5. Производные произведения и отношения двух функций.

Ответ. (u(x)⋅v(x))′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x). Производная произведения равна производная первой функции на вторую плюс первая функция, умноженная на производную второй. Пример. Найти производную функции y(x)=xsinx. Так как заданная функция есть произведением двух функций u(x)=x и v(x)=sinx, то производную y′(x) находим как от произведения. Согласно формуле имеем: y′(x)=(xsinx)′=(x)′⋅sinx+x⋅(sinx)′=$$=1⋅sinx+x⋅cosx=sinx+xcosx. Ответ. y′(x)=sinx+xcosx. Если функции и дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v, причём . т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

6. Производные сложной и обратной функции.

Ответ. Дифференцирование сложной функции: . Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией. Пример. Найти производную функции . Представим, что нам нужно вычислить значение выражения при (вместо единицы может быть любое число). В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие: , поэтому многочлен и будет функцией: .

Во вторую очередь нужно будет найти , поэтому синус – будет функцией:

После этого нужно применить правило дифференцирования сложной функции . Начинаем решать – заключаем всю функцию в скобки и ставим справа вверху штрих: Сначала находим производную функции (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные шаблоны применимы и в том случае, если «икс» заменить любой дифференцируемой функцией . В данном примере вместо «икс»: . . Функция не изменилась. Очевидно, что . Результат применения формулы в чистовом оформлении выглядит так: . Далее производная второй функции: . Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения: . Готово. Производная обратной функции.

Примеры.

7. Производные основных элементарных функций.

Ответ. Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций: степенная функция с любым действительным показателем; показательная и логарифмическая функции; тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения. Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции.

Формулы:

8. Производные высших порядков.

Ответ. Вот функция: и вот её первая производная: . Вторая производная – это производная от 1-й производной: . Вторую производную уже считают производной высшего порядка. Аналогично: третья производная – это производная от 2-й производной: . Четвёртая производная – есть производная от 3-й производной: . Пятая производная: , и очевидно, что все производные более высоких порядков тоже будут равны нулю: . Помимо римской нумерации на практике часто используют следующие обозначения: , производную же «энного» порядка обозначают через . При этом надстрочный индекс нужно обязательно заключать в скобки – чтобы отличать производную от «игрека» в степени. Иногда встречается такая запись: – третья, четвёртая, пятая, …, «энная» производные соответственно. Пример. Дана функция . Найти .