- •Построение структурной схемы цф
- •Расчет и построение импульсной реакции, амплитудно- и фазо-частотной характеристики цф
- •4. Детальные выводы по проделанной работе
- •Устойчивость рекурсивного цф
- •4.2. Классификация исследуемых цф
- •4.3. Анализ поведения ачх
- •4.4. Преимущества и недостатки рекурсивных цф
МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Ордена Трудового Красного Знамени федеральное
государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
«Московский технический университет
связи и информатики»
────────────────────────────────────
Кафедра общей теории связи
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
№26-2
по дисциплине «Цифровая обработка сигналов»
на тему:
«Анализ рекурсивных цифровых фильтров
1-го и 2-го порядка»
Вариант №21
Выполнил: студ. гр. “Сортирный Союз”
username
Проверил: проф. каф. ОТС
Волчков В. П.
(Осенний семестр)
Москва 2021
Цель работы
На персональном компьютере провести анализ рекурсивных цифровых фильтров (ЦФ) 1-го и 2-го порядка; исследовать частотные и временные характеристики фильтров, их взаимосвязь со значениями коэффициентов ЦФ; определить области устойчивости рекурсивных фильтров 1 и 2 порядка.
Выполнение домашнего задания
Исходные данные варианта
В соответствии с вариантом, исходные данные в таблице 1 Табл.1. Исходные данные для расчета
Параметр |
a1 |
b0 |
f |
fд |
Значение |
0,44 |
1 |
0 - 8кГц |
8кГц |
Запись разностного уравнения и системной функции
Разностное уравнение ЦФ:
(1)
В данном уравнении: - , – совокупности коэффициентов ЦФ; - , – задержанные (на l и m периодов дискретизации) копии входного и выходного сигналов ЦФ.
(2)
В данной формуле:
- коэффициенты разностного уравнения;
- входной сигнал с задержкой 0, 1, ...;
- выходной сигнал с задержкой 0, 1, ….
Подставив в формулу (2) исходные данные из табл. 1, получим:
(3)
Пусть задан дискретный сигнал . Тогда его односторонним Z-преобразованием называется:
(4)
Пусть на входе ЦФ действует сигнал , а на выходе наблюдается сигнал . Тогда системной функцией ЦФ называется отношение:
(5)
Свойство линейности Z-преобразования:
(6)
(7)
Свойство смещения Z-преобразования:
(8)
Системная функция рекурсивного ЦФ находится с помощью (1):
(9)
Приравняем левую и правую части:
(10)
Воспользуемся свойством пропорции и найдём системную функцию рекурсивного ЦФ:
(11)
После подстановки исходных данных в уравнение (11), получим:
(12)
Построение структурной схемы цф
Структурная схема фильтра, составленная на основе уравнения (3), показана на рис. 1
Рис. 1. Структурная схема рекурсивного ЦФ 1-го порядка
Расчет и построение импульсной реакции, амплитудно- и фазо-частотной характеристики цф
Импульсная реакция - отклик ЦФ на входной единичный импульс:
(13)
где - единичный импульс Кронекера:
(14)
В соответствии с формулами (2) и (13) и начальными условиями получаем импульсную реакцию заданного рекурсивного ЦФ 1-го порядка:
(15)
График импульсной реакции изображен на рис. 2.
Рис. 2. Импульсная реакция рекурсивного ЦФ 1-го порядка (a1 = 0,44; b0 = 1)
Комплексным коэффициентом передачи ЦФ называется функция частоты :
(16)
где - частота дискретизации, - интервал дискретизации.
Амплитудно-частотной характеристикой ЦФ называется функция частоты:
(17)
где - оператор взятия модуля комплексного числа. По определению модуля комплексного числа :
(18)
Для комплексного числа справедливо следующее:
(19)
(20)
(21)
Также по формуле Эйлера:
(22)
(23)
Следовательно, АЧХ ЦФ рассчитывается по следующей формуле:
(24)
Если в уравнении (11) произвести замену , где - круговая частота, [рад/с], - период дискретизации, [с] и взять модуль, получится АЧХ ЦФ:
(25)
Рис. 3. АЧХ рекурсивного ЦФ 1-го порядка (a1 = 0,44; b0 = 1)
Рассчитаем ФЧХ ЦФ, найдя аргумент функции :
(26)
Рис. 4. ФЧХ рекурсивного ЦФ 1-го порядка (a1 = 0,44; b0 = 1)
3. Выполнение лабораторной работы
3.1. Исходные данные эксперимента
Для всех исследуемых ЦФ .
Значения коэффициентов для фильтра первого порядка:
Значения коэффициентов для фильтра второго порядка:
3.2. Структурная схема рекурсивного ЦФ 2-го порядка
Структурная схема исследуемого рекурсивного ЦФ 2-го порядка, построенная на основе уравнения (24) показана на рис. 5.
(27)
Рис. 5. Структурная схема рекурсивного ЦФ 2-го порядка
3.3. Результаты лабораторного эксперимента
При помощи амплитудно-частотной характеристики (АЧХ), импульсной характеристики (ИХ) и переходной характеристики (ПХ) производится исследование рекурсивных цифровых фильтров.
ИХ фильтра первого порядка представлена в формуле (15).
ИХ фильтра второго порядка:
(28)
АЧХ фильтра первого порядка представлена в формуле (25).
АЧХ фильтра второго порядка:
(29)
Переходной функцией называется отклик ЦФ на входное воздействие в виде единичного скачка и :
(30)
Рис. АЧХ-1 (a1 = 1; a2 = 0) |
Рис. АЧХ-2 (a1 = -1; a2 = 0) |
Рис. ИХ-1 (a1 = 1; a2 = 0) |
Рис. ИХ-2 (a1 = -1; a2 = 0) |
Рис. ПХ-1 (a1 = 1; a2 = 0) |
Рис. ПХ-2 (a1 = -1; a2 = 0) |
Рис. АЧХ-3 (a1 = 1,01667; a2 = 0) |
Рис. АЧХ-4 (a1 = -0,98333; a2 = 0) |
Рис. ИХ-3 (a1 = 1,01667; a2 = 0) |
Рис. ИХ-4 (a1 = -0,98333; a2 = 0) |
Рис. ПХ-3 (a1 = 1,01667; a2 = 0) |
Рис. ПХ-4 (a1 = -0,98333; a2 = 0) |
Рис. АЧХ-5 (a1 = 0,98333; a2 = 0) |
Рис. АЧХ-6 (a1 = -1,01667; a2 = 0) |
Рис. ИХ-5 (a1 = 0,98333; a2 = 0) |
Рис. ИХ-6 (a1 = -1,01667; a2 = 0) |
Рис. ПХ-5 (a1 = 0,98333; a2 = 0) |
Рис. ПХ-6 (a1 = -1,01667; a2 = 0) |
Рис. АЧХ-7 (a1 = 0,9; a2 = 0) |
Рис. АЧХ-8 (a1 = -0,9; a2 = 0) |
Рис. ИХ-7 (a1 = 0,9; a2 = 0) |
Рис. ИХ-8 (a1 = -0,9; a2 = 0) |
Рис. ПХ-7 (a1 = 0,9; a2 = 0) |
Рис. ПХ-8 (a1 = -0,9; a2 = 0) |
Рис. АЧХ-9 (a1 = 0,7; a2 = 0) |
Рис. АЧХ-10 (a1 = -0,7; a2 = 0) |
Рис. ИХ-9 (a1 = 0,7; a2 = 0) |
Рис. ИХ-10 (a1 = -0,7; a2 = 0) |
Рис. ПХ-9 (a1 = 0,7; a2 = 0) |
Рис. ПХ-10 (a1 = -0,7; a2 = 0) |
Рис. АЧХ-11 (a1 = -0,91667; a2 = -0,28333) |
Рис. АЧХ-12 (a1 = -0,08333; a2 = -0,91667) |
Рис. ИХ-11 (a1 = -0,91667; a2 = -0,28333) |
Рис. ИХ-12 (a1 = -0,08333; a2 = -0,91667) |
Рис. ПХ-11 (a1 = -0,91667; a2 = -0,28333) |
Рис. ПХ-12 (a1 = -0,08333; a2 = -0,91667) |
Рис. АЧХ-13 (a1 = 0,13333; a2 = -0,25) |
Рис. АЧХ-14 (a1 = 0,08333; a2 = -0,7) |
Рис. ИХ-13 (a1 = 0,13333; a2 = -0,25) |
Рис. ИХ-14 (a1 = 0,08333; a2 = -0,7) |
Рис. ПХ-13 (a1 = 0,13333; a2 = -0,25) |
Рис. ПХ-14 (a1 = 0,08333; a2 = -0,7) |
Рис. АЧХ-15 (a1 = -0,45; a2 = 0,41667) |
Рис. АЧХ-16 (a1 = 0,35; a2 = 0,43333) |
Рис. ИХ-15 (a1 = -0,45; a2 = 0,41667) |
Рис. ИХ-16 (a1 = 0,35; a2 = 0,43333) |
Рис. ПХ-15 (a1 = -0,45; a2 = 0,41667) |
Рис. ПХ-16 (a1 = 0,35; a2 = 0,43333) |
Рис. АЧХ-17 (a1 = -1,83333; a2 = -0,91667) |
Рис. АЧХ-18 (a1 = 0,8; a2 = -0,88333) |
Рис. ИХ-17 (a1 = -1,83333; a2 = -0,91667) |
Рис. ИХ-18 (a1 = 0,8; a2 = -0,88333) |
Рис. ПХ-17 (a1 = -1,83333; a2 = -0,91667) |
Рис. ПХ-18 (a1 = 0,8; a2 = -0,88333) |
Рис. АЧХ-19 (a1 = 0,91667; a2 = -0,4) |
Рис. АЧХ-20 (a1 = 1,71667; a2 = -0,9) |
Рис. ИХ-19 (a1 = 0,91667; a2 = -0,4) |
Рис. ИХ-20 (a1 = 1,71667; a2 = -0,9) |
Рис. ПХ-19 (a1 = 0,91667; a2 = -0,4) |
Рис. ПХ-20 (a1 = 1,71667; a2 = -0,9) |