- •Isbn 978-985-519-056-2 © бгату, 2009 Предисловие
- •Учебная программа по учебной дисциплине
- •Модуль 4 Аналитическая геометрия
- •Модуль 8 Функции нескольких переменных
- •Рекомендуемая литература Основная литература
- •Дополнительная литература
- •М одуль 1. Линейная алгебра
- •§ 1. Определители
- •С войства определителей.
- •§ 2. Матрицы
- •§ 3. Основные операции над матрицами
- •§ 4. Транспонированная матрица
- •§ 5. Обратная матрица
- •§ 6. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы
- •Контрольный тест
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 1. Теорема Кронекера-Капелли
- •§ 2. Решение систем линейных уравнений
- •Контрольный тест
- •Модуль 3. Векторная алгебра
- •§ 1. Векторы. Операции над ними.
- •Сложение векторов.
- •Произведение вектора на число.
- •§ 2. Декартовы прямоугольные координаты вектора. Длина вектора.
- •§ 3. Скалярное произведение векторов.
- •Свойства скалярного произведения.
- •Контрольный тест
- •М одуль 4.
- •§ 1. Прямая на плоскости.
- •3 . Уравнение прямой в отрезках:
- •6 . Уравнение прямой, проходящей через данную точку и с заданным угловым коэффициентом:
- •§ 2. Взаимное расположение прямых на плоскости.
- •§ 3. Прямые в решениях экономических задач.
- •Контрольный тест
- •Модуль 5. Кривые второго порядка
- •§ 1. Окружность
- •§ 2.Эллипс
- •§ 3. Гипербола
- •§ 4. Парабола
- •Контрольный тест
- •М одуль 6. ФункциЯ одной переменной. Непрерывность функции одной переменной.
- •§ 1. Определение функции и способы её задания.
- •§ 2. Использование элементарных функций в экономике
- •§ 3. Предел числовой последовательности. Предел функции.
- •Односторонние пределы
- •§ 4. Теоремы о пределах.
- •З амечательные пределы
- •§ 3. Непрерывность функции.
- •Контрольный тест
- •§ 1. Производная функции,
- •§ 2. Таблица производных.
- •§ 3. Основные правила дифференцирования. Производная сложной функции.
- •Производная сложной функции.
- •Производная обратной функции.
- •§ 4. Правило Лопиталя и его применение к раскрытию неопределённостей.
- •§ 5. Признаки возрастания и убывания функций. Интервалы монотонности функций.
- •§ 6. Экстремум функции. Необходимый признак.
- •§ 7. Достаточные признаки экстремума функции.
- •§ 8. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- •§ 9. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
- •§ 10. Асимптоты графика функции.
- •§ 11. Общая схема исследования функции и построение её графика.
- •Контрольный тест
- •М одуль 8. Функции нескольких переменных
- •§ 1. Определение функции нескольких переменных
- •§ 2.Некоторые многомерные функции, используемые в экономике.
- •§ 3. Частные производные функции нескольких переменных.
- •§ 4. Экономический смысл частных производных
- •§ 5. Полный дифференциал функции нескольких переменных
- •§ 6. Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •§ 7. Функция полезности
- •§ 8. Экстремум функции двух переменных
- •Контрольный тест
- •Краткий справочник
- •Простейшие формулы аналитической геометрии.
- •Плоскость и прямая в пространстве
- •Содержание
- •Высшая математика
- •Часть 1
- •Издано в редакции авторов
- •220023, Г. Минск, пр. Независимости, 99, к. 2
§ 8. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Всякая функция может принимать на отрезке наибольшее и наименьшее значения в критических точках, лежащих внутри отрезка или на его концах.
Пример 7.16. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
Н аходим критические точки данной функции.
.
;
;
;
;
Отрезку принадлежит только одна критическая точка . Вычисляем значения функции в этой точке и на концах отрезка:
;
;
.
С равнивая полученные значения, найдем, что есть наибольшее значение функции, а — наименьшее значение функции на отрезке .
§ 9. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
К ривая, определяемая данной функцией, называется выпуклой вверх или просто выпуклой на интервале , если график расположен ниже любой каcательной, проведенной к графику функции в точках интервала .
К ривая называется выпуклой вниз или вогнутой на интервале , если график расположен выше любой касательной, проведённой к графику функции в точках интервала .
Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба. В точках перегиба вторая производная обращается в нуль или не существует. На рисунке — точка перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба кривой, определяемой функцией находят все точки , где или не существует и исследуют знак второй производной в интервалах, расположенных между этими точками.
Точки перегиба будут в тех точках , где , при переходе через которые вторая производная изменяет знак.
§ 10. Асимптоты графика функции.
Вертикальные асимптоты. Если существует число такое, что , то прямая является вертикальной асимптотой кривой .
Н аклонные асимптоты. Уравнение наклонных асимптот графика функции ищется в виде , где
.
Если хотя бы один из пределов не существует, то кривая не имеет наклонных асимптот. Если ,то асимптота параллельна оси .
§ 11. Общая схема исследования функции и построение её графика.
С целью изучения процесса, описываемого заданной функцией, проводится её исследование по следующей схеме.
1 . Находится область определения функции, точки пересечения с осями координат, точки разрыва функции.
2 . Устанавливается чётность или нечётность функции, её периодичность.
3 . Находятся точки экстремума функции, вычисляются её экстремальные значения, находятся интервалы монотонности функции.
4 . Находятся точки перегиба графика функции, интервалы выпуклости и вогнутости кривой.
5 . Находятся асимптоты функций.
6. На координатную плоскость наносятся все найденные характерные точки, и по результатам исследования строится график функции.
П ример 7.17. Исследуйте функцию и постройте её график.
Функция определена для всех , т.е. область определения .
В точке функция терпит разрыв второго рода, т.к.
, .
Если , то , значит, кривая проходит через начало координат.
, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
Очевидно, что данная функция и непериодическая.
.
при и .
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому функция возрастает в интервалах и , убывает в интервале . Точка является точкой максимума и .
.
при .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
Точка является точкой перегиба.
— вертикальная асимптота. Наклонные асимптоты ищем в виде .
.
.
С ледовательно, прямая является асимптотой графика функции.
По результатам исследования строим график функции.
Пример 7.18. Открытый чан имеет форму цилиндра. Объём чана равен . Каковы должны быть радиус основания и высота чана, чтобы его поверхность была наименьшей?
П лощадь поверхности открытого цилиндрического чана , где — радиус основания, — высота цилиндра. Объём цилиндра , откуда . Это значит, что .
Найдем значение радиуса , при котором функция достигает минимума:
, ,
,
,
,
Т ак как при , то функция достигает при минимума. .
ЧТО ДОЛЖЕН ЗНАТЬ СТУДЕНТ
1. Определение производной.
2. Основные правила дифференцирования.
3. Производная сложной и неявной функции.
4. Основные формулы дифференцирования.
5. Производные высших порядков.
6. Экономический смысл производной.
7. Понятие дифференциала функции и его свойства.
8. Правило Лопиталя и его использование для раскрытия неопределенностей.
9. Признаки возрастания и убывания функции.
10. Экстремумы функции. Необходимое и достаточное условия экстремума.
11. Выпуклость, вогнутость графика функции. Точка перегиба.
12. Асимптоты графика функции.