Решение.

Четыре штриха ставить уже не принято, поэтому переходим на числовые индексы:

. Если по условию требуется найти не 4-ю, а например, 20-ю производную, нужно проанализировать несколько найденных производных, увидеть закономерность и составить формулу «энной» производной. Так, в Примере легко понять, что при каждом следующем дифференцировании перед экспонентой будет «выскакивать» дополнительная «тройка», причём на любом шаге степень «тройки» равна номеру производной, следовательно: , где – произвольное натуральное число.

И действительно, если , то получается в точности 1-я производная: , если – то 2-я: и т.д. Таким образом, двадцатая производная определяется мгновенно: .

9. Неопределённые интегралы, их смысл и свойства.

Ответ. Интегрирование - действие, обратное дифференцированию, а именно, восстановление функции по известной производной этой функции. Восстановленная таким образом функция F(x) называется первообразной для функции f(x). Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке X, если для всех значений x из этого промежутка выполняется равенство F '(x)=f(x), то есть данная функция f(x) является производной от первообразной функции F(x). Например, функция F(x) = sin x является первообразной для функции f(x) = cos x на всей числовой прямой, так как при любом значении икса (sin x)' = (cos x). Неопределённым интегралом функции f(x) называется совокупность всех её первообразных. При этом употребляется запись ∫ f(x)dx, где знак ∫ называется знаком интеграла, функция f(x) – подынтегральной функцией, а f(x)dx – подынтегральным выражением. Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная для f(x) , то ∫ f(x)dx = F(x) +C, где C - произвольная постоянная (константа). Свойства неопределенного интеграла. 1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению d(∫f(x)dx)=f(x)dx. 2. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции (∫f(x)dx)′=f(x). 3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная ∫dF(x)=∫F′(x)dx=F(x)+C. 4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла или вносить под знак интеграла ∫α⋅f(x)dx=α∫f(x)dx. 5. Неопределенный интеграл от суммы/разности двух и больше функций равен сумме/разности неопределенных интегралов от этих функций ∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx. 6. Если ∫f(x)dx=F(x)+C, то и ∫f(u)du=F(u)+C, где функция u=ϕ(x) - произвольная функция с непрерывной производной. Геометрический смысл. Неопределённый интеграл геометрически представлен семеством всех интегральных кривых. Удалённость каждой кривой от начала координат определяется произвольной постоянной (константой) интегрирования C.

10. Замена переменных в неопределённых интегралах, интегрирование по частям.

Ответ. Метод замены переменной в неопределенном интеграле реализуется двумя способами: подведение функции под знак дифференциала; собственно замена переменной. Подведение функции под знак дифференциала. Пример. . То есть, раскрыть дифференциал – это формально почти то же самое, что найти производную. Пример. . Смотрим на таблицу интегралов и находим похожую формулу: . Подводим функцию под знак дифференциала: . Раскрывая дифференциал, легко проверить, что: . Фактически и – это запись одного и того же. Формула (и все другие табличные формулы) справедливы и применимы не только для переменной, но и для любого сложного выражения лишь бы аргумент функции и выражение под знаком дифференциала были одинаковыми. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Найти неопределенный интеграл. . Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой. В данном случае: . Действие следующее. После замены, нужно найти дифференциал . Так как , то . Теперь по правилам пропорции выражаем нужный нам: . . В итоге: . Таким образом: . А это уже самый что ни на есть табличный интеграл . В заключении осталось провести обратную замену. . Чистовое оформление рассмотренного примера должно выглядеть примерно так: . Проведем замену: . . Метод интегрирования позволяет интегрировать некоторые функции, отсутствующие в таблице, произведение функций, а в ряде случаев – и частное. – формула интегрирования по частям. По частям берутся интегралы следующих видов: 1) , , – логарифм, логарифм, умноженный на какой-нибудь многочлен. 2) , – экспоненциальная функция, умноженная на какой-нибудь многочлен. Сюда же можно отнести интегралы вроде – показательная функция, умноженная на многочлен. 3) , , – тригонометрические функции, умноженные на какой-нибудь многочлен. 4) , – обратные тригонометрические функции («арки»), «арки», умноженные на какой-нибудь многочлен. Также по частям берутся некоторые дроби. Интегралы от логарифмов. Пример. Найти неопределенный интеграл. . Решение: . Прерываем решение на промежуточные объяснения. Используем формулу интегрирования по частям: . Формула применяется слева направо. Левая часть: . Очевидно, что-то нужно обозначить за , а что-то за . В интегралах рассматриваемого типа за всегда обозначается логарифм. Технически оформление решения реализуется следующим образом, в столбик записываем: . Следующий этап: находим дифференциал: . . Дифференциал – это почти то же самое, что и производная. Для того чтобы найти функцию необходимо проинтегрировать правую часть нижнего равенства: . Теперь нужно открыть решение и констатировать правую часть формулы: . Образец чистового решения с небольшими пометками: . Интегралы от экспоненты, умноженной на многочлен. Общее правило: за всегда обозначается многочлен. Пример. Найти неопределенный интеграл. . Решение: . Интегрируем по частям: . Единственное, что еще можно сделать, это «причесать» ответ: . То есть, пример считается решенным, когда взят последний интеграл. Ошибкой не будет. Интегралы от тригонометрических функций, умноженных на многочлен. Общее правило: за всегда обозначается многочлен. Пример. Найти неопределенный интеграл. . Интегрируем по частям:

. Интегралы от обратных тригонометрических функций. Интегралы от обратных тригонометрических функций, умноженных на многочлен. Общее правило: за всегда обозначается обратная тригонометрическая функция. К обратным тригонометрическим функциям относятся арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Пример. Найти неопределенный интеграл. . Решение. . Интегрируем по частям:

. Интеграл найден методом подведения функции под знак дифференциала, можно использовать и метод замены в «классическом» виде.