- •Isbn 978-985-519-056-2 © бгату, 2009 Предисловие
- •Учебная программа по учебной дисциплине
- •Модуль 4 Аналитическая геометрия
- •Модуль 8 Функции нескольких переменных
- •Рекомендуемая литература Основная литература
- •Дополнительная литература
- •М одуль 1. Линейная алгебра
- •§ 1. Определители
- •С войства определителей.
- •§ 2. Матрицы
- •§ 3. Основные операции над матрицами
- •§ 4. Транспонированная матрица
- •§ 5. Обратная матрица
- •§ 6. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы
- •Контрольный тест
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 1. Теорема Кронекера-Капелли
- •§ 2. Решение систем линейных уравнений
- •Контрольный тест
- •Модуль 3. Векторная алгебра
- •§ 1. Векторы. Операции над ними.
- •Сложение векторов.
- •Произведение вектора на число.
- •§ 2. Декартовы прямоугольные координаты вектора. Длина вектора.
- •§ 3. Скалярное произведение векторов.
- •Свойства скалярного произведения.
- •Контрольный тест
- •М одуль 4.
- •§ 1. Прямая на плоскости.
- •3 . Уравнение прямой в отрезках:
- •6 . Уравнение прямой, проходящей через данную точку и с заданным угловым коэффициентом:
- •§ 2. Взаимное расположение прямых на плоскости.
- •§ 3. Прямые в решениях экономических задач.
- •Контрольный тест
- •Модуль 5. Кривые второго порядка
- •§ 1. Окружность
- •§ 2.Эллипс
- •§ 3. Гипербола
- •§ 4. Парабола
- •Контрольный тест
- •М одуль 6. ФункциЯ одной переменной. Непрерывность функции одной переменной.
- •§ 1. Определение функции и способы её задания.
- •§ 2. Использование элементарных функций в экономике
- •§ 3. Предел числовой последовательности. Предел функции.
- •Односторонние пределы
- •§ 4. Теоремы о пределах.
- •З амечательные пределы
- •§ 3. Непрерывность функции.
- •Контрольный тест
- •§ 1. Производная функции,
- •§ 2. Таблица производных.
- •§ 3. Основные правила дифференцирования. Производная сложной функции.
- •Производная сложной функции.
- •Производная обратной функции.
- •§ 4. Правило Лопиталя и его применение к раскрытию неопределённостей.
- •§ 5. Признаки возрастания и убывания функций. Интервалы монотонности функций.
- •§ 6. Экстремум функции. Необходимый признак.
- •§ 7. Достаточные признаки экстремума функции.
- •§ 8. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- •§ 9. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
- •§ 10. Асимптоты графика функции.
- •§ 11. Общая схема исследования функции и построение её графика.
- •Контрольный тест
- •М одуль 8. Функции нескольких переменных
- •§ 1. Определение функции нескольких переменных
- •§ 2.Некоторые многомерные функции, используемые в экономике.
- •§ 3. Частные производные функции нескольких переменных.
- •§ 4. Экономический смысл частных производных
- •§ 5. Полный дифференциал функции нескольких переменных
- •§ 6. Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •§ 7. Функция полезности
- •§ 8. Экстремум функции двух переменных
- •Контрольный тест
- •Краткий справочник
- •Простейшие формулы аналитической геометрии.
- •Плоскость и прямая в пространстве
- •Содержание
- •Высшая математика
- •Часть 1
- •Издано в редакции авторов
- •220023, Г. Минск, пр. Независимости, 99, к. 2
Сложение векторов.
С уммой двух векторов и называется вектор , соединяющий начало вектора с концом вектора , отложенного от конца вектора .
Произведение вектора на число.
Произведение м вектора на число называется вектор, который имеет длину и который имеет направление вектора в случае и противоположное направление в случае .
Пример 3.1. Даны векторы и .
П остройте векторы: 1) ;
2) .
§ 2. Декартовы прямоугольные координаты вектора. Длина вектора.
Пусть вектор составляет угол с осью .
П роекцией вектора на ось называется число, равное длине вектора (рис.3.1), взятой со знаком «плюс», если направление вектора совпадает с направлением оси и со знаком «минус» в противном случае.
П роекцию вектора на ось можно вычислить по формуле:
.
Д екартовыми прямоугольными координатами вектора называются его проекции на соответствующие координатные оси .
В ектор с координатами записывают в виде или , где — единичные векторы координатных осей соответственно. Длина вектора определяется по формуле:
.
Если вектор задан точками и , то его координаты вычисляются по формулам:
.
Пример 3.2. Даны две точки и . Найдите координаты и длину вектора .
П о условию задачи , , , , , . Значит, .
.
Пример 3.3. Даны два вектора и . Найдите координаты и длину вектора .
; ;
;
.
С овместим параллельным переносом начало некоторого вектора с началом координат прямоугольной системы координат . Пусть — углы, которые образует вектор с осями координат соответственно (рис.3.2). Направление вектора определяется с помощью направляющих косинусов , , , для которых справедливы равенства:
,
.
|
|
§ 3. Скалярное произведение векторов.
С калярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними (см. рис.3.3):
.
|
|
|
И з рис. 3.3 видно, что .
Поэтому или . (*)
Свойства скалярного произведения.
— переместительный закон.
— распределительный закон.
Е сли то .
(или или ).
В частности, скалярное произведение единичных векторов (ортов) удовлетворяет равенствам:
Е сли векторы заданы координатами , или , , то
.
У гол между векторами и определяется по формуле:
.
В екторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т.е.:
.
У словие перпендикулярности векторов и :
.
Пример 3.4. Векторы и образуют угол . Зная, что и , вычислите .
.
П ример 3.5. Даны вершины треугольника , и . Найдите: 1) внутренний угол при вершине ;
2) .
Д ля нахождения угла найдём векторы и .
;
.
Тогда Т.е.
Согласно формуле (*)
.
ЧТО ДОЛЖЕН ЗНАТЬ СТУДЕНТ
1. Понятие вектора.
2. Понятие единичного и нулевого вектора.
3. Модуль вектора, формула расстояния между двумя точками.
4. Понятие коллинеарности векторов.
5. Линейные операции над векторами.
6. Понятие проекции вектора на ось.
7. Скалярное произведение векторов.