Информатика 2 семестр / obrazets_vypolnenia_laboratornykh_rabot_2_semestr

На полученном шаговым методом интервале изоляции корня [2,95;3,1] найдем значение koef.

Сравним первые производные функции на концах интервала изоляции.

|f’(2,95)| > |f’(3,1)|, т.к. |0,90| < |1,20|, то

koef = 1/1,20=0,8333 ( берем значение производной без модуля).

Следовательно, x0 = 3,1.

Запишем итерационную формулу xi+1=xi-koef*f(xi) или xi+1=fi(xi) Вычисляем первое приближение к корню

x1= x0-koef*f(x0)

x1=x0-koef*((x0)2-5*x0+6)= 3,1-0,8333(3,12-5*3,1+6)= 3,0083

Вычислим значение функции при x1=3,0083 f(x1)= x12-5 x1+6=3,0083-5*3,0083+6=0,0084 Проверяем |f(x1)|<eps |0,0084|<0,001 нет,

точность не достигнута, следовательно, вычисляем следующее приближение к корню.

Вычисляем второе приближение к корню

x2= x1-koef*f(x1)

x2=x1-koef*((x1)2-5*x1+6)= 3,0083-0,8333(3,00832-5*3,0083+6)= 3,0013

Вычислим значение функции при x2=3,0013 f(x2)= x22-5 x2+6=3,0013-5*3,0013+6=0,0013 Проверяем |f(x2)|<eps |0,0013|<0,001 нет,

точность не достигнута, следовательно, вычисляем следующее приближение точность не достигнута, следовательно, вычисляем следующее приближение к корню.

Вычисляем третье приближение к корню.

x3= x2-koef*f(x2)

x3=x2-koef*((x2)2-5*x2+6)= 3,0013-0,8333(3,00132-5*3,0013+6)= 3,0002

Вычислим значение функции при x3=3,0002 f(x3)= x32-5 x3+6=3,0002-5*3,0002+6=0,0002 Проверяем |f(x1)|<eps |0,0002|<0,001 да,

точность достигнута.

Вывод: x= 3,0002 можно считать приближенным корнем нашего уравнения с точностью 0,001, т.к. |f(3,0002)|<0,001 |0,0002|<0,001

Реализация в программе MSExcel(1 способ)

11

Реализация в программе Mcad (1 способ)

2 способ

Заданное уравнение x2-5 x+6=0 (f(x) = 0) преобразуем в приведенное, в

котором в левой части оставим х, а в правую часть перенесем все остальное: x2

=5*x-6 .Затем выражаем √ (x=fi(x)).

На полученном в шаговом методе интервале изоляции корня [2,95 ; 3,1] выполним проверку условия сходимости метода для приведенной функции

fi(x)= √ на концах интервала.

Условие сходимости |fi'(x0)| 1, где x0 = 2,95 или x0 = 3,1. Первая производная

точность не достигнута, следовательно, вычисляем следующее приближение к корню.

точность не достигнута, следовательно, вычисляем следующее приближение к корню.

точность не достигнута, следовательно, вычисляем следующее приближение к корню.

точность не достигнута, следовательно, вычисляем следующее приближение к корню.

Вычисляем пятое приближение к корню x5=fi(x4) x5=√

√

Вычислим значение функции при x5=2,979

13

f(x5)= x52-5 x5+6=2,9792-5*2,979+6=-0,020 Проверяем |f(x4)|<eps |-0,020|<0,01 нет,

точность не достигнута, следовательно, вычисляем следующее приближение к корню.

точность не достигнута, следовательно, вычисляем следующее приближение к корню.

И т.д. пока функция не достигнет точности.

Вывод: x= 2,992 можно считать приближенным корнем нашего уравнения с точностью 0,01, т.к. |f(2,992)|<0,01 |0,008|<0,01

Результат реализации в программе MSExcel (2 способ)

Реализация в программе Mcad (2 способ)

15

Программа на языке CИ

#include “stdafx.h” #include <iostream> #include <math.h> using namespace std; double f (double x)

{double Y; Y=pow(x,2)-5*x+6; return Y;}

void main()

{double a,b,xc,e;

cout<<”Vvedite a, b, e”<<endl; cin>>a>>b>>e; cout<<”\t”<<”a”<<”\t”<<”xc”<<”\t”<<”b”

<<”\t”<<”f(a)”<<”\t”<<”f(xc)”<<”\t”<<”f(b)\n”; xc=(a+b)/2;

while(fabs(f(xc))>e)

{xc=(a+b)/2; cout<<”\t”<<a<<”\t”<<xc<<”\t”<<b<<”\t”<<f(a)<<”\t”<<f(xc)

<<”\t”<<f(b)<<endl; if (f(a)*f(xc)<0)

b=xc; else

a=xc;

}

cout<<”koren=”<<xc<<” f(“<<xc<<”)=”<<f(xc)<<endl;

}

Реализация метода Ньютона

17

Программа на языке CИ

#include “stdafx.h” #include <iostream> #include <math.h> using namespace std; double f (double x)

{double Y; Y=pow(x,2)-5*x+6; return Y;}

double f1 (double x)

{double Y;

Y=2*x-5; return Y;} void main()

{ double x0,x1,e=0.0001; cout<<”Vvedite x0”<<endl; cin>>x0;

cout<<”\t”<<”x”<<”\t”<<”f(x)”<<”\t”<<”f1(x)\n”; cout<<”\t”<<x0<<”\t”<<f(x0)<<”\t”<<f1(x0)<<”\n”; while(fabs(f(x0))>e)

{

x1=x0-f(x0)/f1(x0); cout<<”\t”<<x1<<”\t”<<f(x1)<<”\t”<<f1(x1)<<endl; x0=x1;

}}

Метод простой итерации

Программа на языке CИ

#include “stdafx.h” #include <iostream> #include <math.h> using namespace std; double f (double x)

{double Y; Y=pow(x,2)-5*x+6; return Y;}

double fi (double x)

{double Y; Y=sqrt(5*x-6); return Y;} void main()

{double x0,x1,eps=0.01; cout<<”Vvedite x0”<<endl; cin>>x0;

cout<<”\t”<<”x”<<”\t”<<”f(x)”<<”\n”; cout<<”\t”<<x0<<”\t”<<f(x0)<<”\n”; while(fabs(f(x0))>eps)

x1=fi(x0); cout<<”\t”<<x1<<”\t”<<f(x1)<<endl; x0=x1;

}

}

Лабораторная работа №2 Решение систем линейных уравнений

1. Метод простой итерации Постановка задачи: Дана система линейных уравнений

8x1 -2x2 +x3 =3 -5x2 +2x3 =4 2x1 -x2 +6x3 =4

Найти приближенное решение с заданной степенью точности eps=0,1

Ручной счет

Запишем систему в матричном виде [ ] [ ] [ ] (A*x=B)

1.Для того чтобы получить решение с помощью этого метода необходимо чтобы матрица A удовлетворяла следующим требования:

вматрице A абсолютные значения всех диагональных элементов были больше суммы модулей всех остальных элементов в соответствующей строке.

Данное условие называется условием сходимости метода.

2.Если условие сходимости выполнено, то на следующем этапе необходимо задать начальное приближение неизвестных, в качестве которого обычно выбирается нулевые значения:

Верхний индекс - номер итерации (приближения).

3. Формируем циклический процесс, каждый цикл которого представляет собой одну итерацию. В результате каждой итерации получается новое значение неизвестных. Для организации итерационного процесса запишем нашу систему в приведенном виде – из 1-го уравнения выражаем x1, из 2-го уравнения выражаем x2, из 3-го уравнения выражаем x3.

Приведенная система уравнений имеет вид:

{

Запишем итерационную формулу метода простой итерации:

19

{

Переходим к вычислению 1-ой итерации: i=0

Проверим достигнута ли точность:

Точность не достигнута, следовательно продолжаем процесс вычисления. Переходим к вычислению 2-ой итерации:

i=1

( )

Точность не достигнута, следовательно, продолжаем процесс вычисления. Переходим к вычислению 3-ой итерации:

i=2

( )

Точность не достигнута, следовательно, продолжаем процесс вычисления. Переходим к вычислению 4-ой итерации:

i=3