия сохраняют |
|
форму, нет потерь энергий на тепло. |
|
Пусть два тела упруго взаимодействуют в горизонтальной плоскости |
|
(Wnom = const, |
справа и слева от знака равенства в законе сохранения энер- |
гии и мы её не пишем, как неизменную часть уравнения). |
|
Тогда запишем: |
|
Г |
Р} + Р2 |
= р'+ р[\ |
, • |
(2.20) |
i |
|
, |
В этой системе уравнений первое уравнение является законом сохранения импульса, второе уравнение — законом сохранения энергии.
Развернём эти уравнения:
rn/; |
± |
г |
2 |
|
2 |
V |
2 |
_ |
. -J- |
т L\\ L |
_ m,V,1 |
-f- |
-m |
|
|||
|
|
rr |
|
|
|
|
||
2 |
|
2 |
2. |
|
|
2 |
|
(2-21) |
m{vy + m2v2 = mlVl + m2V2.
В левой части уравнений стоят величины до взаимодействия, в правой части — после взаимодействия тел.
Определим скорости тел после взаимодействия. Объединим части урав-
нений по массам тел: |
|
т \ ( v r - V , 2 ) = m 2 ( v ; - v 2 2 ) ; |
|
h(vI-V,) = m2(V2-v2). |
(*)' |
27
или
k ( v , |
+ Ц)(v, - V,) = m2 (y2 |
- v J ( V |
2 + v 2 ) ; |
1 |
^ ( v , - v ; ) = w 2 ( v , |
2 - v 2 ) . |
|
Разделим первое уравнение системы на второе уравнение:
Vl+Vt=V2+v2.
Обе части полученного уравнения умножим на т 2 :
m2vj + m2Vl = m2V2 + m2v2. |
(**) |
Из уравнения (**) вычтем уравнение (*):
v,(т2 ~ml)+Vl(m2+mx) = 2тл\>2.
Отсюда окончательно получим скорость первого тела после упругого взаимодействия:
у = l m ^ - v ^ - щ ) |
( |
гп2 + т1
Аналогично для второго тела запишем, сменив лишь индексы: |
|
уг = ^ ^ 2 { т 2 - щ ) |
( 2 2 2 ) |
т2 +т1 |
|
2.9 Динамика вращательного движения
Причиной вращательного движения, в отличие от поступательного движения, является момент силы, который хотя и определяется силой, но и зависит от расстояния г от оси вращения до точки приложения силы и от взаимной ориентации векторов F u r .
28
Момент силы |
|
М = { ? • ¥ ] . |
(2.24) |
Здесь г — расстояние от оси вращения; I |
— плечо силы (перпендикуляр |
к направлению силы), (X — угол между радиус-вектором |
и направлением |
силы. |
|
Тогда |
|
I = rsin<2, |
|
а момент силы в скалярной форме: |
|
М = IF = rFsina. |
(2.25) |
Отсюда видно, что просто сила не вызовет вращательное движение в двух случаях:
-если вектор силы совпадает с радиус-вектором;
-если силу прилагать к точке вращающегося тела, находящейся на оси вращения.
Момент импульса
Ещё одной характеристикой вращательного движения, аналогичной импульсу является момент импульса, связанный с импульсом через радиусвектор.
Г = [ г - Р ] . |
(2.26) |
Момент импульса — это характеристика количества движения вращающегося тела, но с учётом его расстояния от оси вращения.
Запишем в скалярной форме: |
|
29 |
|
|
|
||
|
L-r-m-v. |
|
(2.27) |
Используя кинематические характеристики |
|
|
|
|
у = й> г, L = r-m-0) |
r, |
|
запишем |
|
|
|
|
L = m-0)-r2, |
|
(2.28) |
где т г 2 |
— инерциальная характеристика вращающегося тела, |
называемая |
|
моментом |
инерции. |
|
|
Момент инерции
Из определяющих формул следуют размерности динамических характеристик вращательного движения:
/ = m • г2 , dim J = 1[кг • ai2 ] L-J - со , d i m L - 1 кг • м
dimM =1[#-jk]
2.70 Закон сохранения момента импульса
Пусть на вращающееся тело не действуют внешние силы или они уравновешены.
Тогда по условию замкнутой системы:
S ^ |
> а |
([1° третьему закону Ньютона), |
t |
|
i |
Продифференцируем выражение для момента импульса, счи тая Ш и Г как const, то есть они не подвержены действию этого опера тора:
dL |
d . |
ч |
dv |
г т a |
— |
= —{r-m-v)-r-m |
dt |
||
dt |
dt |
|
|
|
Используя 3-й закон Ньютона, получим: